中考数学复习讲义：第六章 勾股定理 （二十七）——蚂蚁爬行模型（含解析）

这是一份中考数学复习讲义：第六章 勾股定理 （二十七）——蚂蚁爬行模型（含解析），共8页。

模型讲解
【模型1】蚂蚁沿着长方体的表面爬行，从A到B的最短路径：
ABmin＝最长边2+最短边＋较短边2


【模型2】蚂蚁沿着圆柱体的表面爬行，从A到B的最短路径：
①同测全周长＝(2πr)2+h2
②异测半周长＝(πr)2+h2
【模型3】蚂蚁吃蜂蜜问题∶求蚂蚁从A沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到B的最短路径.

【作法】如图，首先找到 A关于杯子上沿的对称点A′点，设A′到B的垂直距离为h，则问题转化为异侧半周长的问题.
由图可知蚂蚁爬行的最短路径长为 A´B＝(πr)2+h2
口诀

典例秒杀

典例1 ☆☆☆☆☆
如图，长方体的长为15，宽为10，高为 20，点B到点C的距离为5一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬行到点B，则需要爬行的最短距离是________。
【答案】25
【解析】本题可看成蚂蚁是在长为5，宽为 10，高为 20 的长方体表
面爬行，根据蚂蚁沿长方体表面爬行的结论∶
dmin ＝ 最长边2+最短边＋较短边2
知 dmin ＝ 202+10＋52 ＝25
典例2 ☆☆☆☆☆
如图，一圆柱高为8cm，底面半径为2 cm，一只蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点 A爬到点 B处觅食，则要爬行的最短路程（π取 3）是（ ）
A.20 cm B.10 cm C.14 cm D. 无法确定
【答案】B
【解析】根据蚂蚁在圆柱表面爬行的结论，可知
dmin＝(πr)2+h2 ＝(3×2)2+82 ＝10(cm).
典例3 ☆☆☆☆☆
如图所示，圆柱形容器高为6cm，底面周长为6cm，在容器内壁离底部2cm 的点 B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿2cm 与蜂蜜相对的点 A处，则蚂蚁从外壁 A处到达内壁 B 处的最短距离为______cm.

【答案】35
【解析】如图，将容器侧面展开，作 A关于EF（容器上沿）的对称点A´，连接
A´B，过 B作 BC上FA 于点C，

A´B＝(A´C)2+BC2 ＝(6-2+2)2+32 ＝35（cm）.
即蚂蚁从外壁 A 处到达内壁 B 处的最短距离为35cm.
小试牛刀
1.（★★★☆☆）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=9 cm，BC=6cm，BF=5cm，点 M在棱AB上，且AM＝3 cm，N是FG的中点.一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点 M爬行到点 N，则它需要爬行的最短路程为（ ）
A.10 cm B.106 cm C.(6-34)cm D.9cm

2.（★★★☆☆）如图，正四棱柱的底面边长为5 cm，侧棱长为6 cm，一只蚂蚁从四棱柱底面上的点 A 沿着棱柱表面爬到点C´处，求蚂蚁需要爬行的最短路径的长。
直击中考

1.如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中 AB= 18 cm，BC=12 cm，BF=10 cm，
点M在棱AB上，且AM=6 cm，N是FG 的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的

表面从点M爬行到点N，则它需要爬行的最短距离为（ )
A.20cm B.2106 cm C.(12＋234)cm D.18cm
蚂蚁爬行的最值问题是非常经典的一类最值问题，我们如果能够记住最值的特点，那么解题将会更容易

第六章.勾股定理
模型（二十七）——蚂蚁爬行模型
答案：
小试牛刀
答案 A
解析 ∵ M，N 之间的距离可以看作长、宽、高分别为6 cm，3 cm，5 cm 的长方体的对角顶点间的距离，所以根据蚂蚁沿长方体表面爬行的结论
dmin ＝ 最长边2+最短边＋较短边2 ，
得dmin ＝ 62+5＋32 ＝10（cm）.故选 A.
2.解析 第一种情况∶ 当沿着平面 ABB´A´、平面 A´B´C´D´爬行时，其平面展开图如图所示，
则 AC´＝ 6+52+52 ＝146（cm）.
第二种情况∶当沿着平面 ABB´A´、平面BB´C´C爬行时，其平面展开图如图所示，

则 AC´ ＝5+52+62＝136＝234（cm）.
第三种情况∶当沿着平面 ABCD、平面 BB´C´C爬行时，与第一种情况路径长相同.因为234 ＜146，
所以蚂蚁需要爬行的最短路径的长是234 cm.
直击中考
1.答案 A
解析 ∵M，N 之间的距离可以看作长、宽、高分别为12 cm，6 cm，10 cm的长方体，∴根据蚂蚁在长方体表面爬行的结论
dmin ＝ 最长边2+最短边＋较短边2 边干较短边），
得dmin ＝ 122+10＋62 ＝20（cm）.故选 A.