课时作业46 定点、定值、定直线-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习课时作业

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1．(2024·江苏常州市·高三一模)已知O为坐标系原点，椭圆的右焦点为点F，右准线为直线n.
(1)过点的直线交椭圆C于两个不同点，且以线段为直径的圆经过原点O，求该直线的方程；
(2)已知直线l上有且只有一个点到F的距离与到直线n的距离之比为.直线l与直线n交于点N，过F作x轴的垂线，交直线l于点M.求证：为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】(1)设过点的直线为交于椭圆
联立消去y得
又因为以线段为直径的圆经过原点，
则
则所求直线方程
(2)已知椭圆的离心率为，右准线直线n的方程为，
因为直线上只有一点到F的距离与到直线n的距离之比为，
所以直线与椭圆相切，
设直线的方程为，联立消去y得到：
①
联立点N坐标为
得到
,
由①
2(2024·山西临汾市·高三一模())已知椭圆与双曲线有两个相同的顶点，且的焦点到其渐近线的距离恰好为的短半轴的长度．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作不垂直于坐标轴的直线与交于，两点，在轴上是否存在点，使得平分？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明由．
【答案】(1)；(2)存在点，使得平分．
【解析】(1)由题意可得，
双曲线的焦点为，渐近线方程为：，
则焦点到渐近线的距离为，所以，
则椭圆的标准方程为；
(2)存在点使得平分，
由题知，直线的斜率存在且不为0，又直线过点，
则设直线的方程为，
，，，
联立方程，消去整可得：
，
所以，，
因为，，，
所以，
即，
因为，所以
，
即，
则，
化简可得，因为，所以，
综上，存在点，使得平分．
3．(2024·漠河市高级中学高三月考())已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明由.
【答案】(1)；(2)存在，定点为.
【解析】(1)由题意，抛物线，可得焦点为，所以，
又由双曲线的离心率为，可得椭圆的离心率，
可得，解得，
即椭圆的标准方程为.
(2)由直线不与坐标轴垂直，可设直线的方程为，其中，
设点､，则点，
联立直线与椭圆的方程，整得，
由恒成立，且，，
由椭圆的对称性知，若存在定点，则点必在轴上，
故假设存在定点，使得､､三点共线，则，
即，可得.
故存在定点，使得､､三点共线.
4．(2024·山东烟台市·高三一模)已知分别是椭圆的左､右焦点， 为椭圆的上顶点，是面积为的直角三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明由.
【答案】(1)；(2)是定值，定值为.
【解析】(1)由为直角三角形，故，
又，
可得
解得
所以，
所以椭圆的方程为；
(2)当切线的斜率不存在时，其方程为
将代入，得，不妨设，，又
所以
同当时，也有.
当切线的斜率存在时，设方程为，
因为与圆相切，
所以
即，
将代入，
得，
所以
又
，
又
，
将代入上式，得，
综上，.
6．(2024·四川遂宁市·高三二模())如图，已知椭圆：的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，且时，.
(1)求的值；
(2)设线段，的延长线分别交椭圆于，两点，当变化时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明由.
【答案】(1)；(2)过定点，定点为.
【解析】(1)设，则，由题意得焦点为
所以，.
当时，有.
联立得，，从而.
将代入，得，即，
所以或(舍)，故.
(2)由(1)知，，椭圆：.
设：，代入椭圆：，
消去并整得，
所以，
而，所以，
由韦达定得，所以.
同：，即，，
所以，
所以，
于是.
所以直线：.
令，得，
将代入得，
所以经过定点.
7．(2024·广东汕头市·高三一模)在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于．
(1)求动点的轨迹方程；
(2过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；
①证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
②求四边形面积的最小值．
【答案】(1)；(2)①证明见解析，定点坐标为；②.
【解析】(1)设点，依题意，
，
所以动点的轨迹为椭圆(左、右顶点除外)，则，，，
动点的轨迹方程是；
(2)①若与轴重合，则直线与动点的轨迹没有交点，不合乎题意；
若与轴重合，则直线与动点的轨迹没有交点，不合乎题意；
设直线的方程为，则直线的方程为，
直线、均过椭圆的焦点(椭圆内一点)，、与椭圆必有交点．
设、，由，
由韦达定可得，则，
所以点的坐标为，同可得点，
直线的斜率为，
直线的方程是，
即，
当时，直线的方程为，直线过定点．
综上，直线过定点；
②由①可得，，
，
同可得，
所以，四边形的面积为，
当且仅当取等号．
因此，四边形的面积的最小值为.
8．(2024·河南平顶山市·高三二模())已知椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在第一象限，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)在轴上是否存在点，满足对于过点的任一直线与椭圆的两个交点，，都有为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明由．
【答案】(1)；(2)存在点，满足为定值．.
【解析】(1)由，及，得，设椭圆方程为，联立方程组得．则，
所以．所以．
所以椭圆的方程为．
(2)当直线不与轴重合时，设，联立方程组
得．
设，，，则有，．
于是
，
若为定值，则有，得，．
此时：当直线与轴重合时，，，
也有．
综上，存在点，满足为定值．
9．(2024·北京平谷区·高三一模)已知椭圆的离心率为，并且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与轴交于点，与椭圆的另一个交点为，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析．
【解析】(1)由已知解得所以椭圆：．
(2)证明：由已知斜率存在
以下给出证明：
由题意，设直线的方程为，，，则，由
得，
所以，
， ，，
所以，即，
直线的方程为，
令得所以，
令由得所以，
所以=.
10．(2024·河南新乡市·高三二模())已知椭圆的左、右顶点分别为，，为上不同于，的动点，直线，的斜率，满足，的最小值为-4.
(1)求的方程；
(2)为坐标原点，过的两条直线，满足，，且，分别交于，和，.试判断四边形的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明由.
【答案】(1)；(2)是定值，.
【解析】(1)设，则，故，
∴，
又，
由题意知：，解得，
∴椭圆的方程为.
(2)根据椭圆的对称性，可知，，
∴四边形为平行四边形，所以.
设，的斜率分别为，，，，则①，②.
又，，即.
当的斜率不存在时，，.
由①②，得，结合，解得，.
∴.
当的斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程组得，得，则，即，.
∵，
∴，整得：.
由直线过，，
将代入，整得.
综上，四边形的面积为定值，且为
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