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    课时作业28 数列求和常用方法-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习课时作业

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    课时作业28 数列求和常用方法-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习课时作业

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    这是一份课时作业28 数列求和常用方法-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习课时作业,文件包含课时作业28数列求和常用方法教师版docx、课时作业28数列求和常用方法学生版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共34页, 欢迎下载使用。
    一、单选题
    1.(2024·平罗中学)已知数列的通项公式:,则它的前项和是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】,其前项和.
    故选:B.
    2(2024·全国高三专题练习)已知函数,则( )
    A.2018B.2019
    C.4036D.4038
    【答案】A
    【解析】,,
    令,
    则,
    两式相加得:,.
    故选:.
    3.(2024·全国高三专题练习)设函数,利用课本(苏教版必修)中推导等差数列前项和的方法,求得的值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】,,
    设,
    则,
    两式相加得,因此,.
    故选:B.
    4.(2019·江苏省前黄高级中学高二月考)设,利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法,可求得_________.
    【答案】
    【解析】,

    因此

    所以
    .
    故答案为:.
    5.(2024·宝鸡市渭滨中学高三月考)已知为等差数列,前项和为.
    (1)求的通项公式及前项和;
    (2)若,求数列的前项和.
    【答案】(1),;(2).
    【解析】(1)设数列的公差为d,由,得,则,
    所以,;
    (2)由(1)得,所以
    .
    6.(2024·四川成都市·高三其他模拟)已知数列是公差为的等差数列,且是的等比中项.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)当时,求数列的前n项和.
    【答案】(1)当时,;当时,;(2).
    【解析】(1)是的等比中项,
    ,即,整得,
    解得或,
    当时,,
    当时,;
    (2)由(1)知,当时,
    ,)
    .
    7.(2024·静宁县第一中学高三月考)已知为数列的前项和,且.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)设,求数列的前项和.
    【答案】(1);(2).
    【解析】(1)当时,,∴
    当时,因为①所以②
    ①-②得,∴.
    所以数列是首项为,公比为的等比数列.
    ∴.
    由(1)得

    ∴.
    8.(2024·宁夏银川市·银川一中高三月考)已知数列为递增的等差数列,其中,且成等比数列.
    (1)求的通项公式;
    (2)设记数列的前n项和为.
    【答案】(1);(2).
    【解析】(1)在等差数列中,设公差为d≠0,
    由题意,得,
    解得.
    ∴an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1;
    (2)由(1)知,an=2n﹣1.
    则,

    .
    9.(2024·全国高三月考)已知数列的前项和为,且.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)求数列的前项和.
    【答案】(1),;(2).
    【解析】(1)当时,;
    当时,
    若时,
    故,.
    (2)依题意,
    故.
    10.(2024·江苏南通市·高三期中)已知等差数列的首项为,公差为,前n项的和为 ,且.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)设数列的前n项的和为Tn,求Tn.
    【答案】(1);(2).
    【解析】(1)由题意,等差数列中,因为,
    可得,因为,可得,
    所以数列的通项公式为.
    (2)由(1)可得,
    所以.
    11.(2024·云南昆明市·昆明一中高三月考)已知数列的前项和.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)令,求数列的前项和.
    【答案】(1);(2).
    【解析】(1)由得:,
    因为,
    当时,,而,
    所以数列的通项公式.
    (2)因为,
    所以,
    所以,

    .
    12.(2024·全国高三月考)已知等差数列的前项和为,且,.
    (1)求数列的通项公式以及前项和;
    (2)求数列的前项和.
    【答案】(1),;(2).
    【解析】(1)依题意,,解得,故①,
    而,故,故②,
    联立①②两式,解得,,
    故,

    (2)依题意,,
    故.
    13.(2024·江苏镇江市·高三期中)已知等差数列的前项和为,若,.
    (1)求数列的通项公式及;
    (2)若,求数列的前项和.
    【答案】(1),;(2).
    【解析】(1)解:设等差数列首项为,公差为,
    ,,
    得:,
    解得:,


    (2),
    .
    14.(2024·湖南衡阳市一中高三期中)设数列的前n项和为,从条件①,②,③中任选一个,补充到下面问题中,并给出解答.已知数列的前n项和为,,____.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若,求数列的前n和.
    【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析.
    【解析】选条件①时,
    (1)时,整得,
    所以.
    (2)由(1)得:,
    设,其前项和为,
    所以 ①,
    ②,
    ①②得:,
    故,
    所以.
    选条件②时,
    (1)由于,
    所以①,当时,②,
    ①②得:,

    整得,
    所以.
    (2)由(1)得:,
    设,其前项和为,
    所以 ①,
    ②,
    ①②得:,
    故,
    所以.
    选条件③时,
    由于, ①

    ①②时,,整得(常数),
    所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列.
    所以.
    (2)由(1)得:,
    设,其前项和为,
    所以①,
    ②,
    ①②得:,
    故,
    所以.
    15.(2024·商河县第二中学高三期中)已知数列前项和为,,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若,求数列的前项和.
    【答案】(1);(2).
    【解析】(1)由题知,
    即,
    即,∵,∴,∴,
    ∴数列是首项为3,公比为3的等比数列,
    ∴,∴;
    (2)由(1)知,,
    ∴, ①
    ∴, ②
    ①②得,,
    ∴.
    16.(2024·山西高三月考)已知数列中,,
    (1)证明:数列是等比数列
    (2)若数列满足,求数列的前项和.
    【答案】(1)证明见解析 ;(2) .
    【解析】(1)证明:由,知
    又,∴是以为首项,3为公比的等比数列
    (2)解:由(1)知,∴,
    两式相减得

    17.(2024·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中)记是正项数列的前n项和,是6和的等比中项,且.
    (1)求的通项公式;
    (2)若等比数列的公比为,且成等差数列,求数列的前n项和.
    【答案】(1);(2).
    【解析】(1)因为是6和的等比中项,所以,
    当时,,由得,
    化简得,即或者(舍去),
    故,数列为等差数列.
    因为,解得或(舍去),
    所以数列是首项为1、公差为3的等差数列,所以.
    (2)由成等差数列,可得,
    可得,
    又,所以,
    所以.
    由(1)得,
    所以,,
    两式相减得,
    所以.
    18.(2024·深州长江中学高三期中)在各项均为正数的等比数列中,,,
    (Ⅰ)求数列的通项公式;
    (Ⅱ)记,求数列的前n项和.
    【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
    【解析】(Ⅰ)设等比数列的首项为,公比为q(),
    由己知得,则解得,
    所以数列是以3为首项,3为公差的等差数列,
    即.
    (Ⅱ)由(Ⅰ)得
    所以
    (1)
    (2)
    由(1)(2),得
    ∴.
    19.(2024·广东肇庆市·高三月考)已知数列的前n项和为,.
    (1)求;
    (2)若,求数列的前n项和.
    【答案】(1); (2).
    【解析】(1)由题意,数列满足,
    当时,可得,
    两式相减,可得,整得,即,
    当时,可得,解得,
    所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,
    所以,所以.
    (2)由(1)知,则
    设,数列的前项和分别为,


    两式相减得,
    所以,
    又由,
    所以数列的前n项和.
    20.(2024·沙坪坝区·重庆一中高三月考)已知数列满足:,且对任意的,都有1,成等差数列.
    (1)证明数列等比数列;
    (2)已知数列前n和为,条件①:,条件②:,请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件来求数列前n和.
    【答案】(1)证明见解析;(2)答案不唯一,具体见解析.
    【解析】(1)由条件可知,
    即,∴,且
    ∴是以为首项,为公比的等比数列,
    ∴,∴
    (2)条件①:,
    利用错位相减法:
    化简得
    条件②:
    利用错位相减法:
    化简得
    21.(2024·河北衡水市·衡水中学高三月考)已知等差数列满足,数列是以1为首项,公差为1的等差数列.
    (1)求和;
    (2)若,求数列的前项和.
    【答案】(1),;(2).
    【解析】(1)因为,
    所以,,,
    因为等差数列,
    所以,
    即,解得,
    所以,,.
    因为数列是以1为首项,公差为1的等差数列,
    所以,.
    (2)由(1)得,
    所以,①
    ,②
    ①-②得,
    所以.
    22.(2024·广东深圳市·福田外国语高中)已知数列的前n项和为,点在直线,上.
    (1)求的通项公式;
    (2)若,求数列的前n项和.
    【答案】(1);(2).
    【解析】(1)∵点在直线上,,
    ∴.
    当时,,则,
    当时,,.
    两式相减,得,所以.
    所以是以首项为2,公比为2等比数列,
    所以.
    (2),

    所以.
    23.(2024·稷山县稷山中学高三月考())已知等差数列,为其前项和,
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若,求数列的前项和.
    【答案】(1);(2).
    【解析】(1)设数列的首项为,公差为,则根据题意得:
    由,解得,所以.
    (2),则
    .
    24.(2024·江苏无锡市)在等差数列中,已知,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若________,求数列的前项和.在①,②这两个条件中任选一个补充在第(2)问中,并对其求解.
    【答案】(1);(2)答案不唯一,见解析.
    【解析】(1)设等差数列的公差为,
    由题意得,,解得.;
    (2)选条件①:,

    选条件②:,,

    当为正偶数时,;
    当为正奇数时,为偶数,
    .

    25.(2024·全国高三专题练习)在等差数列中,已知,.在①;②;③这三个条件中任选一个补充在第(2)问中,并对其求解.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若______,求数列的前项和.
    注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
    【答案】(1);(2)答案见解析.
    【解析】(1)设等差数列的公差为,则,
    即,解得,故.
    (2)选①,由得,
    .
    选②,.
    当为偶数时,;
    当为奇数时,.

    选③,由得,
    ,①
    ,②
    ①-②得,

    故.
    26.(2024·江苏扬州市)在等差数列中,,再从条件①、条件②设数列的前项和为,这两个条件中选择一个作为已知,求:
    (1)求的通项公式;
    (2)求数列的前项和.
    注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
    【答案】条件选择见解析;(1);(2).
    【解析】(1)若选①
    设数列公差为,由,则
    即,∴.
    若选②
    设数列公差为,
    因为,则,
    所以,则,.
    所以.
    (2)由题得数列是以3为首项,1为公差的等差数列,
    数列是以为首项,为公比的等比数列,
    所以.
    27.(2024·长春市第五中学高三期中)已知数列的前项和,,数列是等差数列,且,.
    (1)求数列和的通项公式;
    (2)若,求数列的前项和.
    【答案】(1); (2)
    【解析】(1)当时,,得
    当时, ……①
    ……②
    由①-② 得,即
    所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列,所以
    所以,.则等差数列的公差为
    所以
    (2)
    28.(2024·稷山县稷山中学高三月考)已知数列的前项和.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若,求数列的前项和.
    【答案】(1);(2).
    【解析】(1)因为,
    当时,,
    当时,,
    因为也满足,
    综上.
    (2),
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