课时作业28 数列求和常用方法-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习课时作业
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一、单选题
1.(2024·平罗中学)已知数列的通项公式:,则它的前项和是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】,其前项和.
故选:B.
2(2024·全国高三专题练习)已知函数,则( )
A.2018B.2019
C.4036D.4038
【答案】A
【解析】,,
令,
则,
两式相加得:,.
故选:.
3.(2024·全国高三专题练习)设函数,利用课本(苏教版必修)中推导等差数列前项和的方法,求得的值为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】,,
设,
则,
两式相加得,因此,.
故选:B.
4.(2019·江苏省前黄高级中学高二月考)设,利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法,可求得_________.
【答案】
【解析】,
,
因此
,
所以
.
故答案为:.
5.(2024·宝鸡市渭滨中学高三月考)已知为等差数列,前项和为.
(1)求的通项公式及前项和;
(2)若,求数列的前项和.
【答案】(1),;(2).
【解析】(1)设数列的公差为d,由,得,则,
所以,;
(2)由(1)得,所以
.
6.(2024·四川成都市·高三其他模拟)已知数列是公差为的等差数列,且是的等比中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)当时,求数列的前n项和.
【答案】(1)当时,;当时,;(2).
【解析】(1)是的等比中项,
,即,整得,
解得或,
当时,,
当时,;
(2)由(1)知,当时,
,)
.
7.(2024·静宁县第一中学高三月考)已知为数列的前项和,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)当时,,∴
当时,因为①所以②
①-②得,∴.
所以数列是首项为,公比为的等比数列.
∴.
由(1)得
,
∴.
8.(2024·宁夏银川市·银川一中高三月考)已知数列为递增的等差数列,其中,且成等比数列.
(1)求的通项公式;
(2)设记数列的前n项和为.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)在等差数列中,设公差为d≠0,
由题意,得,
解得.
∴an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1;
(2)由(1)知,an=2n﹣1.
则,
∴
.
9.(2024·全国高三月考)已知数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1),;(2).
【解析】(1)当时,;
当时,
若时,
故,.
(2)依题意,
故.
10.(2024·江苏南通市·高三期中)已知等差数列的首项为,公差为,前n项的和为 ,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前n项的和为Tn,求Tn.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由题意,等差数列中,因为,
可得,因为,可得,
所以数列的通项公式为.
(2)由(1)可得,
所以.
11.(2024·云南昆明市·昆明一中高三月考)已知数列的前项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由得:,
因为,
当时,,而,
所以数列的通项公式.
(2)因为,
所以,
所以,
,
.
12.(2024·全国高三月考)已知等差数列的前项和为,且,.
(1)求数列的通项公式以及前项和;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1),;(2).
【解析】(1)依题意,,解得,故①,
而,故,故②,
联立①②两式,解得,,
故,
;
(2)依题意,,
故.
13.(2024·江苏镇江市·高三期中)已知等差数列的前项和为,若,.
(1)求数列的通项公式及;
(2)若,求数列的前项和.
【答案】(1),;(2).
【解析】(1)解:设等差数列首项为,公差为,
,,
得:,
解得:,
,
;
(2),
.
14.(2024·湖南衡阳市一中高三期中)设数列的前n项和为,从条件①,②,③中任选一个,补充到下面问题中,并给出解答.已知数列的前n项和为,,____.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前n和.
【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析.
【解析】选条件①时,
(1)时,整得,
所以.
(2)由(1)得:,
设,其前项和为,
所以 ①,
②,
①②得:,
故,
所以.
选条件②时,
(1)由于,
所以①,当时,②,
①②得:,
,
整得,
所以.
(2)由(1)得:,
设,其前项和为,
所以 ①,
②,
①②得:,
故,
所以.
选条件③时,
由于, ①
②
①②时,,整得(常数),
所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列.
所以.
(2)由(1)得:,
设,其前项和为,
所以①,
②,
①②得:,
故,
所以.
15.(2024·商河县第二中学高三期中)已知数列前项和为,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由题知,
即,
即,∵,∴,∴,
∴数列是首项为3,公比为3的等比数列,
∴,∴;
(2)由(1)知,,
∴, ①
∴, ②
①②得,,
∴.
16.(2024·山西高三月考)已知数列中,,
(1)证明:数列是等比数列
(2)若数列满足,求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析 ;(2) .
【解析】(1)证明:由,知
又,∴是以为首项,3为公比的等比数列
(2)解:由(1)知,∴,
两式相减得
∴
17.(2024·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中)记是正项数列的前n项和,是6和的等比中项,且.
(1)求的通项公式;
(2)若等比数列的公比为,且成等差数列,求数列的前n项和.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)因为是6和的等比中项,所以,
当时,,由得,
化简得,即或者(舍去),
故,数列为等差数列.
因为,解得或(舍去),
所以数列是首项为1、公差为3的等差数列,所以.
(2)由成等差数列,可得,
可得,
又,所以,
所以.
由(1)得,
所以,,
两式相减得,
所以.
18.(2024·深州长江中学高三期中)在各项均为正数的等比数列中,,,
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记,求数列的前n项和.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)设等比数列的首项为,公比为q(),
由己知得,则解得,
所以数列是以3为首项,3为公差的等差数列,
即.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
所以
(1)
(2)
由(1)(2),得
∴.
19.(2024·广东肇庆市·高三月考)已知数列的前n项和为,.
(1)求;
(2)若,求数列的前n项和.
【答案】(1); (2).
【解析】(1)由题意,数列满足,
当时,可得,
两式相减,可得,整得,即,
当时,可得,解得,
所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,
所以,所以.
(2)由(1)知,则
设,数列的前项和分别为,
则
,
两式相减得,
所以,
又由,
所以数列的前n项和.
20.(2024·沙坪坝区·重庆一中高三月考)已知数列满足:,且对任意的,都有1,成等差数列.
(1)证明数列等比数列;
(2)已知数列前n和为,条件①:,条件②:,请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件来求数列前n和.
【答案】(1)证明见解析;(2)答案不唯一,具体见解析.
【解析】(1)由条件可知,
即,∴,且
∴是以为首项,为公比的等比数列,
∴,∴
(2)条件①:,
利用错位相减法:
化简得
条件②:
利用错位相减法:
化简得
21.(2024·河北衡水市·衡水中学高三月考)已知等差数列满足,数列是以1为首项,公差为1的等差数列.
(1)求和;
(2)若,求数列的前项和.
【答案】(1),;(2).
【解析】(1)因为,
所以,,,
因为等差数列,
所以,
即,解得,
所以,,.
因为数列是以1为首项,公差为1的等差数列,
所以,.
(2)由(1)得,
所以,①
,②
①-②得,
所以.
22.(2024·广东深圳市·福田外国语高中)已知数列的前n项和为,点在直线,上.
(1)求的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)∵点在直线上,,
∴.
当时,,则,
当时,,.
两式相减,得,所以.
所以是以首项为2,公比为2等比数列,
所以.
(2),
,
所以.
23.(2024·稷山县稷山中学高三月考())已知等差数列,为其前项和,
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)设数列的首项为,公差为,则根据题意得:
由,解得,所以.
(2),则
.
24.(2024·江苏无锡市)在等差数列中,已知,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若________,求数列的前项和.在①,②这两个条件中任选一个补充在第(2)问中,并对其求解.
【答案】(1);(2)答案不唯一,见解析.
【解析】(1)设等差数列的公差为,
由题意得,,解得.;
(2)选条件①:,
;
选条件②:,,
,
当为正偶数时,;
当为正奇数时,为偶数,
.
.
25.(2024·全国高三专题练习)在等差数列中,已知,.在①;②;③这三个条件中任选一个补充在第(2)问中,并对其求解.
(1)求数列的通项公式;
(2)若______,求数列的前项和.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【答案】(1);(2)答案见解析.
【解析】(1)设等差数列的公差为,则,
即,解得,故.
(2)选①,由得,
.
选②,.
当为偶数时,;
当为奇数时,.
故
选③,由得,
,①
,②
①-②得,
,
故.
26.(2024·江苏扬州市)在等差数列中,,再从条件①、条件②设数列的前项和为,这两个条件中选择一个作为已知,求:
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
【答案】条件选择见解析;(1);(2).
【解析】(1)若选①
设数列公差为,由,则
即,∴.
若选②
设数列公差为,
因为,则,
所以,则,.
所以.
(2)由题得数列是以3为首项,1为公差的等差数列,
数列是以为首项,为公比的等比数列,
所以.
27.(2024·长春市第五中学高三期中)已知数列的前项和,,数列是等差数列,且,.
(1)求数列和的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
【答案】(1); (2)
【解析】(1)当时,,得
当时, ……①
……②
由①-② 得,即
所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列,所以
所以,.则等差数列的公差为
所以
(2)
28.(2024·稷山县稷山中学高三月考)已知数列的前项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)因为,
当时,,
当时,,
因为也满足,
综上.
(2),
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