湖南省益阳市沅江市两校联考2024年下学期八年级数学期末自我检测

这是一份湖南省益阳市沅江市两校联考2024年下学期八年级数学期末自我检测，共25页。
注意事项:
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号;
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效;
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示:
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁;
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸;
一、选择题(本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项)
1．下列各数中，属无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．数9的平方根是（ ）
A．B．3C．D．
3．下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，AD＝6，过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E， 若△AED 的周长为 16，则边 AB 的长为（ ）
A．6B．8C．10D．1
8．一天上班高峰时，某大厦电梯已经挤了很多人，现在所有人重量为x公斤．公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起，大胖不得不走出电梯等待下一班．此时公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起，电梯缓缓关上了门，留下了尴尬的大胖．已知当电梯承载的重量超过公斤时警示音响起，则x的取值范围可用下列哪一个不等式表示 （ ）
A．B．
C．D．
9．实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A．7B．C．D．无法确定
10．已知，如图，，，与相交于点，则下列正确的个数为（ ）
；；；共有对全等三角形．
A．B．C．D．
二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项)
11．比较大小： ．（填“”，“”或者“”）
12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形顶角的度数为 ．
13．若关于x的方程无解，则m的值是 ．
14．关于三角形的内角，有下列说法：①至少有两个锐角，②最多有一个直角，③必有一个角大于，④至少有一个角不小于．其中不正确的说法是 （填序号）．
15．如图，，，若，则等于 ．
16．已知，求的值为 ．
17．八（1）班同学开展了“庆国庆”课外阅读知识竞赛．一共有20道题，答对每题加5分，不答不扣分，答错每题倒扣2分．已知小明答错的题数与不答的题数一样多，最后比赛得分超过75分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为 ．
18．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线交于点 D，交 于点 E，连结，则 ．

三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10.分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19．计算：．
20．解决下面问题
(1)解不等式；
(2)解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
21．先化简，再求值：，其中，．
22．如图，在中，．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
23．如图，在中，是上一点，，是外一点，，．求证：．
24．2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元。
(1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？
(2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润不少于6000元，求m的最小值？
25．阅读材料：
通过小学的学习，我们知道，，
在分式中，类似地，．
探索：
（1）如果，则 ；如果，则 ；
总结：
（2）如果（其中a、b、c为常数），则求m的值．（用含a、b、c的代数式表示）
应用：
（3）利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值．
26．【教材再现】
（1）期中复习期间，数学老师沈老师将教材42页例5复印下来，请你再一次完成证明．
如图1，，，垂足分别为，，，求证：．
【变式拓展】
（2）沈老师改变（1）中的条件和图形，提出下面的问题，请你解答．
如图2，是等腰直角三角形，，，为中点，交延长线于点，于．求证：．
【学以致用】
（3）在（2）的条件下，如图3，作关于直线成轴对称的，连接，若求的面积．
参考答案
1．C
【分析】此题主要考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根，
首先计算算术平方根，然后根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）进行判断即可．
点播：解：A、不是无理数，是有理数，故本选项错误；
B、，是有理数，不是无理数，故本选项错误；
C、是无理数，故本选项正确；
D、不是无理数，故本选项错误；
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据平方根的定义，正数的平方根有2个，且互为相反数即可求解．
点播：解：数9的平方根是
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此即可判断求解，掌握最简分式的定义是解题的关键．
点播：解：、分子分母中含有公因数，不是最简分式，该选项不合题意；
、，分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意；
、是最简分式，该选项符合题意；
、分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意；
故选：．
4．D
【分析】本题主要考查了完全平方公式、积的乘方，整数指数幂运算；熟练掌握以上运算法则是解题的关键，根据这些法则，逐项判断即可；
点播：、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项符合题意；
故选：．
5．A
【分析】此题考查了三角形的内角和定理．根据三角形的内角和是180°，设三个内角分别为，则，分别求得三个内角的度数，即可解答．
点播：解：∵一个三角形三个内角的度数之比是，
设三个内角分别为，则
解得：，
∴这三个内角分别为，
∴这个三角形是直角三角形，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后观察各选项即可．
点播：解：
由①，得，
由②，得，
故原不等式组的解集是，
故选：C．
7．C
【分析】根据平行线、角平分线以及等腰三角形的性质即可得出答案．
点播：∵DE∥BC
∴∠EDB=∠DBC
又BD是∠ABC的角平分线
∴∠EBD=∠DBC
∴∠EBD=∠EDB
∴ED=EB
∵三角形AED的周长=AE+ED+AD=AE+EB+AD=AB+AD=16
又AD=6
∴AB=16-AD=16-6=10
故答案选择C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的等角对等边的性质，难度不大，需要熟练掌握相关基础知识．
8．C
【分析】本题考查了一元一次不等式组在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键．
点播：解：∵．公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起
∴
∵公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起
∴
解得：
故选：C
9．A
【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解．
点播：解：根据数轴得：，
∴，
∴
．
故选：A．
10．B
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．首先根据可证，从而可证，再根据可证，根据全等三角形对应边相等可证，可知正确；根据可证，根据全等三角形的对应角相等可证，可知正确；没有已知条件可以证明，所以错误；根据可证，由和可知、、，所以共有对全等三角形．
点播：解：在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，故正确；
由可知，
在和中，
，
，故正确；
没有已知条件可以证明，故错误；
由和可知、、，
由可知，
在和中，
，
共有对全等三角形，
故正确．
一共有个结论正确．
故选：B．
11．
【分析】本题考查了实数大小比较的方法，熟练掌握“作差法”是解题的关键．利用作差法进行计算，比较即可解答．
点播：解：
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．或
【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和为180度，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，等边对等角．
根据题意进行分类讨论：①如答图①，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在等腰三角形外部．由题意得，．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角；②如答图②，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在等腰三角形内部，此时有，，结合三角形内角和即可解答．
点播：解：①如图①，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在等腰三角形外部．
由题意得，．
∴；
②如图②，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在等腰三角形内部，
此时有，，
∴，
故答案为或．
13．或1
【分析】本题主要考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
由分式方程无解可知，分式分式方程去分母后把x的值代入即可求出m的值．
点播：解：∵分式方程无解，
∴，
∴，
∵，
∴，
把代入得，
，
∴；
另外当，即时，此方程也无解；
综上分析可知，m的值是或1．
故答案为：或1．
14．③
【分析】本题考查了三角形内角和定理，反证法，举反例，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．根据反证法，可证明①②④正确，通过举反例，可证明③错误．
点播：解：①若三角形的三个内角至多只有一个锐角，则三个内角中至少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以①正确；
②若三角形的三个内角最少有2个直角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以②正确；
③因为三角形的三个内角可以都等于，所以③错误；
④若三角形的三个内角都小于，那么三个内角的和就小于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以④正确．
故答案为：③．
15．4
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，结合图形根据线段的和差计算即可．
点播：解：∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
16．
【分析】本题考查了完全平方公式，分式的性质，关键是把原式利用完全平方公式进行整理．根据题意，得到，将已知等式变形为，再利用完全平方公式变形，即可得到结果．
点播：解：∵，
∴，
∴，即，
∴，即，
∴
故答案为：．
17．
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式；设小明答错了道题，则答对的题数为道，根据最后比赛得分超过75分列出一元一次不等式即可．
点播：解：设小明答错了道题，则答对的题数为道，
根据题意，．
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，角的计算，由得到由作图可知，垂直平分，得到，再得出即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
点播：解：∵
∴
由作图可知，垂直平分，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
19．9
【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减．
点播：解：
．
20．(1)；
(2)，数轴见解析．
【分析】此题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集．解一元一次不等式组需分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
（1）不等式移项，合并同类项，化系数为1即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
点播：（1）解：将不等式两边同乘以得，
，
移项合并得，
解得；
（2）解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
则不等式组的解集为，
在数轴上表示：
21．
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化；先根据分式的混合运算进行计算，然后将字母的值代入进行计算即可求解．
点播：解：原式
当，时，
原式．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，
（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得，则，进而可得，再根据等腰三角形的性质可得，，最后根据，可得，进而可得答案．
点播：（1）解：如图，直线即为所求．
（2）解：∵直线为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据题意可得，根据全等三角形的判定可证明，根据全等三角形的性质即可证明．
点播：证明：∵，，
则，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
24．(1)购进“滨滨”400个，“妮妮”600个
(2)m的最小值为200
【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式的实际应用：
（1）设购进“滨滨”x个，则购进“妮妮”个，根据题意列一元一次方程，解方程即可；
（2）根据促销规则列不等式，求出不等式的最小整数解即可．
点播：（1）解：设购进“滨滨”x个，则购进“妮妮”个．
，
解得，
∴．
答：购进“滨滨”400个，“妮妮”600个．
（2）解：由题意得，
解得，
答：m的最小值为200．
25．（1）1；；（2）；（3）或或2或
【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是：
（1）类似于题干例子变形，再利用分式相等的条件确定出m的值即可；
（2）类似于题干例子变形，再利用分式相等的条件确定出m的值即可；
（3）类似于题干例子变形，根据得到的结论确定出整数x的值即可．
点播：解：（1）∵
又，
∴；
∵
，
又，
∴，
故答案为：1；；
（2）∵
，
又，
∴；
（3）
，
∵的值为整数，
∴的值为整数，
∴或，
∴或或2或．
26．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）证明，再利用斜边直角边证明即可得到结论；
（2）如图，连接，作交于点．证明，可得，再证明，可得是等腰直角三角形．再证明，从而可得结论；
（3）如图，取中点，连接．证明，． 求解．再证明，可得，由（2）得，可得，再利用面积公式可得答案．
点播：（1）证明：，，
，
在和中，
，
，
．
（2）证明：如图，连接，作交于点．
交延长线于，
，
．
∵为中点，
，
，
．
，，
，
．
，
又，
．
，即．
，
，
，．
是等腰直角三角形．
，
，
，
．
，
．
又，
，
，
．
（3）如图，取中点，连接．
与关于直线成轴对称，
，
，．
由（2）得，
，
，
．
为中点，
，
，
，
．
为等腰直角三角形，
，
，即．
在与中，
，
，
，．
，
由（2）得，
．
，
．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，本题难度较大，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．