湖南省益阳市沅江市两校联考2024年下学期九年级数学期末自我检测

这是一份湖南省益阳市沅江市两校联考2024年下学期九年级数学期末自我检测，共27页。
注意事项:
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号;
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效;
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示。
一、选择题(本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项)
1．若为关于的反比例函数，则的值是（ ）
A．B．0C．1D．2
2．已知，则下列比例式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．在一次演讲比赛中，组委会邀请了7位评委为选手打分，并规定同时去掉一个最高分与最低分，将剩下5位评委的平均分作为该选手的最终得分．在7位评委的7个打分数据与后面保留的5个数据中，一定保持不变的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
4．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．且
5．沅江市琼湖公园，承载着岁月的沉淀，见证着城市的变迁。现将一张照片（长英寸，宽10英寸）贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同均为英寸，如图所示．已知矩形衬纸的面积为照片面积的倍，则下列所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在中，，则（ ）
A．B．C．D．
7．关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为B．当时，随的增大而减小
C．开口方向向上D．函数最小值是
8．函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，平行四边形，是边延长线上一点，连结交于点，若，设面积为，则平行四边形面积为（ ）
A．B．C．D．
10．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项)
11．已知一元二次方程，则方程的根为 ．
12．已知反比例函数的图象经过点，则k的值为 ．
13．在中，，则 ．
14．某小区有1300个住户，为了解小区居民的生活垃圾量（单位：），物业公司某日在该小区内随机抽取4栋楼的住户进行调查，结果如表所示．根据表格，估计该小区居民当日生活垃圾总量为
15．如图，，若，，则 ．
16．某市开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为 米．
17．如图，已知点A在反比例函数的图象上，轴于点C，点B在x轴的负半轴上，若，则k的值为 ．
18．如图，在钝角三角形中，，动点从点出发沿以的速度向点运动，到达点停止．同时动点从点出发以的速度沿方向运动，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当以、、为顶点的三角形与相似时（两个三角形不重合），运动时间是 s．
三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10.分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19．按要求解下列方程：
(1)；（公式法）
(2)．（配方法）
20．为了解本校九年级学生的体质健康情况，胡老师随机抽取32名学生进行了一次体质健康测试，规定分数在75分以上为良好．根据测试成绩制成统计图表．
请根据上述信息解答下列问题：
(1)补全条形统计图，并求 ；
(2)样本数据的中位数位于 组；
(3)该校九年级学生有960人，估计该校九年级学生体质健康测试成绩为良好的有多少人？
21．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大到原来的倍后得到，其中、在图中格点上，点、的对应点分别为、．
(1)在第一象限内画出，并直接写出点、的坐标；
(2)若线段AB上有一点，请写出点在上的对应点的坐标．
22．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若是等腰三角形，，另外两边是方程的根，求的周长．
23．如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．请列出方程并解答：
(1)若苗圃园的面积为，求x的值；
(2)苗圃园的面积能达到吗？若能，求出x的值；若不能，说明理由．
24．已知二次函数的图像经过点、．
(1)试确定此二次函数的表达式；
(2)求顶点坐标及对称轴；
(3)判断点是否在这个二次函数的图像上，并说明理由．
25．如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在处测得小岛在北偏东方向，2小时后渔船到达处，测得小岛在北偏东方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：，，，）
(1)求处到小岛的距离（精确到个位）；
(2)为安全起见，渔船在处向东偏南转了继续航行，通过计算说明渔船是否安全？
26．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围；
(3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
所抽取的居民楼
A栋
B栋
C栋
D栋
住户数
30
40
10
20
该栋所有住户当日产生的生活垃圾总量（）
40
45
70
35
组别
分数段
人数
A
2
B
5
C
a
D
12
1．C
【分析】本题考查反比例函数的定义和解一元一次方程，形如的函数，叫反比例函数．根据反比例函数定义直接列式求解即可得到答案．
点播：解：∵为关于的反比例函数，
∴，
解得，
故选C．
2．A
【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
根据比例的性质“如果，那么”逐项判断即可．
点播：解：A、，则，故该选项说法正确，符合题意；
B、，则，故该选项说法错误，不符合题意；
C、，则，故该选项说法错误，不符合题意；
D、，则，故该选项说法错误，不符合题意．
故选：A．
3．B
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的意义进行分析判断即可．
点播：解：去掉一个最高分与最低分，平均数，众数，方差都有可能发生变化，只有中位数不变，
故选：B．
【点睛】此题考查了平均数，众数，中位数，方差的意义，正确掌握各意义是解题的关键．
4．C
【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．根据根的判别式即可求出答案．
点播：解：由题意可知：，
∴，
∵方程是一元二次方程，
∴，
∴且，
故选C．
5．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是表示出大矩形的长与宽．
根据“矩形衬纸的面积为照片面积的倍”列出方程求解即可．
点播：解：依题意，矩形衬纸的面积为，
照片面积为，
∴．
故选：D ．
6．C
【分析】本题考查了勾股定理，三角函数，熟练掌握余弦的定义是解题的关键；根据勾股定理求出邻边，再根据余弦的定义求解即可．
点播：解：在中，，
，
，
故选：．
7．B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据的图象和性质进行判断即可．
点播：解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，函数有最小值为，当时，随的增大而增大；
综上：只有选项B说法错误，符合题意；
故选B．
8．C
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的综合判断，分当时，当时，两种情况分别求出对应函数图象经过的象限即可得到答案．
点播：解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、二、三象限，故选项C符合题意，选项D不符合题意；
当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意，
故选：C．
9．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
根据平行四边形易得，，由得，，所以，即可得出答案．
点播：解：平行四边形，
，，，
，，
，
，，
，，
面积为，
，，
，
，
故答案为：A．
10．B
【分析】本题考查了二次函数图象和系数的关系，熟练掌握二次函数图象与的关系是解决本题的关键．
①图像可知，且，故①错误；②把代入即可，故②正确；③根据对称的关系和c的大小即可，得到答案，故③正确；④把和分别代入函数式，得到结果即可，故④错误．
点播：解：①∵，
∴
∵，
∴故①错误；
②由图象可知：时，；
即，故②正确；
③由图象可知，
∴，
又，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
故③正确；
④由图象可知：时，，
又，
即，
∴，
∴故④错误．
11．，
【分析】本题考查了解一元二次方程；根据两个数的积为0，则其中至少一个为0即可求解；
点播：解：∵，
∴或，
∴，．
故答案为：，．
12．8
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．把代入反比例函数，求出k的值即可．
点播：解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得：．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，能熟记锐角的正切的定义是解此题的关键．根据代入即可得出答案．
点播：解：在中，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法是解题的关键．
先求出栋楼的住户当日生活垃圾总量，然后用这栋楼的住户当日生活垃圾总量去估计该小区居民当日生活垃圾总量即可．
点播：解：，
个住户的当日生活垃圾总量为：
（），
估计该小区个住户的当日生活垃圾总量为：
（），
故答案为：．
15．
【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键．
利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
点播：解：∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
16．4
【分析】本题考查坡度问题，以及勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识。利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离．
点播：解：坡比，，
，即，
解得，
（米），
故答案为：4．
17．
【分析】本题考查了反比例函数与图形面积，熟练掌握反比例函数的几何应用是解题关键．设点的坐标为，则，根据三角形的面积公式可得，再将点代入反比例函数的解析式求解即可得．
点播：解：设点的坐标为，则，
∵，边上的高等于，
∴，即，
将点代入反比例函数得：，
故答案为：．
18．或 或
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意，设运动时间为，分别用含的式子表示出或，再根据相似三角形的判定，分类讨论：当时，；当时，；由此列式求解即可．
点播：解：当点从运动，
点从的运动时间为，点从的运用时间为，
设运动时间为，
∴，
∵是钝角三角形，
∴，
∵是公共角，
∴当时，，
∴，
解得，，符合题意；
当时，，
∴，
解得，，符合题意；
当点从运动，
设运动时间为，
∴，
∵是钝角三角形，
∴，
∵是公共角，
∴当时，，
∴，
解得：，此时点与点重合，舍，
当时，，
∴，
解得：，符合题意，
综上所述，当运动时间是或或时，以为顶点的三角形与相似，
故答案为：或 或．
19．(1)，;
(2)，.
【分析】此题考查一元二次方程，解题的关键是根据题目要求按照步骤进行计算求解．
（1）根据公式法的求解步骤进行求解即可；
（2）按照配方步骤即可解得．
点播：（1）解：
，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：，
，
，
∴，
∴或，
∴，．
20．(1)见解析，13
(2)C
(3)750人
【分析】本题考查了频数分布表，画条形统计图，中位数的定义，样本估计总体，从统计图中获取信息是解题的关键．
（1）用32减去表格中其他数据，求得a的值，再补全统计图即可；
（2）根据中位数的定义求解；
（3）用样本估计总体，用960乘以C，D人数的占比即可求解．
点播：（1）解：由题意得，，
补全统计图如下：
（2）解：∵一共有32人，
∴把这组学生的成绩按照从低到高排列，中位数为第16名和第17名成绩的平均数，
∵，，
∴第16、17名学生的成绩都在C组，
∴样本数据的中位数位于C组；
（3）解：解：，
答：估计该校九年级学生体质健康测试成绩为良好的有750人．
21．(1)见解析，，；
(2)．
【分析】本题主要考查了位似变换，和位似图形的性质．解决本题的关键是根据位似比作出图形，再根据位似比得到对应点的坐标．
（1）根据位似比为，延长到，使，延长到，使，连接，得到即为所求；
（2）根据位似比为，可知对应点的坐标也要扩大倍，从而得到点的坐标．
点播：（1）解：如下图所示：
延长到，使，延长到，使，
连接，得到，
即为所求，，；
（2）解：点在线段AB上，
点在线段上的对应点的坐标为：．
22．(1)见解析；
(2)10或14．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件：
（1）根据根的判别式证明即可；
（2）先解方程得到，，再根据等腰三角形的两条边是方程的解，得到是方程的解，据此求出方程的两个根，进而确定的三边长，结合构成三角形的条件求解即可．
点播：（1）证明：由题意得，，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：解方程得，
，．
当时，解得，此时等腰三角形三边分别为4，4，2，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴的周长为；
当时，解得，此时等腰三角形三边分别为4，4，6，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴的周长为．
综上所述，的周长为10或14．
23．(1)x的值为9
(2)苗圃园的面积不能达到，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据苗圃园的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长为，即可确定结论；
（2）假设苗圃园的面积能达到，根据苗圃园的面积为，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即苗圃园的面积不能达到．
点播：（1）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：x的值为9；
（2）解：苗圃园的面积不能达到，理由如下：
假设苗圃园的面积能达到，
根据题意得：，
整理得：，
∵，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即苗圃园的面积不能达到．
24．(1)
(2)顶点坐标为，对称轴为直线
(3)点在这个二次函数的图像上，见解析
【分析】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数一般式改为顶点式，二次函数的性质，掌握利用待定系数法求函数解析式和二次函数的性质是解题关键．
（1）将、代入，求解即可；
（2）将（1）所求一般式改为顶点式即可解答；
（3）令，求出y的值，即可判断．
点播：（1）解：由题意得，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴顶点坐标为，对称轴为直线；
（3）解：点在这个二次函数的图像上．
理由：∵当时，，
∴点在这个二次函数的图像上．
25．(1)B处距离小岛C的距离约为海里
(2)安全，说明见解析
【分析】本题考查解直角三角形的应用．根据题意，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
（1）如图，过点作于，根据题意求出，利用和锐角三角函数，分别表示出：，再利用，求出，然后求出即可；
（2）如图，过点作于，求出的长度，即可得解．
点播：（1）解：如图，过点作于，
由题意得， ，，
海里，
∵，
∴，
在中，
∵ ，
∴，
∵，
即：，
解得，
在中，（海里） ，
答：B处距离小岛C的距离约为海里；
（2）解：如图，过点作于，
在中，，，
∴

(海里)，
∵，
∴能安全通过，
答：能安全通过．
26．(1)，
(2)或
(3)存在，或或或
【分析】（1）首先把点的坐标代入反比例函数解析式中，求得反比例函数解析式，然后把点坐标代入反比例函数解析式中求得点的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式即可；
（2）一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围，就是反比例函数的图像在一次函数的图像的上方部分所对应的自变量的范围；
（3）当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求出点坐标即可．
点播：（1）解：将代入，得：
，
反比例函数的解析式是，
将代入，得：
，
的坐标为，
将，代入，得：
，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）解：根据图像可知，使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围为：
或；
（3）解：在轴上存在点，使是等腰三角形，点的坐标为或或或，
理由如下：
如图，过点作轴于点，
，
，，
，
当是等腰三角形时，分三种情况讨论:
①当时，
由，等腰三角形三线合一的性质可得：
，
，
；
②当时，
根据题意，可得：，
在中，由勾股定理可得：，
,
解得：，
；
③当时，
当点在点左侧时，，
当点在点右侧时，；
综上所述，点的坐标为：或或或．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，求反比例函数解析式，从函数的图象获取信息，三线合一，勾股定理，已知两点坐标求两点距离，解一元一次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式并运用分类讨论思想是解题的关键．