①寒假复习-第01讲 电场力的性质2025年高二物理寒假衔接讲练 (人教版)

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知识点1：库伦定律 电荷守恒定律
1．点电荷
有一定的电荷量，忽略形状和大小的一种理想化模型．
2．电荷守恒定律
（1）起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电．
（2）带电实质：物体带电的实质是得失电子．
（3）内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变．
3．库仑定律
（1）内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上．
（2）表达式：，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫做静电力常量．
（3）适用条件：①真空中；②点电荷．
①对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离．
②对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示．
a. 同种电荷：F＜keq \f(q1q2,r2)； b. 异种电荷：F＞keq \f(q1q2,r2).
③．不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r →0时，两个带电体已不能看做点电荷了．
知识点2：库仑力作用下的平衡问题
1.电场力的两个表达式
2. 三个自由点电荷的平衡问题
（1）条件：两个点电荷在第三个点电荷的合场强为零，或每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反。
（2）三个点电荷的平衡规律
①“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；②“两同夹一异”——正负电荷相互间隔
③“两同夹一小”——中间电荷电荷量最小；④“远小近大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷
静电场中带电体平衡问题的解题思路
（1）确定研究对象，如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”和“隔离法”，确定研究对象；
（2）受力分析：分析方法和动力学的受力分析方法一致，唯一的区别是多了一个库仑力；
知识点3：电场强度和电场线的理解及应用
1．电场
（1）定义：存在于电荷周围，能传递电荷间相互作用的一种特殊物质．
（2）基本性质：对放入其中的电荷有力的作用．
2．电场强度
（1）定义：放入电场中某点的电荷受到的电场力F与它的电荷量q的比值．
（2）定义式：E＝eq \f(F,q)，q为试探电荷．
（3）矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向．
3．电场强度三个公式的比较
4. 等量同种和异种点电荷的电场强度的比较
（1）任意两条电场线不相交不相切；
（2）电场线的疏密表示电场的强弱，电场线越密，电场强度越大，电场线越稀，电场强度越小；
（3）电场线上任意一点的场强方向即为该点的切线方向。正电荷受力方向与该点电场方向相同；负电荷受力方向与该点电场方向相反；
（4）两条电场线间的空白区域，也存在电场；
知识点4：电场强度的叠加与计算
叠加原理
多个电荷在空间某处产生的电场为各电荷在该处产生的电场强度的矢量和；
运算法则：平行四边形法则
电场强度计算的四种特殊方法
(1)等效法：在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示．
(2)对称法：利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
如图丙所示，均匀带电的eq \f(3,4)球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的场强方向，又等效为弧的中点M在O点产生的场强方向．
(3)填补法：将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍．
(4)微元法：将带电体分成许多元电荷，每个元电荷看成点电荷，先根据库仑定律求出每个元电荷的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强．
5.极限法
极限法是把某个物理量推向极端，即极大或极小、极左或极右，并依此作出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。
等量异种点电荷的电场中在两点电荷的连线上，中点的电场强度是最小的但在两点电荷连线的中垂线上，该中点的电场强度却是最大的。
6.平衡法
在涉及平衡问题且不能直接用E=Fq上或E=kQr2名求电场强度的情况下，可以通过受力分析，根据平衡条件求得。
强化点一 三种电荷的起点方式
(1)当带电体靠近导体时，导体上靠近带电体的一端出现与带电体异种的电荷，远离带电体的一端出现与带电体同种的电荷。
(2)导体接地时，该导体与地球可视为一个整体，地球既能提供足够量的电子，也能吸收足够量的电子。
【典例1】（23-24高二上·北京大兴·期末）用绝缘柱支撑着贴有小金属箔的导体A和B，使它们彼此接触，起初它们不带电，贴在它们下部的并列平行双金属箔是闭合的。现将带正电荷的物体C移近导体A，发现金属箔都张开一定的角度，如图所示，则（ ）
A．B下部的金属箔感应出负电荷B．A下部的金属箔感应出负电荷
C．A和B下部的金属箔都感应出负电荷D．A和B下部的金属箔都感应出正电荷
【答案】B
【详解】由于物体C带正电，因此当C靠近A时，A将感应出负电荷，即导体中的自由电子将向A端移动，也因此使导体B端失去电子而带上正电，则与A相连的金属箔因带负电而张开，与导体B相连的金属箔因带正电而张开。
故选B。
【变式1-1】如图所示，铝球A、铜制导体B和C固定在绝缘支架上，B、C左右紧靠，A球带负电，B、C整体不带电。下列说法正确的是（ ）
A．若先移走A，后将B与C分开，则B带负电，C带正电
B．若先移走A，后将B与C分开，则B带正电，C带负电
C．若先将B与C分开，后移走A，则B带负电，C带正电
D．若先将B与C分开，后移走A，则B带正电，C带负电
【答案】D
【详解】因A带负电，则由于静电感应，则B左端感应出正电，C的右端感应出负电，若先移走A，则B、C上的电荷会再次中和，则将B与C分开后B、C均不带电；若先将B与C分开，后移走A，则B带正电，C带负电。
故选D。
【变式1-2】（23-24高二上·天津滨海新·期末）如图所示，将带正电的导体球C靠近不带电的导体。若沿虚线1将导体分成A、B两部分，这两部分所带电荷量大小分别为、；若沿虚线2将导体分成两部分，这两部分所带电荷量大小分别为、。下列说法正确的是（ ）

A．，A部分带正电B．，A部分带负电
C．，A部分带正电D．，A部分带负电
【答案】C
【详解】AB．在导体球C靠近导体前，左侧导体不带电，当导体球C靠近不带电的导体时，发生了感应起电，左侧导体中的电子发生了转移，但是导体整体仍然呈现电中性，则有，故AB错误；
CD．根据上述可知导体整体仍然呈现电中性，则有
由于导体球C带正电，当导体球C靠近导体时，左侧的导体中的自由电子在导体球C正电的引力作用下向B端聚集，B端得电子带负电，A端失电子带正电，故C正确，D错误。
故选C。
强化点二 静电力的大小和方向
（1）两个点电荷间的静电力可直接利用公式求解；
（2）一个点电荷受其他多个点电荷的静电力作用时，先求出研究对象受其他每个点电荷的静电力，然后按平行四边形定则求合力。
【典例2】（23-24高二上·重庆北碚·期末）真空中两个相同的带等量异种电荷的金属小球A和B（均可看作点电荷），分别固定在两处，两球间静电力大小为F。现用一个不带电的同样的金属小球C先与A接触，再与B接触，然后移开C，再将A、B间距离减小为原来的一半，则A、B间的静电力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设A、B原来所带电荷量分别为＋Q、-Q，则A、B间静电力大小为
将不带电的同样的金属球C先与A接触，再与B接触后，A所带电荷量变为＋，B所带电荷量变为，再将A、B间距离减小为原来的一半，则A、B间静电力大小为，故选A。
【变式2-1】（23-24高二上·天津西青·期末）真空中两个相同的带等量异种电荷的金属小球A和B（均可看做点电荷），分别固定在两处，两球之间的静电力大小为F。现用一个不带电的同样的金属小球C先与A接触，再与B接触，然后移开C，此时A、B之间的静电力大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据题意，设金属小球A的电荷量为，则金属小球B的电荷量为，两球的距离为，则有
用一个不带电的同样的金属小球C先与A接触，则有
再与B接触，然后移开C，则有
此时A、B之间的静电力大小
故选A。
【变式2-2】（多选）（23-24高一下·山东泰安·期中）两个相同的金属小球（可看作点电荷），带电量之比为1∶7，在真空中相距为r，相互间的库仑力为F，现将两小球相互接触后再放回原来的位置上，则它们间的库仑力可能变为（ ）
A．9F B．C．16FD．
【答案】BD
【详解】开始时两电荷间的库仑力为
若两电荷带同种电荷，则接触后各带电量为4q，则库仑力
若两电荷带异种电荷，则接触后各带电量为3q，则库仑力
故选BD。
强化点三 静电力作用下的平衡问题
(1)根据平衡条件解决静电力作用下物体的平衡：静电力作用下平衡问题的分析方法与纯力学平衡问题的分析方法是相同的，只是在原来受力的基础上多了静电力。可以根据问题的特点选择整体法或隔离法分析。
(2)三个自由点电荷的平衡问题：
①条件：每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反。
② 规律：“三点共线”--三个点电荷分布在同一直线上；“两同夹异”--正负电荷相互间隔；“两大夹小”--中间电荷的电荷量最小；“近小远大”--中间电荷靠近电荷量较小的电荷。
【典例3】（23-24高二下·安徽黄山·期末）如图所示，竖直绝缘墙上固定一带电小球A，将质量为m、带电荷量为q的小球B用轻质绝缘丝线悬挂在A的正上方C处，丝线BC长度为，AC两点间的距离为2L.当小球B静止时，丝线与竖直方向的夹角，带电小球A、B可视为质点，重力加速度为g.下列说法正确的是（ ）
A．丝线对小球B的拉力为B．两小球之间的库仑斥力为mg
C．小球A的带电荷量为D．如果小球A漏电导致电量减少少许，丝线拉力变大
【答案】C
【详解】A．由题意可知
所以AB与BC垂直,两小球之间的距离为
对小球B进行受力分析如图
由平衡条件得，丝线对小球B的拉力为，故A错误；
B．两小球之间的库仑斥力为，故B错误；
C．由，可知，故C正确；
D．由相似三角形可知，若A缓慢漏电，两球间的库仑力减小，丝线的拉力大小不变，故D错误。
故选C。
【变式3-1】（多选）（24-25高二上·全国·期末）如图所示为两个电荷量均为的带电小球A和B（均可视为质点），A固定在O点的正下方L处，B用长为L的细线悬挂在O点，静止时，细线与竖直方向的夹角为。已知静电常量为k，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．B的质量为B．细线的拉力大小为
C．O点处的电场强度的大小为D．B在A处产生的电场强度的大小为
【答案】AC
【详解】AB．对B受力分析，如图所示
由几何关系可知，三个力之间的夹角均为，则有
又，则B的质量，细线的拉力大小，故A正确，B错误；
C．根据点电荷电场强度的公式，A、B在O点产生的电场强度的大小都是
又两电场强度方向间的夹角为，结合平行四边形定则得O点处的电场强度的大小为，故C正确；
D．根据点电荷电场强度的公式，B在A处产生的电场强度的大小也为，故D错误。
故选AC。
【变式3-2】如图所示，小球A、C均带正电，B球带负电，A球在绝缘的粗糙水平地面上，B球由绝缘的细线拉着，C球处在与B球等高的位置，A、B、C三球均静止且三者所在位置构成一个等边三角形．若细线与竖直方向的夹角为，，则A、B、C三球所带电荷量大小之比为（ ）

A． B．C．D．
【答案】A
【详解】B、C两球受力，如图所示，对C球，由力的平衡条件可得
对球，由力的平衡条件有
由题设条件有
联立各式解得
由，以及库仑定律，可得
故选A。

强化点四 库仑力作用下的加速问题
带电粒子或带电小球在库仑力及其他力的作用下，可以处于平衡状态，还可以处于非平衡状态，包括沿水平方向做变速运动，沿竖直方向做变速运动(加速度可能恒定，也可能变化)还可能在水平面内做圆周运动。
【典例4】（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图所示，在绝缘且光滑水平地面上有两个带异种电荷的小球A、B，质量分别为、带电量分别为、当用力 F向右拉着A时，A、B小球共同运动，两小球之间的间距为。当用力F向左拉着B时，A、B小球共同运动，两小球之间的间距为，则和的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】对A、B整体由牛顿第二定律有
可知，无论拉力作用在A上还是作用在B上两球共同运动的加速度大小相同，则当拉力作用在A上时，对小球B由牛顿第二定律有
当拉力作用在B上时，对小球A由牛顿第二定律有，解得
故选C。
【变式4-1】质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为＋q。在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图所示，已知静电力常量为k，下列说法正确的是（ ）
A．B球的电荷量可能为＋2qB．C球的电荷量为
C．三个小球一起运动的加速度为D．恒力F的大小为
【答案】C
【详解】A．根据对称性可知，A球的电荷量和B球的电荷量相同，故A错误；
BCD．设C球的电荷量为qC，以A球为研究对象，B球对A球的库仑斥力为
C球对A球的库仑引力为
由题意可得一起运动的加速度方向与F的作用线平行，则有，
解得
且C球带负电，则，，故C正确，BD错误。
故选C。
【变式4-2】（22-23高二上·四川德阳·期末）如图所示，质量均为m、带等量异种电荷的A、B两个小球放在光滑绝缘的固定斜面上，给B球施加沿斜面向上、大小为（g为重力加速度）的拉力，结果A、B两球以相同的加速度向上做匀加速运动，且两球保持相对静止，两球间的距离为L，小球大小忽略不计，斜面的倾角，静电力常量为k，，，求：
（1）两球一起向上做加速运动的加速度大小；
（2）A球所带的电荷量的大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）对两球整体分析，两球一起向上做匀加速运动，设加速度为，根据牛顿第二定律可得，解得
（2）设球的带电量为，对球研究，根据牛顿第二定律有
解得
强化点五 电场强度的分析
(1)电场中某点的电场强度E是由电场本身的特性决定的，与是否放入试探电荷、放入试探电荷的电性及电荷量的多少均无关。
(2)电场强度是矢量，大小和方向均相同时，电场强度才相同。
【典例5】（23-24高二上·北京海淀·期末）某区域的电场线分布如图所示，A、B、C是电场中的三个点，以下判断正确的是（ ）
A．B点电势最高
B．C点电场强度最大
C．负点电荷放在A点所受电场力沿A点的切线方向斜向上
D．同一点电荷放在A点所受电场力比放在B点时大
【答案】A
【详解】A．根据沿电场线电势降低，则B点电势最高，故A正确；
B．电场线越密，电场强度越大，则C点电场强度最小，故B错误；
C．负点电荷受到的电场力方向与电场强度方向相反，则负点电荷放在A点所受电场力沿A点的切线方向斜向下，故C错误；
D．电场线越密，电场强度越大，则
根据，可得，故D错误。
故选A。
【变式5-1】（23-24高二上·陕西·期中）反天刀鱼是生活在尼罗河的一种鱼类，沿着它身体的长度方向分布着带电器官，这些器官能在鱼周围产生电场，反天刀鱼周围的电场线分布如图所示，A、B均为电场中的点。下列说法正确的是（ ）
A．该电场与等量同种点电荷形成的电场相似
B．点的电势小于点的电势
C．一试探电荷在A点受到的电场力小于在B点受到的电场力
D．一试探电荷在A点受到的电场力方向为电场线在该点的切线方向
【答案】B
【详解】A．该电场与等量异种点电荷形成的电场相似。故A错误；
B．根据沿电场线方向电势降低，可知A点的电势小于B点的电势。故B正确；
C．根据电场线的疏密程度表示电场强度的大小，可知A点的电场强度大于B点的电场强度，由
易知一试探电荷在A点受到的电场力大于在B点受到的电场力。故C错误；
D．当试探电荷为正电荷时，在A点受到的电场力方向为电场线在该点的切线方向。故D错误。
故选B。
【变式5-2】如图所示的实线为某静电场的电场线，虚线是某带负电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，A、B、C、D是电场线上的点，其中A、D两点在粒子的轨迹上，下列说法正确的是（ ）
A．该电场可能是正点电荷产生的
B．该粒子在A点的速度一定大于在D点的速度
C．由图可知，同一电场的电场线在空间是可以相交的
D．将该粒子在C点由静止释放，它可能一直沿电场线运动
【答案】B
【详解】A．正点电荷周围的电场线是从正点电荷出发，呈辐射状分布的，A错误；
B．由于做曲线运动的物体受力的方向指向曲线的凹侧，若粒子从A点到点，则粒子的速度方向与所受电场力方向的夹角为钝角，则粒子的速度减小，若粒子从点到A点，则粒子的速度方向与所受电场力方向的夹角为锐角，则粒子的速度变大，都是粒子在A点的速度大于在D点的速度，B正确；
C．同一电场的电场线在空间不能相交，否则同一点具有两个电场强度方向，C错误；
D．只有粒子的初速度为零，且电场线为直线的情况下粒子才可能沿电场线运动，D错误。
故选B。
强化点六 电场强度的大小和图像
(1)上适用于任何电场中电场强度的计算，仅适用于点电荷产生的电场强度的计算；
(2)电场强度的叠加遵循平行四边形定则
【典例6】（23-24高二上·浙江杭州·期末）如图甲所示，在x轴上有一个点电荷Q（图中未画出），O、A、B为轴上三点。放在A、B两点的试探电荷受到的静电力与其所带电荷量的关系如图乙所示。以x轴的正方向为静电力的正方向，则（ ）
A．点电荷Q一定为正电荷B．点电荷Q在A、B之间
C．点电荷Q在A、O之间D．A点的电场强度大小为
【答案】B
【详解】ABC．由图乙知，正的试探电荷放在A点和负的试探电荷放在B点所受的静电力的方向都沿x轴的正方向，说明点电荷Q为负电荷且在A、B之间，故AC错误，B正确；
D．由图像的斜率，可知，故D错误。
故选B。
【变式6-1】（23-24高二上·广东深圳·期末）在真空中的轴上的原点处和处分别固定一个点电荷、，在处由静止释放一个正点电荷，假设点电荷只受电场力作用沿轴方向运动，得到点电荷速度大小与其在轴上的位置关系如图所示（其中在处速度最大），则下列说法正确的是（ ）
A．点电荷、一定为异种电荷B．点电荷、所带电荷量的绝对值不相等
C．处的电场强度最大D．点电荷在处的的电势能最大
【答案】B
【详解】A．由图象可知，点电荷P的速度先增大后减小，所以点电荷P的动能先增大后减小，说明电场力先做正功，后做负功，结合正电荷受到的电场力的方向与场强的方向相同可知，电场强度的方向先沿x轴的正方向，后沿x轴的负方向，根据点电荷的电场线的特点与电场的叠加原理可知，点电荷M、N一定都是正电荷，故A错误；
BC．由图可知，在处点电荷P的速度最大，速度的变化率为0，说明了处的电场强度等于0，则M与N的点电荷在处的电场强度大小相等，方向相反，根据库仑定律得
所以点电荷M、N所带电荷量的绝对值之比为4：1，故B正确，C错误；
D．点电荷P在运动过程中，只有电场力做功，所以动能和电势能之和不变，在处点电荷P的速度最大，动能最大，即电势能最小，故D错误。
故选B。
【变式6-2】（23-24高二上·贵州遵义·期末）真空中固定一带正电的点电荷M，距点电荷一定距离处，由静止释放一带正电的试探电荷N，运动过程中N的位移为x（释放处为初位置），N到M的距离为l，N所受静电力为F，M在N的位置处产生的电场强度为E。下列图像正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】AB．设点电荷M的电荷量为Q，电荷N的电荷量为q。根据库仑定律可知，静电力的大小与两电荷之间的距离有关，故电荷N所受静电力为，即图像是一条过原点的直线，故A正确，B错误；
CD．则根据点电荷场强的定义可知，点电荷场强的大小与该位置与场源电荷的距离有关，故M在N的位置处产生的电场强度为，即图像是一条过原点的直线，故CD错误；
故选A。
强化点七 电场强度的叠加
电场强度的叠加遵循平行四边形定则，不同的题目有不同的方法，详细情形见本节“知识点4：电场强度的叠加与计算”中的“求电场强度的几种常用方法”
【典例7】（23-24高二下·湖南湘西·期末）把均匀带电的绝缘棒AB弯成如图所示的半圆状，测得圆心O处的电场强度大小为E。C是半圆AB上的二等分点，将沿CO对折，使与重叠，则重叠部分在O点产生的电场强度大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设圆弧AC在O点产生的电场强度大小为，根据对称性可知，的方向与弦AC垂直，同理叠加可得，解得
则重叠部分在O点的电场强度大小为
故选C。
【变式7-1】（23-24高二下·河北邯郸·期末）如图所示，均匀带正电的半圆环放置在绝缘水平桌面上，半圆环上AB、BC、CD的弧长相等，已知BC在圆心O点的电场强度大小为E、方向水平向右，则O点的电场强度大小为（ ）
A．EB．2EC．D．
【答案】B
【详解】由对称性可知，AB、BC、CD每段在O点产生的电场强度大小均为E，且AB、CD在O点产生的场强方向与AOD夹角为30°，则O点的合场强大小为
故选B。
【变式7-2】（多选）（23-24高二上·福建漳州·期末）如图，真空中电荷均匀分布的带正电圆环，半径为，带电量为，以圆心为坐标原点建立垂直圆环平面的轴，是正半轴上的一点，圆环上各点与点的连线与轴的夹角均为，静电力常量为，则圆环上所有的电荷（ ）
A．在点产生的合场强为零B．在点产生的合场强大小为
C．在点的电场强度方向沿轴正方向D．在点的电场强度方向沿轴负方向
【答案】AC
【详解】AB．根据对称性及电场的矢量合成法则可知，在点产生的合场强为零，故A正确，B错误；
CD．将带电圆环分割成无数个带正电的点电荷，每个带正电的点电荷在P点的场强的大小均相同，方向均与轴正方向的夹角为，而根据对称性可知，这些分割成的点电荷在P点的合场强的方向沿着轴正方向，故C正确，D错误。
故选AC。
强化点八 电场线和带电粒子的运动轨迹
电场线与带电粒子的运动轨迹重合的条件：①电场线是直线；②粒子的初速度v0=0，若v0≠0，则需F合与v0在同一直线上。
【典例8】（23-24高二上·河北沧州·期末）如图所示为某电场等势面的分布，在该电场中的Ａ点由静止释放一个带负电的点电荷，只考虑点电荷受到的电场力，忽略点电荷对原电场的影响。下列可能表示点电荷的运动轨迹的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】带负电的点电荷由静止开始向高电势加速运动，电场力即能使粒子加速又能改变粒子的运动轨迹，电场力大致指向轨迹的凹侧，且与等势面垂直，结合电子的轨迹可知，C正确。
故选C。
【变式8-1】（23-24高二上·湖南娄底·期末）某电场的电场线分布如图所示，虚线为某带电粒子只在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c是轨迹上的三个点，则（ ）
A．粒子一定带正电B．粒子一定是从a点运动到b点
C．粒子在c点的加速度一定小于在b点的加速度D．粒子在c点的速度一定小于在a点的速度
【答案】AD
【详解】A．根据曲线运动的合外力指向轨迹的凹侧，可知粒子受到电场力大致向左，故粒子一定带正电，故A正确；
B．粒子可能从a点运动到b点，也可能从b点运动到a点，故B错误；
C．电场线越密，电场强度越大，c点电场线较密，则粒子在c点的电场强度较大，根据，故粒子在c点的加速度一定大于在b点的加速度，故C错误；
D．若粒子从a点运动到c点，速度方向与电场力方向的夹角为钝角，电场力做负功，粒子速度减小，故粒子在c点的速度一定小于在a点的速度，故D正确。
故选AD。
【变式8-2】（24-25高二上·全国·期末）如图所示，实线是一正电荷仅在电场力作用下由a点运动到b点的运动轨迹，虚线可能是电场线，也可能是等差等势线。无论虚线是什么线，正电荷在a点的加速度一定 （选填“大于”“小于”或“等于”）在b点的加速度。若虚线是等差等势线，则正电荷在a点的动能 （选填“大于”“小于”或“等于”）在b点的动能。
【答案】 大于 小于
【详解】[1] [2]不论虚线是电场线还是等差等势线，其疏密均表示电场的强弱，可知a点的场强大于b点的场强，由知正电荷在a点的加速度一定大于在b点的加速度。若虚线是等差等势线，根据正电荷的运动轨迹及电场线与等势线垂直，可知正电荷所受电场力大致向下，正电荷由a点运动到b点的过程中，电场力对正电荷做正功，正电荷的电势能减小，动能增大，则正电荷在a点的动能比在b点的小。
强化点九 静电场中的力电综合问题
解决力电综合问题的一般解题思路

【典例9】（23-24高二上·广东汕头·期末）两个完全相同的质量都为m、带等量电荷的小球A、B分别用等长的绝缘细线悬挂在同一水平面上相距为的M、N两点，平衡时小球A、B的位置如图甲所示，已知小球B带负电，此时两球相距为l，细线与竖直方向夹角均为θ = 45°，若外加水平向左的匀强电场，两小球平衡时位置如图乙所示，细线刚好沿竖直方向，已知静电力常量为k，重力加速度为g，求：
（1）A球的电性及所带的电荷量Q；
（2）外加匀强电场的场强E的大小。
【答案】（1）正电，；（2）
【详解】（1）已知小球B带负电，由甲图可知，A球带正电，对A球受力分析，由平衡条件可得，
解得A球所带的电荷量为
（2）加电场后对A球受力分析，由平衡条件可得，解得
【变式9-1】（23-24高二上·湖南湘西·阶段练习）如图所示，质量均为m、带同种正电荷的小球A、B用长均为L的a、b绝缘细线悬挂，两球处于静止状态，已知细线b的拉力与细线a的拉力大小相等，小球A、B的带电量也相等，重力加速度为g，静电力常量为k，不计小球大小，求：
（1）小球A的带电量；
（2）O点处的电场强度；
（3）若给小球A施加一个水平向左的拉力，同时给小球B一个水平向右的拉力，两力始终等大反向，让两力同时从0开始缓慢增大，当细线b与竖直方向的夹角为53°时，作用于小球B上的拉力多大；此过程中作用于小球B上拉力做功为多少。（已知sin53°=0.8，cs53°=0.6）

【答案】（1）；（2），方向竖直向上；（3），
【详解】（1）设小球A的带电量为q，则小球B的带电量为q，对A、B整体研究，细线a的拉力
对小球B研究，根据力的平衡
由题意知，解得
（2）根据电场的叠加可知，O点处电场强度方向竖直向上
（3）对A、B施加等大反向的水平拉力后，A、B组成的系统始终处于平衡状态，因此细线a始终处于竖直，当细线b与竖直方向的夹角为53°时，对小球B研究，根据力的平衡有
解得
由于小球A保持静止，小球B和A间的距离始终保持不变，电场力不做功，根据功能关系知，拉力对小球B做功
真题感知
1．（2024·贵州·高考真题）如图，A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上，直径与弦间的夹角为。A、B两点分别放有电荷量大小为的点电荷时，C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向，则等于（ ）

A．B．C．D．2
【答案】B
【详解】根据题意可知两电荷为异种电荷，假设为正电荷，为负电荷，两电荷在C点的场强如下图，设圆的半径为r，根据几何知识可得，，
同时有 ，，联立解得，故选B。

2．（2024·河北·高考真题）如图，真空中有两个电荷量均为的点电荷，分别固定在正三角形的顶点B、C．M为三角形的中心，沿的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为．已知正三角形的边长为a,M点的电场强度为0，静电力常量的k．顶点A处的电场强度大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】B点C点的电荷在M的场强的合场强为
因M点的合场强为零，因此带电细杆在M点的场强，由对称性可知带电细杆在A点的场强为，方向竖直向上，因此A点合场强为
故选D。
3．（2024·江苏·高考真题）在静电场中有a、b两点，试探电荷在两点的静电力F与电荷量q满足如图所示的关系，请问a、b两点的场强大小等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设图像的横坐标单位长度电荷量为,纵坐标单位长度的力大小为
根据，可知图像斜率表示电场强度，由图可知，，可得
故选D。
提升专练
1．（24-25高二上·浙江温州·期中）某同学采用如图装置做静电感应的实验：在绝缘支架上的金属导体M和金属导体N按图中方向接触放置，原先M、N都不带电，先让开关S1、S2均断开，现在将一个带正电小球P放置在M左侧，则下列说法正确的是（ ）
A．若开关S1、S2均断开，导体M左端带正电，导体N右端带负电
B．若开关S1、S2均闭合，则导体M和导体N均不带电
C．若只闭合开关S1，接着将MN分开，再移走带电小球，则导体N不带电
D．若只闭合开关电S2，接着移走带电小球，最后将MN分开，则导体M带负电
【答案】C
【详解】A．若开关S1、S2均断开，由静电感应，导体M左端（近端）带负电，导体N右端（远端）带正电，A错误；
B．、均闭合时，导体M端（近端）会感应异种电荷，带负电；N端通过接地线使金属导体右端带的正电荷会被从大地上来的负电荷中和，所以金属导体左端带负电，右端不再带有电荷。B错误；
C．开关闭合，断开，由于静电感应的作用，金属导体右端带的正电荷会被从大地上来的负电荷中和，接着将MN分开，再移走带电小球，金属导体M带负电，N不再带有电荷，C正确；
D．当闭合开关，由于静电感应的作用，金属导体N右端带的正电荷会被从大地上来的负电荷中和，所以导体N右端不再带有电荷，接着移走带电小球，M端的负电荷被中和不带电，最后将MN分开，则M和N均不带电，D错误。
故选C。
2．（2024·海南儋州·模拟预测）如图所示，A、B两带电小球的质量分别为m1、m2，带电荷量分别为q1、q2，两小球用绝缘细线悬挂于O点，平衡时A、B两球处于同一高度，与竖直方向的夹角分别为30°、60°，已知细线OA长为l，重力加速度为g，静电力常量为k。则（ ）
A．A、B间库仑力大小为m2gB．细线OA的弹力大小为m1g
C．A、B间库仑力大小为kD．A、B的质量之比为m1:m2=3:2
【答案】B
【详解】A．以B球为研究对象，受力分析如图所示
A、B间库仑力大小为，故A错误；
B．以A球为研究对象，受力分析如图所示
A、B间库仑力大小为，，故B正确；
C．由几何关系可知，A、B两球之间的距离为2l，由库仑定律知A、B两球间库仑力大小为
故C错误；
D．由于库仑力结果为，则，故D错误。
故选B。
3．（2025·广东茂名·模拟预测）已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，一半径均为的球体上均匀分布着电荷量为的电荷，在过的直线上以为直径在球内挖一球形空腔。已知静电力常量为，若在处的放置一电荷量为的点电荷，则该点电荷所受电场力的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据题意结合球的体积公式可知，被割去的小球所带电荷量为，利用割补法可得该点电荷所受电场力的大小为，故选C。
4．（2024·河北·模拟预测）把一段细玻璃丝与丝绸摩擦，玻璃丝上就带上了正电荷，然后用绝缘工具把这段玻璃丝弯曲成一个半径为的闭合圆环，如图所示，是圆环的圆心，与的距离为，连线与圆环平面垂直，已知静电力常量为，点场强大小为，则玻璃丝因摩擦所带的电荷量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】圆环上各点到A点的距离为
圆环上各点与A点的连线与竖直方向的夹角满足
根据电场的矢量叠加可知，解得
故选D。
5．（2024·吉林长春·模拟预测）如图所示为两个电荷量均为的带电小球A和B（均可视为质点），球A固定在点的正下方处，球B用长为的细线悬挂在点，静止时，细线与竖直方向的夹角为。已知静电常量为，重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．B的质量为B．B的质量为
C．点处的电场强度的大小为D．点处的电场强度的大小为
【答案】C
【详解】AB．对B受力分析，如图所示
由几何关系可知，三个力之间的夹角均为，则有，又，则B质量为，故AB错误；
CD．根据点电荷电场强度公式，A、B在O点产生的电场强度大小都为
又两电场强度方向间夹角为，结合平行四边形定则得O点处的电场强度的大小为
故C正确，D错误。
故选C。
6．（23-24高一下·河北承德·期末）在直角三角形的顶点处固定一个带正电的点电荷，在处固定一个带负电的点电荷，、、。当在该三角形所在的平面内加一电场强度大小为、方向与平行的匀强电场时，点的合电场强度为0，下列说法正确的是（ ）
A．处和处点电荷的电荷量大小的比值为
B．处和处点电荷的电荷量大小的比值为
C．若将匀强电场的方向顺时针改变90°，则点的合电场强度为
D．若将匀强电场的方向改成与原来的方向相反，则点的合电场强度为
【答案】A
【详解】AB．处的点电荷带正电，在P点的场强方向由M指向P；处的点电荷带负电，在P点的场强方向由P指向Q；在该三角形所在的平面内加一方向与平行的匀强电场时，点的合电场强度为0，则匀强电场与M、Q处点电荷在P点的合场强大小相等、方向相反。M、Q处点电荷在P点的合场强平行于MQ，如图
由，，
解得处和处点电荷的电荷量大小的比值为，故A正确，B错误；
C．若将匀强电场的方向顺时针改变90°，则点的合电场强度为，故C错误；
D．若将匀强电场的方向改成与原来的方向相反，则点的合电场强度为，故D错误。
故选A。
7．（2024·四川广安·二模）如图，质量为M、半径为R的圆环状光滑绝缘细杆用三根交于O点的等长细线悬挂于水平面内，每根细线与竖直方向均成30°角；杆上套有三个可视为质点的带正电小球，每个小球的质量均为m、电荷量均为q；小球间的间距相等，球和杆均静止。重力加速度大小为g、静电力常量为k。则（ ）
A．每根细线对杆的拉力大小为B．每根细线对杆的拉力大小为
C．每个小球受到的库仑力大小为D．每个小球对杆的弹力大小为
【答案】D
【详解】AB．对杆和小球整体，竖直方向有
解得细线对杆的拉力大小为，故AB错误；
C．根据题意可得，两个小球间的距离为
所以每个小球受到的库仑力大小为，故C错误；
D．每个小球对杆的弹力大小为，故D正确。
故选D。
8．（多选）（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，带电荷量为的球1固定在倾角为30°的光滑绝缘斜面上的O点，其正上方L处固定一带电荷量为的球2，斜面上距O点L处的P点有质量为m的带电球3恰好静止。球的大小均可忽略，已知重力加速度大小为g。迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动。下列关于球3的说法正确的是（ ）
A．带负电B．运动至O点的速度大小为
C．运动至O点的加速度大小为D．运动至OP中点时对斜面的压力大小为
【答案】BC
【详解】A．球3原来静止，迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动，说明1、3之间原来是斥力，球3带正电，故A错误；
B．由几何关系知，球1球2球3初始位置为一正三角形，球3运动至O点过程中库仑力不做功，由动能定理得，解得，故B正确；
C．设球3电量为Q，对P点的球3受力分析，在沿斜面方向有
对O点的球3受力分析，在沿斜面方向有，联立解得，故C正确；
D．运动至OP中点时，在垂直斜面方向有，解得
根据牛顿第三定律可得运动至OP中点时球3对斜面的压力大小为，故D错误。
故选BC。
9．（23-24高一下·山西长治·期末）如图所示，A、B、C为竖直平面内等边三角形的三个顶点，现在A、B点（A、B位于同一水平面上）分别固定等量异种点电荷。已知三角形边长为L，点电荷电荷量大小为q，静电力常量为k。
（1）求A、B两点电荷在C点处产生的电场强度E；
（2）若在C点处放一个质量为（g为重力加速度）、电荷量大小也为q的带负电小球（可视为点电荷）并能保持静止状态，可在三角形所在平面内加一匀强电场，求该匀强电场的电场强度。
【答案】（1），方向水平向右；（2），方向斜向左下方与水平方向夹角为
【详解】（1）根据点电荷电场强度的表达式，A、B两点电荷在C点各自产生的电场强度大小相等，均为
根据电场强度叠加原理，则C点处产生的电场强度，方向水平向右。
（2）小球受到重力与点电荷对小球水平向左的电场力的合力为
解得
令F与水平向左的电场力方向夹角为，则有，解得
小球保持相对静止，则有，解得
根据平衡条件可知，匀强电场对小球的作用力方向与F方向相反，小球带负电，则匀强电场方向斜向左下方，与水平方向夹角为。
10．（23-24高二上·安徽宿州·期中）如图所示，在范围足够大的水平向左的匀强电场中，固定一内表面绝缘光滑且内径很小的圆管弯制而成的圆弧BD，圆心为O，竖直半径OD=R，B点和地面上A点的连线与水平地面成θ=37°，AB=R。一质量为m、电荷量为q的小球（可视为质点）从地面上A点以某一初速度沿AB方向做直线运动，恰好无碰撞地从管口B进入管道BD中，当小球到达管中某处C（图中未标出）时，恰好与管道间无作用力且小球所受合力指向圆心。已知：sin37°=0.6，cs37°=0.8，已知重力加速度大小为g。求：
(1)说明小球电性、匀强电场的场强E大小；
(2)小球到达C处时的速度大小；
(3)小球到达D处时对圆管轨道的压力FN；
(4)若小球从管口D飞出时电场忽然向下、场强大小变为原来的，则小球从管口D飞出后落地点距A点的水平距离x。
【答案】(1)正电，(2)(3)大小为，方向竖直向下(4)
【详解】（1）小球沿AB方向做直线运动过程受力情况如图所示
根据受力分析可知，小球带正电，且有，求得
（2）小球到达C处时重力与电场力的合力恰好提供小球做圆周运动的向心力，如图所示
应有，故有，求得
（3）小球从C处运动到D处的过程中，根据动能定理，有
求得
在D处，根据牛顿第二定律，有，求得
根据牛顿第三定律可知，小球对圆管轨道的压力，其方向竖直向下。
（4）小球从管口D飞出时，电场忽然向下、场强大小变为原来的，所受电场力为
根据牛顿第二定律，有，求得
小球从管口D飞出后做类平抛运动，水平方向和竖直方向分别有，
求得
小球落地点距A点的水平距离为 考点聚焦：复习要点+知识网络，有的放矢
重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺
难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升
提升专练：真题感知+提升专练，全面突破
表达式
适用范围
真空中的点电荷
任意电场
公式
适用范围
任何电场
真空中的点电荷
匀强电场
比较项目
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线分布图
连线中点O处的场强
连线上O点场强最小，指向负电荷一方
为零
连线上的场强大小(从左到右)
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿中垂线由O点向外场强大小
O点最大，向外逐渐减小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称的A和A’、B和B’的场强
等大同向
等大反向