①寒假复习-第04讲 带电粒子在电场中的运动2025年高二物理寒假衔接讲练 (人教版)

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知识点1：带电粒子在电场中的直线运动
带电粒子在电场中运动时重力处理
（1）基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除了有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力（但不能忽略质量）.
（2）带电粒子：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或明确的暗示以外，一般都要考虑重力；
2．做直线运动的条件
（1）粒子所受合力F合＝0，粒子或静止，或做匀速直线运动。
（2）粒子所受合力F合≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做匀加速直线运动或匀减速直线运动。
3．用动力学观点分析
a＝eq \f(qE,m)，E＝eq \f(U,d)，v2－veq \\al(2,0)＝2ad。
4．用功能观点分析
（1）匀强电场中：W＝qEd＝qU＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
（2）非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1
知识点2：带电粒子在电场中的偏转问题
1．带电粒子在电场中的偏转规律
重要推论
（1）粒子从偏转电场中射出时，其速度方向的反向延长线与初速度方向的延长线交于一点，此点为粒子水平位移的中点。
（2）不同的带电粒子经同一电场加速后，又进入同一偏转电场，在偏转电场中的偏移量和偏转角都相同。若电性相同，则所有粒子的轨迹必定重合。
2. 计算粒子打到屏上的位置离屏中心的距离的方法
（1）y＝y0＋Ltan θ(L为屏到偏转电场的水平距离)；
（2）y＝(eq \f(l,2)＋L)tan θ(l为电场宽度)；
（3）y＝y0＋vy·eq \f(L,v0)；
（4）根据三角形相似eq \f(y,y0)＝eq \f(\f(l,2)＋L,\f(l,2)).
处理带电粒子的偏转问题的方法
（1）运动的分解法
一般用分解的思想来处理，即将带电粒子的运动分解为沿电场力方向上的匀加速直线运动和垂直电场力方向上的匀速直线运动．
（2）功能关系
当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，其中Uy＝eq \f(U,d)y，指初、末位置间的电势差．
知识点3：带电粒子在电场和重力场中的运动
1．带电体在电场和重力场的叠加场中运动的一般分析方法
(1)对带电体的受力情况和运动情况进行分析，综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动的规律解决问题。
(2)根据功能关系或能量守恒的观点，分析带电体的运动时，往往涉及重力势能、电势能以及动能的相互转化，总的能量保持不变。
2．带电体在电场和重力场的叠加场中的圆周运动
(1)“等效重力”法
将重力与静电力进行合成，如图所示，则F合为等效重力场中的“等效重力”，g′＝ eq \f(F合,m)为等效重力场中的“等效重力加速度”，F合的方向为“等效重力”的方向。
(2)“等效最高”点和“等效最低”点：在“等效重力场”中做圆周运动的小球，过圆心作合力的平行线，交于圆周上的两点即为“等效最高”点和“等效最低”点。
强化点一 带电粒子在电场中的加速
带电粒子在匀强电场中所受的电场力方向与运动方向在同一条直线上时，可应用牛顿第二定律结合运动学公式求解，也可应用动能定理求解：带电粒子在非匀强电场中运动时，只能应用动能定理求解。
【典例1】（23-24高一下·江苏南京·期末）如图所示，三块平行放置的带电金属薄板A、B、C中央各有一小孔，小孔分别位于O、M、P点，由O点静止释放的电子恰好能运动到P点，现将C板向左平移到点，则由O点静止释放的电子（ ）
A．运动到P点返回B．运动到P和点之间返回
C．运动到点返回D．穿过点后继续运动
【变式1-1】（23-24高二上·江西九江·期末）平行金属板A、B竖直放置，间距为d，充电后与电源分离，将一带正电粒子从A板附近由静止释放，仅在静电力的作用下从B板上小孔射出。现将极板间距变为2d，再将同一粒子从A板附近由静止释放，则（ ）
A．粒子射出时的速度增加为原来两倍B．粒子运动的加速度大小不变
C．系统电势能的减少量不变D．静电力的冲量大小不变
【变式1-2】（23-24高二上·四川绵阳·期末）粒子加速器是基础科学研究的重要设备，可以使带电粒子获得很高的能量。图甲为某加速装置的示意图，它由很多个横截面积相同的金属圆筒依次排列组成，其轴线在同一直线上，序号为奇数的圆筒与序号为偶数的圆筒分别与两极间电势差的变化规律如图乙所示的交变电源的两极相连。在t=0时刻，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，此时刻与偶数圆筒相连的金属圆板（序号为0）的中央有一电子，在圆板和圆筒1之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线进入圆筒1。为使电子在圆筒之间的间隙都能被加速，圆筒长度的设计必须遵照一定的规律。
若电子的质量为m，电荷量为，交变电源的电压为U，周期为T，两圆筒间隙的电场可视为匀强电场，圆筒内场强均为零。不计电子的重力，电子运动过程中质量不变。
（1）求电子进入圆筒1时的动量大小；
（2）若忽略电子通过圆筒间隙的时间，第3个金属圆筒的长度L3应该为多大？
（3）若电子通过圆筒间隙的时间不可忽略，且圆筒间隙的距离均为d，仍然保持交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示，各圆筒长度与在忽略电子通过圆筒间隙时间条件下设计的长度相同的情况下，求该装置能够让电子获得的最大速度。
强化点二 带电粒子在电场中的偏转
带电粒子在电场中的偏转是类平抛运动，故需从两个方向分析:垂直电场方向的匀速运动和沿电场方向的匀加速运动。
【典例2】（23-24高二下·湖南益阳·期末）如图，竖直放置的A、B与水平放置的C、D为两对正对的平行金属板，A、B两板间电势差为，C、D两板分别带正电和负电，两板间电势差为，两板间距离为d，C、D两极板长均为L。一质量为m，电荷量为的带电粒子（不计重力）由静止从A板开始经A、B间电压加速后穿过C、D并发生偏转（右侧没有电场），最后打在荧光屏上。求：
（1）粒子离开B板时速度大小v；
（2）粒子刚穿过C、D时的竖直偏转位移y；
（3）粒子打在荧光屏上时的动能。
【变式2-1】（23-24高二上·安徽六安·期末）如图所示，质量、电荷量的带电粒子，由静止经电压加速电场加速后，从金属小孔穿出并从正中央垂直射入电压的偏转电场，偏转电场极板长度，两极板间的距离。不计带电粒子的重力。求：
（1）粒子离开加速电场时的速度v的大小；
（2）粒子在偏转电场中运动的加速度a的大小。
【变式2-2】（23-24高二上·福建福州·期末）如图所示，质量为m、电荷量为q的质子从极板A处由静止加速，通过极板A1间的小孔以射出，然后从坐标系xy中的B点（0，d）平行于x坐标轴进入yOP区域，该区域充满沿y轴负方向的匀强电场，OP与x轴夹角。已知质子比荷为，d=0.5m，不计质子的重力。求：
（1）极板AA1间的加速电压U；
（2）质子在电场中偏转并击中边界OP上的C点（x1，y1），已知x1=0.1m，求电场强度E的大小；
（3）改变电场强度的大小，场强方向不变，使质子在电场中偏转并垂直击中边界OP上的D点（x2，y2）（图中未标出），求D点的坐标。

强化点三 带电粒子在电场力和重力作用下的运动
此类问题的研究对象往往是带电小球、带电液滴或带电微粒等，运动轨迹可能是直线，也可能是曲线。可用动力学规律或功能关系分析。
【典例3】（23-24高二下·河南信阳·期末）如图所示，半径为R的虚线圆位于竖直面内，AC和BD为相互垂直的两条直径，其中BD位于水平方向。竖直平面内有足够大的匀强电场，场强大小为，方向与圆周平面平行。在圆周平面内将质量为m、带电荷量为的小球（可视为质点），从A点以相同的速率在圆周平面向各个方向抛出，小球会经过圆周上不同的点。在这些点中，到达B点时小球的动能最大。若将小球从A点垂直电场方向抛出，小球恰好能经过C点，则小球初速度为（重力加速度为g）（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（22-23高二上·福建泉州·期中）如图所示，BCDG是光滑绝缘的圆形轨道，位于竖直平面内，轨道半径为R，下端与水平绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中，现有一质量为m、带正电的小滑块（可视为质点）置于水平轨道上，滑块受到的电场力大小为，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g。
(1)若滑块从水平轨道上距离B点s=3R的A点由静止释放，从释放到滑块到达与圆心O等高的C点这一过程的电势能变化量；
(2)若滑块从水平轨道上距离B点s=10R的A点由静止释放，求滑块到达D点时对轨道的作用力大小；
(3)改变s的大小仍使滑块由静止释放，且滑块始终沿轨道滑行，并从G点飞出轨道，求s的最小值。
【变式3-2】（23-24高二上·上海黄浦·期末）如图所示，一质量为m带正电的小球，用长为L的绝缘细线悬挂于O点，处于一水平方向的匀强电场中，静止时细线右偏与竖直方向成45°角，位于图中的P点。重力加速度为g，求：
（1）静止在P点时线的拉力是多大？
（2）如将小球向右拉紧至与O点等高的A点由静止释放，则当小球摆至P点时，其电势能如何变？变化了多少？
（3）如将小球向左拉紧至与O点等高的B点由静止释放，则小球到达P点时的速度大小？
强化点四 带电粒子在交变电场中的运动
从带电粒子在板间运动的时间不同，划分为两种情形:
(1)类似于示波管的情况，速度很大的粒子在板间运动的时间t远小于交变电压的周期T，此时需采用近似方法处理，认为粒子通过极板间的时间内电压不变，且认为此时的电压等于粒子入射时的瞬时电压。
(2)粒子在板间的运动时间t与交变电压变化周期T相差不大甚至t>T，此类问题常用动力学知识分段求解，重点分析各段时间内的加速度、运动性质，每段运动时间与交变电场的周期T间的关系等。有时也可借助图像来描述带电粒子在电场中的运动情况。
【典例4】（23-24高二下·四川·期末）如图甲所示，两平行金属板A、B的板长和板间距均为d，两板之间的电压随时间周期性变化规律如图乙所示。一不计重力的带电粒子束先后以速度从O点沿板间中线射入极板之间，若时刻进入电场的带电粒子在时刻刚好沿A板右边缘射出电场，则（ ）

A．时刻进入电场的粒子离开电场时速度大小为
B．时刻进入电场的粒子离开电场时速度大小为
C．时刻进入电场的粒子在两板间运动过程中的最大速度为
D．时刻进入电场的粒子在两板间运动过程中离A板的最小距离为0
【变式4-1】（23-24高二上·安徽黄山·期中）如图甲所示，在两平行金属板间加有一交变电场，两极板间可以认为是匀强电场，当时，一带电粒子从左侧极板附近开始运动，其速度随时间变化关系如图乙图所示。带电粒子经过4T时间恰好到达右侧极板，（带电粒子的质量m、电量q、速度最大值、时间T为已知量）则下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子在两板间做往复运动，周期为T
B．两板间距离
C．两板间所加交变电场的周期为T，所加电压
D．若其他条件不变，该带电粒子从开始进入电场，该粒子能到达右侧板
【变式4-2】（23-24高二上·福建泉州·期末）如图甲，水平放置的平行板电容器的两极板的长度为、间距为，两板间加一恒定电压。一个质量为、电荷量为的带正电粒子从上极板边缘点以水平速度射入电容器后，从点飞出，点与下极板的距离为。不计粒子受到的重力和空气阻力。
（1）求两板间的电压；
（2）若两极板间的电势差随时间变化的关系图像如图乙所示，其。中时刻，粒子从上极板边缘点以水平速度射入电容器，求粒子射出电容器的位置与下极板间的距离（用表示）。
真题感知
1．（2024·新疆河南·高考真题）如图，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上，下端分别系有均带正电荷的小球P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等。则（ ）
A．两绳中的张力大小一定相等B．P的质量一定大于Q的质量
C．P的电荷量一定小于Q的电荷量D．P的电荷量一定大于Q的电荷量
2．（2024·辽宁·高考真题）在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面（纸面）内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中（ ）
A．动能减小，电势能增大B．动能增大，电势能增大
C．动能减小，电势能减小D．动能增大，电势能减小
3．（2024·江西·高考真题）如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能（r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是（ ）
A．最低点的位置
B．速率达到最大值时的位置
C．最后停留位置x的区间是
D．若在最低点能返回，则初始电势能
4．（2024·福建·高考真题）如图，木板A放置在光滑水平桌面上，通过两根相同的水平轻弹簧M、N与桌面上的两个固定挡板相连。小物块B放在A的最左端，通过一条跨过轻质定滑轮的轻绳与带正电的小球C相连，轻绳绝缘且不可伸长，B与滑轮间的绳子与桌面平行。桌面右侧存在一竖直向上的匀强电场，A、B、C均静止，M、N处于原长状态，轻绳处于自然伸直状态。时撤去电场，C向下加速运动，下降后开始匀速运动，C开始做匀速运动瞬间弹簧N的弹性势能为。已知A、B、C的质量分别为、、，小球C的带电量为，重力加速度大小取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终处在弹性限度内，轻绳与滑轮间的摩擦力不计。
(1)求匀强电场的场强大小；
(2)求A与B间的滑动摩擦因数及C做匀速运动时的速度大小；
(3)若时电场方向改为竖直向下，当B与A即将发生相对滑动瞬间撤去电场，A、B继续向右运动，一段时间后，A从右向左运动。求A第一次从右向左运动过程中最大速度的大小。（整个过程B未与A脱离，C未与地面相碰）
5．（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
（1）电场强度E的大小。
（2）小球在A、B两点的速度大小。
提升专练
一、单选题
1．（2024·浙江·一模）图甲为直线加速原理示意图，它由多个截面积相同的同轴金属圆筒依次组成，奇数序号与偶数序号圆筒分别与交变电源相连，交变电源两极间电压变化规律如图乙。在t=0时，奇数圆筒比偶数圆筒电势高，此时序号为0的金属圆板中央有一电子由静止开始在各狭缝间不断加速。若电子质量为m，电荷量为e，交变电源电压大小为U，周期为T。不考虑电子的重力和相对论效应，且忽略电子通过狭缝的时间。下列说法正确的是（ ）
A．金属圆筒1、2、3的长度之比为1:2:3B．电子离开圆筒1时的速度为进入时速度的两倍
C．第n个圆筒的长度应满足D．进入第n个圆筒时电子的速率为
2．（2024·云南曲靖·二模）在如图所示的空间直角坐标系中，一不计重力且带正电的粒子从坐标为处以某一初速度平行y轴正方向射出，经时间t，粒子前进的距离为L，在该空间加上匀强电场，粒子仍从同一位置以相同的速度射出，经相同时间t后恰好运动到坐标原点O，已知粒子的比荷为k，则该匀强电场的场强大小为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·广东汕头·模拟预测）如图所示，在正方形ABCD区域内有平行于AB边的匀强电场，E、F、G、H是各边中点，其连线构成正方形，其中P点是EH的中点，一个带正电的粒子（不计重力）从F点沿FH方向射入电场后恰好从D点射出，以下说法正确的是（ ）
A．粒子的运动轨迹一定经过P点
B．粒子的运动轨迹一定经过PH之间某点
C．若将粒子的初速度变为原来的一半，粒子会由ED之间某点从AD边射出
D．若将粒子的初速度变为原来的一半，粒子恰好由E点从AD边射出
4．（2024·四川成都·模拟预测）一带正电微粒从静止开始经电压U1加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为U2。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为45°，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为2L和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是（ ）
A．L:d=2:1
B．U1:U1=2:1
C．微粒穿过图中电容器区域的速度偏转角度的正切值为
D．仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
5．（24-25高二上·北京·期中）如图所示，两块相互靠近的平行金属板M、N组成电容器，充电后与电源断开，M板带负电，N板带正电，且它们的电荷量保持不变。板间有一个用绝缘细线悬挂的带电小球（可视为质点），小球静止时与竖直方向的夹角为，忽略带电小球所带电荷量对极板间匀强电场的影响，M、N板足够大，则（ ）
A．若只将N板水平向右平移稍许，电容器的电容将变小，夹角将变大
B．若只将N板竖直向上平移稍许，电容器的电容将变小，夹角将变小
C．将细线烧断，小球的运动轨迹是抛物线
D．若只将M板水平向左平移稍许，将细线烧断，小球到达N板的时间不变
6．（2024·吉林长春·模拟预测）如图所示为两个电荷量均为的带电小球A和B（均可视为质点），球A固定在点的正下方处，球B用长为的细线悬挂在点，静止时，细线与竖直方向的夹角为。已知静电常量为，重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．B的质量为B．B的质量为
C．点处的电场强度的大小为D．点处的电场强度的大小为
7．（2024·四川德阳·模拟预测）如图所示，一根轻质的不可伸长的细线两端分别系在水平天花板上的A、B两点，有一质量及大小均不计的光滑动滑轮跨在细线上，滑轮通过绝缘细线悬挂一带正电且可视为质点的物块。空间存在竖直向下的匀强电场，物块处于静止状态。现将电场强度方向由竖直向下缓慢逆时针转动到水平向右，A、B间细线的张力大小为F1，滑轮与物块之间细线张力大小为F2，则（ ）
A．F1逐渐增大 B．F1逐渐减小 C．F2逐渐增大 D．F2先减小后增大
二、多选题
8．（2024·河北·模拟预测）如图所示，有两种比荷不同的带正电的粒子，其中带电粒子A的比荷大于带电粒子B的比荷，A、B两种粒子先后进入加速电场加速，然后进入偏转电场，最后打在偏转电场右侧的屏上，带电粒子进入电场加速时的初速度忽略不计，不考虑重力的影响，下列说法正确的是（ ）
A．离开加速电场时，A的速度比B的速度大
B．离开偏转电场时，A、B的偏转距离相等
C．偏转电场对A、B所做的功一定相等
D．从进入加速电场到离开偏转电场，A、B的运动时间相等
9．（2024·河南·模拟预测）如图所示，空间存在水平向右的匀强电场，一个质量为m、电荷量为q的带正电小球用长为L、不可伸长的绝缘细线悬于O点，将小球向左拉至与O点等高的A点，细线刚好伸直，已知电场强度大小，g为重力加速度大小，小球可视为质点，将小球由静止释放，则下列判断正确的是（ ）
A．小球运动到B点的速度大小为
B．小球第一次运动到O点正下方时的速度是小球运动过程中的最大速度
C．小球运动过程中的最大速度为
D．小球最终运动稳定时做往复运动，轨迹为半个圆周
10．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，带电荷量为的球1固定在倾角为30°的光滑绝缘斜面上的O点，其正上方L处固定一带电荷量为的球2，斜面上距O点L处的P点有质量为m的带电球3恰好静止。球的大小均可忽略，已知重力加速度大小为g。迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动。下列关于球3的说法正确的是（ ）
A．带负电B．运动至O点的速度大小为
C．运动至O点的加速度大小为D．运动至OP中点时对斜面的压力大小为
三、解答题
11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图甲所示，真空中相距d=5cm的两块平行金属板A、B与电源连接（图中未画出），其中B板接地（电势为零），A板电势变化的规律如图乙所示。将一个质量m=2.0×10-27kg、电荷量q=＋1.6×10-19C的带电粒子从紧邻B板处释放，不计粒子重力。求：
（1）若A板电势变化周期T=1.0×10-5s，在t=0时将带电粒子从紧邻B板处无初速度释放，粒子到达A板时速度的大小；
（2）A板电势变化频率多大时，在t= 到t=时间内从紧临B板处无初速释放该带电粒子，粒子不能到达A板。
12．（2025·云南·模拟预测）某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示，矩形区域内存在两层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向（如图所示），边长为，边长为，质量为m、电荷量为的粒子流从边中点P射入电场，粒子初速度为，入射角为θ，在纸面内运动，不计粒子重力及粒子间相互作用。
(1)当时，若粒子能从边射出，求该粒子通过电场的时间t；
(2)当时，若粒子从边射出电场时与轴线的距离小于d，求入射角θ的范围。
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