2024-2025学年福建省莆田市高二上册第二次月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省莆田市高二上册第二次月考数学检测试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（ ）
A．B．2C．D．4
2．等比数列中，、是方程的两根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
5．双曲线上一点到该双曲线的一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离是（ ）
A．B．C．，D．，
6．若曲线是双曲线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．或
7．已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
8．如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线的一部分，若的中心在原点，焦点在轴上，离心率，且点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ）
A．B．
C．当时，是的最大值D．当时，是的最小值
10．对于曲线，下面说法正确的是（ ）
A．若，曲线C的长轴长为4
B．若曲线是椭圆，则的取值范围是
C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是
D．若曲线是椭圆且离心率为，则的值为或
11．已知分别为椭圆的左、右焦点，下列说法正确的是（ ）
A．若点的坐标为，P是椭圆上一动点，则线段长度的最小值为
B．若椭圆上恰有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是
C．若圆的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是
D．若点的坐标为，椭圆上存在点P使得，则椭圆的离心率的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．设等比数列的前项和为，若，，则 ．
13．已知P为椭圆C上一点，，为C的两个焦点，，，则C的离心率为 ．
14．已知为椭圆的两个焦点，M为椭圆C上一点，若，则的面积为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知等差数列满足，的前n项和为．
(1)求及；
(2)令，求数列的前n项和．
16．已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长．
17．已知点和点在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点P的直线l交椭圆C于一点B，且的面积为，求直线l的方程.
18．已知椭圆的左顶点为，右顶点为，椭圆上不同于点的一点满足.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，直线交于点，证明：点在定直线上.
19．已知曲线上的点满足，曲线过点的切线与直线相交于点.
(1)求曲线的标准方程；
(2)以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
答案
1．【正确答案】D
【详解】由方程可知：，
由椭圆的定义可知．
故选：D．
2．【正确答案】D
【详解】由韦达定理可得，因此，.
故选：D.
3．【正确答案】D
【详解】设椭圆的标准方程为，焦距为，
由得，
由得，故，
所以该椭圆的方程为.
故选：D.
4．【正确答案】A
【详解】因为数列为等差数列，设公差为，
因为有最大值，故，即，
又，即一正一负，而，
所以，，又由得，故
所以，，则，，
则当时，的最大值为.
故选：A.
5．【正确答案】A
【详解】由已知双曲线，可知，，
设双曲线的两焦点分别为，，
不妨设，
则,
解得或，
又双曲线上的点到焦点的距离，
所以，
故选：A.
6．【正确答案】D
【详解】曲线是双曲线，则异号.则，解得.
故选：D.
7．【正确答案】B
【详解】因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，
所以，故，
由于，
所以.
故选：B
8．【正确答案】C
【详解】设双曲线的方程为：，
因为离心率，故半焦距，故，
而双曲线过，故，解得，
故双曲线的方程为：，
故选：C.
9．【正确答案】ACD
【分析】根据等比中项的性质得到方程，即可得到，再根据等差数列的通项公式、求和公式及单调性判断即可.
【详解】因为，，成等比数列，所以，即，
整理得，因为，所以，
所以，则，故A正确、B错误；
当时单调递减，此时，
所以当或时取得最大值，即，故C正确；
当时单调递增，此时，
所以当或时取得最小值，即，故D正确；
故选：ACD
10．【正确答案】ACD
【分析】根据双曲线、椭圆的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】曲线，
A选项，， ，则，A选项正确.
B选项，若曲线是椭圆，则，
解得且，所以B选项错误.
C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，
解得，C选项正确.
D选项，曲线是椭圆且离心率为，，
由B选项的分析可知且，
当时，椭圆焦点在轴上，，解得；
当时，椭圆焦点在轴上，，解得，
所以的值为或，D选项正确.
故选：ACD
11．【正确答案】BCD
【分析】A选项，设出，，则，表达出，分与两种情况，得到不同情况下的线段长度的最小值，A错误；
B选项，先得到上下顶点能够使得为等腰三角形，再数形结合得到为圆心，为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的两点，列出不等式组，求出答案；
C选项，分与两种情况，第一种情况成立，第二种情况下得到P点与上顶点或下顶点重合时，最大，数形结合列出不等式，最终求出离心率的取值范围；
D选项，设，，则，表达出，问题转化为在上有解问题，数形结合得到，求出离心率的取值范围.
【详解】设，，则，
，
，
若，此时，，此时当时，取得最小值，最小值为，线段长度的最小值为；
若，此时，，此时当时，取得最小值，最小值为，
线段长度的最小值为，
综上：A错误；
如图，椭圆左右顶点为，上下顶点为，
显然上下顶点能够使得为等腰三角形，
要想椭圆上恰有6个不同的点，使得为等腰三角形，
以为圆心，为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的两点，
则要满足，且，
即，解得：，且，
故椭圆的离心率的取值范围是，B正确；
若，此时与椭圆有公共点，故存在点P，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，使得，此时，即；
若，即时，如图所示：
连接OP，OB，显然，，则，
因为在上单调递增，要想最大，只需最大，
故当最小时，满足要求，故P点与上顶点或下顶点重合时，最大，
故当时满足要求，所以，
即，所以，解得：，所以，
综上：若圆的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是，C正确；
设，，则，
椭圆上存在点P使得，即在上有解，
即在上有解，
令，注意到，
，
故只需满足，
由①得：，由②得：或，
综上：
则椭圆的离心率的取值范围是，D正确.
故选：BCD
离心率时椭圆的重要几何性质，是高考重点考察的知识点，这类问题一般有两类，一是根据一定的条件求椭圆的离心率，另一类是根据题目条件求解离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于的等式或不等式，并且根据化为的等式或不等式，求出离心率或离心率的范围，再求解椭圆离心率取值范围时常用的方法有：
一，借助平面几何图形中的不等关系；
借助平面几何图形中的不等
二，利用函数的值域求解范围；
利用函数的值域求解范围；
三，根据椭圆自身性质或基本不等式求解范围等.
根据椭圆自身性质或基本不
12．【正确答案】280
【详解】由等比数列的性质，知，，也成等比数列，
即40，80，成等比数列，
所以，所以．
故280.
13．【正确答案】
【详解】如图，取线段的中点M，连接，
因为，，
所以，且，
所以，
设，
所以C的离心率为
，
故
14．【正确答案】1
【详解】根据题意可知，即可得，即；
由椭圆定义可得，
又可知；
所以可得，即，
解得，
因此的面积为.
故1
15．【正确答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）由题设，则，故等差数列的公差，
所以，；
（2）由（1），则.
16．【正确答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点可构造方程求得，由此可得双曲线方程；
（2）由双曲线方程可得焦点坐标，由此可得方程，与双曲线方程联立后，利用弦长公式可求得结果.
【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线斜率，又渐近线方程为，；
双曲线过点，；
由得：，双曲线的方程为：；
（2）由（1）得：双曲线的焦点坐标为；
若直线过双曲线的左焦点，则，
由得：；
设，，则，
；
由双曲线对称性可知：当过双曲线右焦点时，；
综上所述.
17．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由题意可知，解得，
椭圆的方程为.
（2），则直线的方程为，即，
，
设点到直线的距离为，则，
则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可，
此时该平行线与椭圆的交点即为点，
设该平行线的方程为，则，
解得或，
当时，联立，解得或，
即或，
当时，此时，直线的方程为，即
当时，此时，直线的方程为，即，
当时，联立，得，
，此时该直线与椭圆无交点.
综上直线的方程为或

18．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由左、右顶点为，先求，再设点的坐标，利用斜率公式表示条件，结合点在椭圆上，由此可得椭圆方程.
（2）解法一（非对称韦达）：设点的坐标及直线的方程为，联立直线与椭圆的方程组，化简写出韦达定理，然后表示出直线，的方程相除结合韦达定理化简即可；解法二（齐次化）：设不过点的直线的方程，由题意求出的值，然后表示出直线，的斜率，设点，结合椭圆方程化简分析即可.
【详解】（1）如图所示：

根据题意，，设点的坐标为，由于点在椭圆上，
所以，得，
则，
解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）解法一（非对称韦达）：
由题意如图所示：

设点，可设直线的方程为：，
联立，得，
由根与系数的关系，，
直线的方程：，①
直线的方程：，②
①②得，
因为，
所以，解得，
因此，点在定直线上.
解法二（齐次化）：
由题意如图所示：

设不过点的直线的方程为：，
由于直线过，所以.
设，点.
椭圆的方程转化为，，代入直线的方程得，
，即，
即，由根与系数的关系，，
又由题意可得：，所以两式相除得：，
即，解得，
所以点在定直线上.
19．【正确答案】(1)；
(2)过定点，.
【分析】（1）根据椭圆的定义结合条件即可求出方程；（2）切线，与椭圆方程联立，利用，可得，即可得到，联立，求得，由椭圆的对称性易知，若过定点则该定点一定在轴上，设是以为直径的圆上的一点，利用化简可得答案.
【详解】（1）依题意，由椭圆定义可知在以､1,0为焦点，为长轴长的椭圆上
，
曲线的标准方程为
（2）设当过的切线斜率不存在时，不能和直线相交，所以过的切线斜率存在，设切线的斜率为轴上的截距为，则切线
联立消去得
与曲线相切，，
，
联立，求得
由椭圆的对称性易知，若过定点则该定点一定在轴上，
设是以为直径的圆上的一点
，即
以为直径的圆过定点