2024-2025学年广东省清远市清新区高三上册12月期末联考数学模拟预测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省清远市清新区高三上册12月期末联考数学模拟预测试题（附解析），共20页。试卷主要包含了非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】∵，
，
∴，
故选：D.
2. 复数等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】令则．由得，
故选B．
3. 在等比数列中，，则（ ）
A. 4B. C. 8D. 5
【正确答案】A
【详解】由题意，所以，即等比数列公比为，
所以，解得，所以.
故选：A.
4. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】抛物线C的标准方程为，所以其准线方程为，
故选：B
5. 已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示，
圆O：，圆心为，半径为，
设，，点P在双曲线上，，则有，，可得，
过O作MN的垂线，垂足为D，O为的中点，则，，
同理，，由，
四边形AMBN的面积为，
，化简得，则有，则C的离心率.
故选：D
6. 过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】取圆上任意一点P，
过P作圆的两条切线，，

当时，且，；
则，所以实数.
故选：C
7. 甲、 乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】因为甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，若每个同学可以自由选择，
所以3科的选择数有2，2，1和3，1，1两种分配方案，
当分配方案为2，2，1时，共有种不同的选择方案；
当分配方案为3，1，1时，共有种不同的选择方案；
所以满足要求的不同选择种数为；
所以甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为.
故选：C.
8. 已知函数在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【详解】因为得，则，
所以由题意可得，，解得.
故选：D
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分．每题至少两项是符合题目要求的．全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）
9. 在正方体中，M，N，P分别是面，面，面的中心，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 平面
C. 平面D. 与所成的角是
【正确答案】ABD
【详解】连接，则是的中位线，∴，故A正确；
连接，，则，平面，平面，
∴平面，即平面，故B正确；
连接，则平面即为平面，显然不垂直平面，故C错误；
∵，∴或其补角为与所成的角，，故D正确．
故选：ABD．
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则的最小值为2
C. 若，则的最大值为2
D. 若，则
【正确答案】AD
【详解】因为，所以，
因为，所以，所以，故A正确；
因为的等号成立条件不成立，所以B错误；
因为，所以，故C错误；
因为，
当且仅当，即时，等号成立，所以D正确.
故选：AD
11. 已知圆，圆分别是圆与圆上的点，则（ ）
A. 若圆与圆无公共点，则
B. 当时，两圆公共弦所在直线方程为
C. 当时，则斜率的最大值为
D. 当时，过点作圆两条切线，切点分别为，则不可能等于
【正确答案】BC
【详解】对于选项A，当两圆内含时，可以无穷大，所以A不正确；
当时两圆相交，两圆的方程作差可以得公共弦的直线方程为，所以B为正确选项；
对于选项B，当时如图，

和为两条内公切线，且，
由平面几何知识可知，
所以可得，
即斜率的最大值为，C选项正确；
对于D选项，如图，

点P在位置时，
点在位置时，
所以中间必然有位置使得，故D错误.
故选：BC.
12. 已知函数，，其中且．若函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，有且只有一个零点
B. 当时，有两个零点
C. 当时，曲线与曲线有且只有两条公切线
D. 若为单调函数，则
【正确答案】BCD
【详解】对A，令，
令或都成立，有两个零点，故A错误；
对B， 令
，（）.考虑
所以函数在单调递减，在单调递增，
.
考虑
所以函数在单调递增，在单调递减，当时，,所以当时，有两个零点.
此时，故B正确；
对C，设，.
设切点
所以.
①
②
,
,
设，
所以，
所以函数在单调递减，因为，
所以
所以有两解，所以当时，曲线与曲线有且只有两条公切线，所以该选项正确；
对D，若单调递增，则.
.考虑不满足.
若单调递减，则.
所以考虑不满足.
当时，不满足.
当时，
，∴.故D正确.
故选：BCD
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 第二届广东自由贸易试验区一联动发展区合作交流活动于2023年12月13日—14日在湛江举行，某区共有4名代表参加，每名代表是否被抽到发言相互独立，且概率均为，记为该区代表中被抽到发言的人数，则______.
【正确答案】##
【详解】由题意知随机变量为，
所以，
故答案.
14. 函数是奇函数，则__________.
【正确答案】1
【详解】因为，所以，
因为是奇函数，所以，即，
所以，解得，
则.
故1
15. 已知向量，，则使成立的一个充分不必要条件是______________．
【正确答案】（答案不唯一）
【详解】因为，，
所以，，
所以，
解得，
所以使成立的一个充分不必要条件是.
故（答案不唯一）
16. 如图，在四棱柱中，底面ABCD为正方形，，，，且二面角的正切值为．若点P在底面ABCD上运动，点Q在四棱柱内运动，，则的最小值为______．

【正确答案】
【详解】连接，交于，设是的中点，连接.
由于，是的中点，所以，
由于平面，
所以平面，由于平面，所以，，
由于分别是的中点，所以，
由于，所以，由于平面，
所以平面，由于平面，所以，
所以是二面角的平面角，
所以，所以，
由于，所以，
所以三角形是等腰直角三角形，所以，
由于平面，
所以平面，且.
由于，所以点的轨迹是以为球心，
半径为的球面在四棱柱内的部分，
关于平面的对称点为，
连接，交平面于，
所以的最小值为.
故
求解二面角有关问题，关键是找到二面角的平面角，二面角的平面角的定义是：在二面角的交线上任取一点，然后在两个半平面内作交线的垂线，所得角也即是二面角的平面角.
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最小值.
【正确答案】（1）
（2）.
【小问1详解】
由正弦定理得：
，
又，，
，
；
【小问2详解】
，，
由余弦定理得：，
当且仅当时等号成立，
，即的最小值为.
18. 设是等比数列且公比大于0，其前项和为是等差数列，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求满足的最大整数的值．
【正确答案】（1），；
（2）9.
【小问1详解】
设的公比为，
因为，所以，即，解得或（舍），
所以，
设的公差为，
因，所以，
所以，解得，所以．
故，.
【小问2详解】
，
即.
所以
.
，化简得，又，解得.
所以满足的最大整数.
19. 在四棱锥中，底面是正方形，若，，，
（1）求四棱锥的体积；
（2）求直线与平面夹角正弦值．
【正确答案】（1）
（2）
【小问1详解】
取的中点，连接，，
因为，所以，
又，，所以，
在正方形中，，所以，
所以，又，
所以，即，
又，平面，平面，
所以平面，
所以四棱锥的体积为；
【小问2详解】
过作交于，则，
结合（1）中平面，故可建如图空间直角坐标系：
则，，，D0,1,0，
故，，，
设平面法向量为，
则，故，取，则，，所以，
设直线与平面夹角为，
则，
所以直线与平面夹角的正弦值为.
20. 甲､乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立．
（1）在比赛进行4场结束的条件下，求甲队获胜的概率；
（2）赛事主办方需要预支球队费用万元．假设主办方在前3场比赛每场收入100万元，之后的比赛每场收入200万元．主办方该如何确定的值，才能使其获利（获利=总收入预支球队费用）的期望高于万元？
【正确答案】（1）
（2）
【小问1详解】
记事件为“比赛进行4场结束”；事件为“甲最终获胜”，
事件表示“第场甲获胜”，
事件为“比赛进行4场结束甲获胜”；事件为“比赛进行4场结束乙获胜”．
则，
因为各场比赛结果相互独立，
所以
，
，
因为互斥，所以．
又因为，
所以由条件概率计算公式得.
【小问2详解】
设主办方本次比赛总收入为万元，
由题意：的可能取值为：．
，
，
，
则随机变量的分布列为：
所以．
设主办方本次比赛获利为万元，则，
所以，
由题意：，
所以预支球队的费用应小于261万元．
21. 抛物线：，双曲线：且离心率，过曲线下支上的一点作的切线，其斜率为.
（1）求的标准方程；
（2）直线与交于不同的两点，，以PQ为直径的圆过点，过点N作直线的垂线，垂足为H，则平面内是否存在定点D，使得DH为定值，若存在，求出定值和定点D的坐标；若不存在，请说明理由.
【正确答案】（1）；
（2）存在，，定点.
【小问1详解】
切线方程为，即，由消去y并整理得：
，则，解得，即，
由离心率得，即，双曲线，则，
所以双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
当直线PQ不垂直于y轴时，设直线方程为，，，
由消去x并整理得：，
有，，，
，，因以为直径的圆过点，则当P，Q与N都不重合时，有，
，当P，Q之一与N重合时，成立，于是得，
则有
，即，
整理得，即，
因此，解得或，均满足，
当时，直线：恒过，不符合题意，
当时，直线：，即恒过，符合题意，
当直线PQ垂直于y轴时，设直线，由解得，
因以为直径的圆过点，则由对称性得，解得，直线过点，
于是得直线过定点，取EN中点，因于H，从而，
所以存在定点D，使得为定值，点.
22. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，渐近线的斜率为2．
（1）求双曲线的方程；
（2）设过点的直线与曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．
【正确答案】（1）；
（2）答案见解析.
【小问1详解】
由已知可得，双曲线的渐近线方程为，双曲线焦点，.
则到渐近线，即的距离为，所以，
又渐近线的斜率为2，即，所以，
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
由已知可得，直线的斜率存在，设斜率为，则.
联立直线的方程与双曲线的方程可得，，
设，，.
当，即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，不满足题意，所以，.
，解得，且.
由韦达定理可得，，且，.
又，，
则，
因为，，
所以，
要使为常数，则应与无关，
即应有，解得，此时是个常数，这样的点存在.
所以，在轴上存在定点的坐标为，使得为常数.300
500
700
0.26
0.37
0.37