2024-2025学年广东省汕头市高三上册第四次月考 数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省汕头市高三上册第四次月考 数学检测试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40分，在每小题中所列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，则满足的集合C的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 已知i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为（ ）
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
3. 在中，，则( )
A. B. C. D.
4. 函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
5. 有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，……，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定误差的，已知，．用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为（ ）
A. 0.073 B. 0.081 C. 0.122 D. 0.657
6. (5分)冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用等特殊角度下.为了判断“冬”的
弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，若点恰好在边上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 不透明的布袋里装有不同编号且大小完全相同的红色，白色，黑色，蓝色的球各两个，从中随机选4个球，则在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两球不同色的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线的左､右顶点分别为是右支上一点，直线与直线的交点分别为，记的外接圆半径分别为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的经验回归方程为．在余下的8个样本数据和新的经验回归方程中（ ）．
A. 相关变量x，y具有正相关关系
B. 新的经验回归方程为
C. 随着自变量x值增加，因变量y值增加速度变小
D. 样本的残差为
10. 如图，在棱长为2的正方体中，点，分别在线段
和上．给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（ ）
A. 的最小值为2
B. 四面体的体积为
C. 有且仅有一条直线与垂直
D. 存在点，使为等边三角形
11. 已知函数的零点分别为，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量的夹角的余弦值为，则________
13. 如图曲线为“笛卡尔叶形线”，其方程为，该曲线的渐近线方程为．若，直线与该曲线在第一象限交于点A，则过点A且与该曲线的渐近线相切的面积最小的圆的方程为______
14. 已知函数的定义域为的图象关于点对称，且，都有．当时，，则函数在区间上有_____个零点.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。）
15. (13分)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcs x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值.
16. (15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD，AB=AD= ，PA=4，点E、Q分别在棱BC、CP上，且，.
（1）求证：DE⊥平面PAC；
（2）求直线QE与平面PAC所成角的正弦值.
17. (15分)设函数.
（1）求的极值；
（2）若对任意，有恒成立，求最大值.
18. (17分)记椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，直线，的斜率满足.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆上点处的切线方程是.若点为直线上的动点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，求面积的最小值.
19. (17分)给定整数，数列，且，为整数.在中去掉一项，并将剩下的数分成项数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为.将中的最小值称为数列的特征值.
（1）已知数列，写出的值及的特征值；
（2）若，当，其中，且时，证明：；
（3）已知数列的特征值为，求的最小值.
答案
1. 【正确答案】C由题知
因为，所以根据子集的定义，
集合必须含有元素2，3，且可能含有元素1，4，
根据含有n个元素的集合，其子集个数为 ,
即集合的子集个数为个.故选：C.
2. 【正确答案】D依题意，设，则，
则，
同时，
因为，所以，所以.故选：D.
3. 【正确答案】B因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，
又，所以.故选：B.
4. 【正确答案】C对于 ，当 时， ，故B错误；
，显然在定义域内 ，
即在 和 都是增函数，C正确，AD错误；
故选：C.
5. 【正确答案】B
依题意，将n=6代入原式
可得：
所以，
又
所以估算出的与实际的的误差绝对值近似为；
故选：B
6. 【正确答案】C
由题意，在中，由余弦定理，；
因为，所以，
中，由正弦定理，
所以，解得，
故选：C.
7. 【正确答案】D
记至少有两个球颜色相同为事件，两球颜色不同为事件，则
，
，
所以在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两球不同色的概率为
故选：B.
8. 【正确答案】A
由题意可知：，

设动点，则，即，
设直线的斜率分别为，根据对称性不妨设，
因为，，
则，即，
可知直线方程为：，则直线方程为：，
令得，，
即，，则，
由正弦定理得：，，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：A
9. 【正确答案】AD
，x新平均数，．
y新平均数，∴，∴．
新的线性回归方程，x，y具有正相关关系，A对．
新的线性回归方程：，B错．
由线性回归方程知，随着自变量x值增加，因变量y值增加速度恒定，C错；
，，，D对．
故选：AD．
10. 【正确答案】ABD
对于A：因为是正方体，所以平面，平面，
又因为平面，平面，
所以，，即是与的公垂线段，
因为公垂线段是异面直线上两点间的最短距离，
所以当分别与重合时，最短为2，故A正确；
对于B：因为是正方体，
所以平面平面，且平面，所以平面，
可知，当点在上运动时，点到平面的距离不变，距离，
由可知，当点在上运动时，到的距离不变，
所以的面积不变，所以，所以B正确；
对于C：当分别与重合时，；
当为中点，与重合时，，所以错误；
对于D：如图以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
设，，
则，，，，
，，，
因为为等边三角形，
由，
得，得，即，
由，得，
则，即，解得或，
即或，故D正确；
故选：ABD．

11. 【正确答案】ACD
对于A，因为函数的零点分别为，所以，，
所以即，
所以，故，故A正确；
对于B，由得，
所以函数与图象交点横坐标以及函数与图象交点的横坐标即为函数和的零点，
作图，由图象可知，
又由A得，所以，
所以，故B错；
对于C，由A得即，以及得：
，故C对；
对于D，由AB得，，，
所以，故D对.
故选：ACD.
12. 【正确答案】
由题意可得，
所以．
13. 【正确答案】
，则直线为，曲线为，联立直线方程与曲线方程求解交点，与，得，解得或．
A在一象限，可得．渐近线的方程为，即所求圆的切线方程为，斜率为 ，（A是直径的一个端点），所以从点A向此切线作垂线，垂足为B，则所求圆直径为AB，AB中点为圆心
设，则 ，解得，即，
所以，AB的中点坐标为，
所以以AB为直径的圆与渐近线相切的圆的方程为
．
故．
14. 【正确答案】6
的图象关于点对称，函数是定义域为的奇函数，，且，
又，即函数的图象关于直线对称，且，
，是函数的一个周期，.
当时，，所以在上单调递增，且，，
函数在区间上仅有1个零点，且零点在区间上，
由对称性，知函数在区间上有且仅有1个零点，
是定义域为的奇函数且是4是它的一个周期，，
函数的图象关于点中心对称，函数在区间上有且仅有2个零点，
函数在区间上没有零点，函数在区间上没有零点，
结合，得函数在区间上有6个零点.
故6.
15. 【正确答案】解 (1)f(x)＝sin2x＋sin xcs x＝－cs 2x＋sin 2x＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋，
由题意知－≤x≤m，
所以－≤2x－≤2m－，
要使得f(x)在区间上的最大值为，
即sin在区间上的最大值为1，
所以2m－≥，即m≥.
所以m的最小值为.
16. 【正确答案】证明 （1）构建如图所示的空间直角坐标系，则，P(0，0，4)，E(2，1，0)，
∴ ，
∴，即AP⊥DE，DE⊥AC，又AP∩AC=A，
∴DE⊥平面PAC；
（2）解 设Q(x,y,z)，由 ，有(x－2,y－4,z)= ，
∴Q( )，则 ，则 的一个方向向量为 ，
由（1）知： 是平面PAC的一个法向量，
∴直线QE与平面PAC所成角的正弦值为.
17. 【正确答案】解：（1）.
令，得，令，得.
故在单调递减，在单调递增.
在处取得极小值，无极大值.
（2）对恒成立，
即对恒成立.
令，则只需即可.
.
易知均在上单调递增，
故在上单调递增且.
当时，单调递减；
当时，单调递增.
.故，故的最大值为.
18. 【正确答案】解：（1）由椭圆上顶点，可得，
因为，，所以，
所以，所以椭圆的方程为.
（2）设，，
则椭圆C在点的切线方程分别为，，
又在两条切线上，则，，
则直线的方程为，
由整理得，
则，
则
，
又点P到直线的距离，
则的面积为，
令，，则，，
则在上单调递减，则在上单调递增，
所以，当且仅当即点P坐标为时等号成立，
则面积的最小值为.
19. 【正确答案】（1）解：由题知：，
的特征值为1.
（2）证明：由于，
①当时，根据定义可知
，
同理可得.
所以，所以；
②当时，同理可得：
，
，
所以，所以.
综上有.
（3）解：不妨设，
显然，，
，
当且仅当时取等号；
，
当且仅当时取等号；
由（2）可知的较小值为，
所以，
当且仅当时取等号，
此时数列为常数列，其特征值为0，不符合题意，
则必有.
当时，
因为.
所以.
因此
.
当时，可取到最小值，符合题意.
所以.最小值为.