2024-2025学年吉林省白城市高二上册期末考试数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年吉林省白城市高二上册期末考试数学检测试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F1(2，0)，点A的坐标为(0,1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF1周长的最小值为8，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. 2 D. 2
2. 若直线：平分圆：的面积，则的最小值为（ ）
A. 8 B. C. 4 D. 6
3. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育新人”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是( )
A. 的值为0.005
B. 估计这组数据的众数为75分
C. 估计成绩低于60分的有250人
D. 估计这组数据的中位数为分
4. 某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了从事芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是( )
A. 芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%
B. 芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%
C. 芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多
D. 芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多
5.已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为A，，那么的最小值为( )
A. B. C. D.
6. 已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1
8. 已知一组数据丢失了其中一个大于3的数据，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是( )
A. 5 B. 12 C. 18 D. 20
二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9. 已知双曲线－＝1(m>0)，则( )
A. 离心率的最小值为4
B. 当m＝1时，离心率最小
C. 离心率最小时双曲线的标准方程为－＝1
D. 离心率最小时双曲线的渐近线方程为x±y＝0
10. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
11. 白城一中组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），如图所示，画出频率分布直方图，下列说法正确的是（ ）

A. 成绩在区间 内的学生有46人 B. 图中 的值为
C. 估计全校学生成绩的中位数约为 D. 估计全校学生成绩的 分位数为90
12.设直线：，：，下列说法正确的是( )
A. 当时，直线与不重合 B. 当时，直线与相交
C. 当时， D. 当时，
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知，，，若过点A的直线l、直线BC及x轴正半轴y轴正半轴围成的四边形有外接圆，则该圆的一个标准方程为 ．
14. 如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥平面BCDE，如图②.若点F是线段BE的靠近点E的三等分点，点P是线段A1F上的点，直线l过点B且垂直于平面BCDE，则点P到直线l的距离的最小值为________.
15. 在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为，则的方程为 ．
16. 设点为圆上任意一点，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点．
(1)求的最小值；
(2)求的最小值．
18. 已知x，y满足＋≤1，求z＝y－3x的最值
19. 有4张面值相同的债券，其中有2张是中奖债券．
(1)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率；
(2)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率；
(3)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率；
(4)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率
0，所以e2＝m＋≥2＝4，即e≥2，当且仅当m＝，即m＝2时取等号，此时双曲线的标准方程是－＝1，渐近线方程是x±y＝0.
10. 【正确答案】AD
对于A，AC∥A1C1，所以 与 的夹角即 与 的夹角，显然为45°；对于B， 与 的夹角为135°；对于C， 与 的夹角为135°；对于D，与A同理，即 与 的夹角为45°.故选AD.
11. 【正确答案】BC
对于A，成绩在区间 内的学生有 人，故A错误；
对于B，由图表可知， ，所以 ，故B正确；
对于C，因为 ， ，
所以设全校学生成绩的中位数 ，
所以 ，解得 ，故C正确；
对于D，设全校学生成绩的 分位数为 ，
则 ，解得 ，故D错误.
故选：BC.
12. 【正确答案】BD
对于A，时，若,,且时，
两直线：，：重合，A错误；
对于B，联立 ，可得,
当时，，此时方程组有唯一一组解，
故直线与相交，B正确；
对于C，时，若，则无解，
此时；
若，则有无数多组解，
此时重合，故C错误；
对于D，若，则由可得，
即两直线斜率之积等于，故；
若,则可得，此时满足，
直线：，：，
此时，
故当时，，D正确，
故选：
13. 【正确答案】(答案不唯一)
当过点A的直线与直线BC平行时，围成的四边形是等腰梯形，外接圆就是过，，的圆．
设该外接圆的圆心坐标为，则，，
所以半径，
此时圆的标准方程为．
当过点A的直线与BC垂直时，外接圆就是以线段AC的中点为圆心，AC为直径的圆，
其圆心坐标为，半径，此时圆的标准方程为．
故答案为.(答案不唯一)
14. 【正确答案】
如图建立空间直角坐标系Cxyz，
则D(－2，0，0)，A1(0，0，2)，B(0，3，0)，E(－2，2，0).
设F(x0，y0，0)，则＝(x0，y0－3，0)，＝(－2，－1，0).
由题知＝，∴即F.
设P(x1，y1，z1)，则＝(x1，y1，z1－2)，＝，
设＝λ，即(x1，y1，z1－2)＝λ，
∴x1＝－λ，y1＝λ，z1＝2－2λ，即P.
设点P在直线l上的射影为P′，则P′(0，3，2－2λ)，
点P到直线l的距离的平方||2＝λ2＋＝λ2－14λ＋9.
由题知λ∈[0，1]，
故当λ＝时，点P到直线l的距离最小，最小值为.
15. 【正确答案】
圆，即，其圆心，
又的圆心，
根据题意可得直线为线段的垂直平分线，
又，线段的中点，
则直线的方程为，即.
故答案为.
16. 【正确答案】
如图，作出圆，因点是圆上一点，故可看成圆上的点与原点连线的斜率.
考虑直线与圆相切时，设切线斜率为，则圆心到直线的距离为，
解得，由图知要使过原点的直线与圆有公共点，
需使直线倾斜角不小于切线的倾斜角，或不超过切线的倾斜角，
故直线的斜率或，即的范围为.
故答案为.
17. 【正确答案】解 (1)由整理得，，
令，解得，即直线经过定点.
不妨设直线的方程为，则有(*)
由(*)和基本不等式可得，，解得，
当且仅当时，即时，等号成立，
故当时，的最小值为12；
(2)因，由(1)得，，
则，当且仅当时，等号成立，
故当时，取得最小值.
18. 【正确答案】解 z＝y－3x等价于y＝3x＋z，则z为直线y＝3x＋z在y轴上的截距，又＋≤1表示椭圆＋＝1及其内部区域，所以当直线y＝3x＋z与椭圆相切时，z可取到最大或最小值．将y＝3x＋z代入＋＝1，
得169x2＋96zx＋16z2－400＝0.
令Δ＝0,即 -4 169 (16z2-400)=0，解得z＝±13.
故z的最大值为13，最小值为－13.
19. 【正确答案】解 (1)将4张面值相同的债券分别记作A，B，C，D，规定A，B是中奖债券，则有放回地取出2张债券的所有结果列表如下：
可见所有结果数共16种，取出的2张是中奖的A债券和B债券的结果数有4种，故所求概率是＝.
(2)我们知道，无放回地抽取可考虑顺序，可不考虑顺序．如果考虑顺序的话，我们可以在(1)中的表格里去掉对角线上的(A，A)，(B，B)，(C，C)，(D，D)，得到的就是所有结果数，为12，当然这个所有结果数还可以用树状图法或列举法得到，而取出的2张是中奖的A债券和B债券的结果有2种，故所求概率是＝；
如果不考虑顺序的话，可以在(1)中的表格里要么只取对角线以上的几种情况，要么只取对角线以下的几种情况．这时可以看出所有结果数有6种，当然结果数还可以用列举法得到，而取出的2张是中奖的A债券和B债券的结果只有1种，故所求概率是.
(3)有放回地抽取，由(1)中的表格可以看出所有结果数是16，至少有1张中奖的结果数是12，所以所求概率是＝.
(4)无放回地抽取，借助(2)的分析解答，考虑顺序的话所有结果数是12，至少有1个中奖的结果数是10，所以此时的概率是＝；不考虑顺序的话所有结果数是6，至少有1个中奖的结果数是5，所以所求概率是.
20. 【正确答案】解 (1)依题意，双曲线C的焦点F1(－3，0)，F2(3，0)，作出△PF1F2的内切圆，I为圆心，切点分别为S，K，T，如图，设点I的横坐标为t，显然IT⊥x轴，
|PS|＝||，|F1S|＝|F1T|，|F2K|＝|F2T|，
由双曲线定义知
4＝|PF1|－|PF2|＝(|PS|＋|F1S|)－(||＋|F2K|)＝|F1T|－|F2T|＝(t＋3)－(3－t)＝2t，
解得t＝2，
所以内心I的横坐标为2.
(2)点A(－2，0)，显然直线l不垂直于x轴，否则由双曲线对称性得k1＋k2＝0，
设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x－3)，
由消去y得(5－4k2)x2＋24k2x－36k2－20＝0，
显然5－4k2≠0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＋x2＝，x1x2＝，
则k1＋k2＝＋＝＋＝2k－5k
＝2k－5k·＝2k－5k·＝2k－5k·＝＝－，
解得k＝－2，即直线l：y＝－2(x－3)，
所以直线l的方程为y＝－2x＋6.
21. 【正确答案】解：（1）连接，交于点，连接，
∵为中点，为中点，∴.
又∵平面，平面，∴平面.
（2）如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，令，得.
设直线与平面所成角为，且，
∴，∴，
即直线与平面所成角的余弦值为.