2024-2025学年辽宁省鞍山市高三上册12月期末数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年辽宁省鞍山市高三上册12月期末数学检测试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024·贵州遵义高三第三次质量监测)已知集合A＝{x∈N|x2－x－12≤0}，B＝{－1，1，2，3，4，5}，则A∩B＝( )
A．{0，1，3，4，5} B．{1，2，3，4，5}
C．{1，2，3，4} D．{－1，0，2，3，4}
2．(2024·浙江宁波十校高三3月联考)若复数z满足(1＋i)z＝5i－z，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z－1,z－i）)＝( )
A．3 B．2
C．eq \r(2) D．1
3．“a>0”是“点(0，1)在圆x2＋y2－2ax－2y＋a＋1＝0外”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a－2b|的值为( )
A．eq \r(2) B．2
C．4 D．eq \f(1,2)
5．函数y＝sinx·ln eq \f(x2＋1,x2)的图象可能是( )
6．(2x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,\r(x））eq \s\up12(5)的展开式中x3的系数为( )
A．180 B．90
C．20 D．10
7．(2024·山东泰安高三第二次模拟)设抛物线x2＝4y的焦点为F，过抛物线上点P作准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝( )
A．eq \f(4,3) B．eq \f(4\r(3),3)
C．eq \r(3) D．eq \f(2\r(3),3)
8．(2024·辽宁辽阳高三第一次模拟)已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2）)＝eq \f(3,4)，则f(100)＝( )
A．10000 B．10082
C．10100 D．10302
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．(2024·重庆部分学校高三3月联考)如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t s时相对于平衡位置的高度h(单位：cm)由关系式h＝Asin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)确定，其中A>0，ω>0，φ∈(0，π]．小球从最高点出发，经过1．8 s后，第一次回到最高点，则( )
A．φ＝eq \f(π,4)
B．ω＝eq \f(10π,9)
C．t＝9 s与t＝2．1 s时的相对于平衡位置的高度h之比为eq \f(3,2)
D．t＝9 s与t＝2．1 s时的相对于平衡位置的高度h之比为2
10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，AA1＝4，M为CC1的中点，P为线段A1M上的点(不包括端点)，则下列说法正确的是( )
A．A1M⊥平面ABM
B．三棱锥P－ABM体积的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4\r(3),3）)
C．存在点P，使得BP与平面A1B1C1所成的角为60°
D．存在点P，使得AP⊥BM
11．已知直线y＝－x＋2分别与函数y＝ex和y＝ln x的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论正确的是( )
A．x1＋x2＝2B．ex1＋ex2>2e
C．x1ln x2＋x2ln x1eq \f(\r(e),2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知tan(π－α)＝－eq \f(3,4)，则sin2α的值为________．
13．已知{an}是等差数列，a3＋a9＝12，则a13－eq \f(1,2)a20＝________．
14．过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)右焦点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为点A，O为坐标原点，若∠OAF的平分线与x轴交于点M，且点M到OA与AF的距离都为eq \f(b,3)，则双曲线C的离心率为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sinA－sinB)＋bsinB＝csinC．
(1)求角C；
(2)若c＝3，a＋b＝6，求△ABC的面积．
16．(2024·江苏徐州高三适应性测试)(本小题满分15分)已知函数f(x)＝x2＋ax－ln x，a∈R．
(1)若函数y＝f(x)－2x2在(0，2]上单调递减，求a的取值范围；
(2)若直线y＝ex与函数f(x)的图象相切，求a的值．
17．(本小题满分15分)如图，四边形ABCD是边长为eq \r(13)的菱形，对角线BD＝4，F为CD的中点，CE⊥平面BCD，CE＝2．现沿BD将△ABD翻折至△A1BD的位置，使得平面A1BD⊥平面BCD，且点A1和点E在平面BCD同侧．
(1)证明：A1F∥平面BCE；
(2)求二面角A1－BF－E的正弦值．
18．(2024·吉林地区高三第三次模拟)(本小题满分17分)短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人．
(1)依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值α＝0．001的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关联；
单位：人
(2)为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出．
①求经过i次传递后球回到甲的概率；
②记前m次传递中球传到乙的次数为X，求X的数学期望．
参考公式：χ2＝eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d，E(eq \(∑,\s\up11(m),\s\d4(i＝1）Xi)＝eq \(∑,\s\up11(m),\s\d4(i＝1）E(Xi)．
附表：
19．(2024·湖南永州高三第三次模拟)(本小题满分17分)已知O为坐标原点，动点M在椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1上，动点N满足eq \(ON,\s\up6(→）＝eq \r(3) eq \(OM,\s\up6(→），记点N的轨迹为E．
(1)求轨迹E的方程；
(2)在轨迹E上是否存在点T，使得过点T作椭圆C的两条切线互相垂直？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)过点M的直线y＝kx＋m(m≠0)交轨迹E于A，B两点，射线OM交轨迹E于点P，射线MO交椭圆C于点Q，求四边形APBQ面积的最大值．
2024-2025学年辽宁省鞍山市高三上学期12月期末数学
检测试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024·贵州遵义高三第三次质量监测)已知集合A＝{x∈N|x2－x－12≤0}，B＝{－1，1，2，3，4，5}，则A∩B＝( )
A．{0，1，3，4，5} B．{1，2，3，4，5}
C．{1，2，3，4} D．{－1，0，2，3，4}
答案：C
解析：由x2－x－12≤0，得－3≤x≤4，则A＝{0，1，2，3，4}，于是A∩B＝{0，1，2，3，4}∩{－1，1，2，3，4，5}＝{1，2，3，4}．故选C．
2．(2024·浙江宁波十校高三3月联考)若复数z满足(1＋i)z＝5i－z，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z－1,z－i）)＝( )
A．3 B．2
C．eq \r(2) D．1
答案：C
解析：由(1＋i)z＝5i－z，得(2＋i)z＝5i，所以z＝eq \f(5i,2＋i)＝eq \f(5i(2－i),(2＋i)(2－i）＝1＋2i，所以eq \f(z－1,z－i)＝eq \f(2i,1＋i)＝eq \f(2i(1－i),(1＋i)(1－i）＝1＋i，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z－1,z－i）)＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)．故选C．
3．“a>0”是“点(0，1)在圆x2＋y2－2ax－2y＋a＋1＝0外”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：将x2＋y2－2ax－2y＋a＋1＝0化为标准方程，得(x－a)2＋(y－1)2＝a2－a．当点(0，1)在圆x2＋y2－2ax－2y＋a＋1＝0外时，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－a>0，,a>0，）解得a>1．所以“a>0”是“点(0，1)在圆x2＋y2－2ax－2y＋a＋1＝0外”的必要不充分条件．故选B．
4．已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a－2b|的值为( )
A．eq \r(2) B．2
C．4 D．eq \f(1,2)
答案：B
解析：因为a＝(2，0)，所以|a|＝2，所以a·b＝|a||b|cs60°＝2×1×eq \f(1,2)＝1，所以|a－2b|2＝(a－2b)2＝a2＋4b2－4a·b＝|a|2＋4|b|2－4a·b＝22＋4－4×1＝4，所以|a－2b|＝2．故选B．
5．函数y＝sinx·ln eq \f(x2＋1,x2)的图象可能是( )
答案：D
解析：因为y＝f(x)＝sinx·ln eq \f(x2＋1,x2)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又f(－x)＝sin(－x)·ln eq \f((－x)2＋1,(－x)2)＝－sinx·ln eq \f(x2＋1,x2)＝－f(x)，所以y＝sinx·ln eq \f(x2＋1,x2)为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A，B；当x∈(0，π)时，sinx＞0，eq \f(x2＋1,x2)＝1＋eq \f(1,x2)＞1，所以ln eq \f(x2＋1,x2)＞0，所以y＝sinx·ln eq \f(x2＋1,x2)＞0，故排除C．故选D．
6．(2x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,\r(x））eq \s\up12(5)的展开式中x3的系数为( )
A．180 B．90
C．20 D．10
答案：A
解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,\r(x））eq \s\up12(5)的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)3kx5－eq \f(3k,2)，由5－eq \f(3k,2)＝3，得k＝eq \f(4,3)∉Z；由5－eq \f(3k,2)＝2，解得k＝2，所以x3的系数为2×Ceq \\al(2,5)×32＝180．故选A．
7．(2024·山东泰安高三第二次模拟)设抛物线x2＝4y的焦点为F，过抛物线上点P作准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝( )
A．eq \f(4,3) B．eq \f(4\r(3),3)
C．eq \r(3) D．eq \f(2\r(3),3)
答案：A
解析：如图所示，设M为准线与x轴的交点，因为∠PQF＝30°，且|PF|＝|PQ|，所以∠PFQ＝30°，因为FM∥PQ，所以∠QFM＝30°，在Rt△QMF中，|QF|＝eq \f(|FM|,cs30°)＝eq \f(2,\f(\r(3),2）＝eq \f(4\r(3),3)，所以|PQ|＝eq \f(|QF|,2)÷cs30°＝eq \f(2\r(3),3)÷eq \f(\r(3),2)＝eq \f(4,3)．故选A．
8．(2024·辽宁辽阳高三第一次模拟)已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2）)＝eq \f(3,4)，则f(100)＝( )
A．10000 B．10082
C．10100 D．10302
答案：C
解析：在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy中，令y＝eq \f(1,2)，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2）)＝f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2）)＋x＝f(x)＋x＋eq \f(3,4)，故f(x＋1)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2）)＋x＋eq \f(1,2)＋eq \f(3,4)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2）)＋x＋eq \f(5,4)，故f(x＋1)＝f(x)＋x＋eq \f(3,4)＋x＋eq \f(5,4)＝f(x)＋2x＋2，所以f(x＋1)－f(x)＝2x＋2 ①，f(x＋2)－f(x＋1)＝2(x＋1)＋2＝2x＋4 ②，f(x＋3)－f(x＋2)＝2(x＋2)＋2＝2x＋6 ③，…，f(x＋99)－f(x＋98)＝2(x＋98)＋2＝2x＋198 eq \(○,\s\up1(99），将上面99个式子相加，得f(x＋99)－f(x)＝99×2x＋2＋4＋…＋198＝198x＋eq \f(99×(2＋198),2)＝198x＋9900，令x＝1，得f(100)－f(1)＝198＋9900＝10098，在feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2）)＝f(x)＋x＋eq \f(3,4)中，令x＝eq \f(1,2)，得f(1)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2）)＋eq \f(1,2)＋eq \f(3,4)＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,2)＋eq \f(3,4)＝2，故f(100)＝10098＋f(1)＝10100．故选C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．(2024·重庆部分学校高三3月联考)如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t s时相对于平衡位置的高度h(单位：cm)由关系式h＝Asin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)确定，其中A>0，ω>0，φ∈(0，π]．小球从最高点出发，经过1．8 s后，第一次回到最高点，则( )
A．φ＝eq \f(π,4)
B．ω＝eq \f(10π,9)
C．t＝9 s与t＝2．1 s时的相对于平衡位置的高度h之比为eq \f(3,2)
D．t＝9 s与t＝2．1 s时的相对于平衡位置的高度h之比为2
答案：BD
解析：由题可知，小球运动的周期T＝1．8 s，所以eq \f(2π,ω)＝1．8，解得ω＝eq \f(10π,9)，故B正确；当t＝0 s时，Asinφ＝A，又φ∈(0，π]，所以φ＝eq \f(π,2)，故A错误；h＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10π,9)t＋\f(π,2）)＝Acseq \f(10π,9)t，所以t＝9 s与t＝2．1 s时的相对于平衡位置的高度之比为eq \f(Acs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10π,9)×9）,Acs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10π,9)×2.1）)＝2，故C错误，D正确．故选BD．
10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，AA1＝4，M为CC1的中点，P为线段A1M上的点(不包括端点)，则下列说法正确的是( )
A．A1M⊥平面ABM
B．三棱锥P－ABM体积的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4\r(3),3）)
C．存在点P，使得BP与平面A1B1C1所成的角为60°
D．存在点P，使得AP⊥BM
答案：BC
解析：连接A1B，由题意得A1C1＝MC1＝2，则A1M＝2eq \r(2)，BM＝2eq \r(2)，易得A1B＝2eq \r(5)，因为A1M2＋BM2≠A1B2，所以A1M与BM不垂直，所以A1M与平面ABM不垂直，故A错误；易知AM⊥A1M，所以S△AMP＝eq \f(1,2)AM·PM＝eq \r(2)PM，又PM∈(0，2eq \r(2))，点B到平面AMP的距离为eq \r(3)，则VP－ABM＝VB－AMP＝eq \f(1,3)×eq \r(3)×S△AMP＝eq \f(\r(6),3)PM∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4\r(3),3）)，故B正确；BP与平面A1B1C1所成的角即为BP与平面ABC所成的角，设为α，易知当点P与M重合时，α最小，此时α＝∠MBC＝45°，当点P与A1重合时，α最大，此时α＝∠ABA1，tanα＝eq \f(AA1,AB)＝2，此时α>60°，所以存在点P，使得BP与平面A1B1C1所成的角为60°，故C正确；如图，建立空间直角坐标系，则B(eq \r(3)，1，0)，M(0，2，2)，A1(0，0，4)，设eq \(A1P,\s\up6(→）＝λeq \(A1M,\s\up6(→）(02e，故B正确；对于C，将y＝－x＋2与y＝ex联立可得－x＋2＝ex，即ex＋x－2＝0，设f(x)＝ex＋x－2，则函数f(x)为增函数，因为f(0)＝1＋0－2＝－10，故函数f(x)的零点在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2）)上，即0