2024-2025学年山东省济南市高一上册1月期末数学综合检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年山东省济南市高一上册1月期末数学综合检测试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．“”是“函数的定义域为R”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．计算的结果等于（ ）
A．B．C．D．
3．若命题“存在，使”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名，这种三角形应用非常广泛，不仅用于建筑和商品的外包装设计，还用于工业生产中．莱洛三角形的画法是：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长长为半径画圆弧得到的三角形．如图，若莱洛三角形的面积是，则弓形的周长为（ ）
A．B．C．6D．
5．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若对任意的正数a，b，总有，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数在区间上单调递减，则m的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若实数，满足，则
B．函数的最小值为
C．已知，其中为第三象限角，则
D．若函数，则对任意，有
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数（且）的图象恒过定点
B．若函数是奇函数，则函数的图像关于点对称
C．的单调递增区间为
D．若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是
11．群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a，，有；②对任意的a，b，，有；③存在，使得对任意的，有，e称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元.则称G关于“”新构成一个群.则下列说法不正确的有（ ）
A．关于数的乘法构成群
B．自然数集关于数的加法构成群
C．实数集R关于数的乘法构成群
D．关于数的加法构成群
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若角的终边经过点，则 ．
13．若函数，则不等式的解集为 ．
14．不等式在上有解，则实数m的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。
15．已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为．
(1)求集合；
(2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围.
16．已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调区间；
(3)求在区间上的最值．
17．已知定义在上的函数图象关于原点对称，且.
(1)求的解析式；
(2)判断并用定义证明的单调性；
(3)解不等式.
18．已知定义在R上的函数满足且，．
(1)若不等式恒成立，求实数a取值范围；
(2)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
19．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.
（3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，，，试确定的值，并求的值.
数学答案
1．C
【分析】求出函数的定义域为R时的范围，再根据充要条件的定义判断即可．
【详解】若函数的定义域为R，
则当，，符合要求；
当时，有，解得，
综上所述，，
故“”是“函数的定义域为R”的充要条件.
故选：C.
2．B
【分析】结合诱导公式，逆用两角和的正弦公式求值即可.
【详解】.
故选：B
3．B
【分析】根据特称量词命题的真假结合判别式求解，即得答案.
【详解】由题意知命题“存在，使”是真命题，
即有实数解，
故，
即实数的取值范围是，
故选：B
4．A
【分析】设，利用莱洛三角形的面积求出R的值，即可求得答案.
【详解】设，则以点分别为圆心，圆弧所对的每个扇形面积均为，
等边的面积，
所以莱洛三角形的面积是，
则．，弓形的周长为．
故选：A
5．C
【分析】利用定义判断函数奇偶性，并判断在上函数值符号，即可确定图象.
【详解】由解析式，知的定义域为，
，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，BD不合题意，
当时，，，
则，
所以在上，
结合各项函数图象知，A选项不合题意，C选项满足要求.
故选：C
6．C
【分析】根据指对数函数性质及解析式判断单调性，应用零点存在性定理判断零点所在区间.
【详解】由解析式知，在上是增函数，
且，，
所以的零点所在区间为．
故选：C
7．B
【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.
【详解】由题意可知：函数为定义域在上的奇函数，且为增函数，
因为，则，
可得，即，且，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
8．D
【分析】由三角函数的图象变换求得函数y=fx的解析式，再根据正弦型函数的单调性，求得的取值，进而求得的最小值.
【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，
得到的图象对应的函数的图象，
因为在区间上单调递减，
所以且，
解得，即，
令，可得的最小值为.
故选：D.
9．AD
【分析】对于A，利用基本不等式和幂的性质可得恒成立；对于B，利用基本不等式求最值时，需要查验等号是否成立，而，故该函数取不到最小值为；对于C，注意到利用题设条件推得，求得，利用诱导公式即可求得，可判断C项错误；对于D，利用作差比较法推得，由即可推出.
【详解】对于A，由可得，则，
当且仅当时等号成立，又，故必有成立，故A正确；
对于B，由，可得，故，
因，故函数取不到最小值为，即B错误；
对于C，由题意，则，
因，可得，
故，
而，故C错误；
对于D，因，，
则由
，
因，则，即得,
即,
因，故得.故D正确.
故选：AD.
10．ABD
【分析】根据可判断A；利用奇函数的图象的对称性和函数图象的平移可判断B，根据复合函数的单调性可判断C；通过画函数图象可判断D.
【详解】对于A，当时，，
所以函数的图象恒过定点，故A正确；
对于B，因为函数是奇函数，所以函数的图象关于点对称，
因为函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位得到，
所以函数的图像关于点对称，故B正确；
对于C，设，则，
由，得或，
因为在单调递增，
在单调递减，在单调递增，
所以的单调递增区间为，故C错误；
对于D，当时，函数的图象下图所示，
当时，函数的图象下图所示，
则当时，直线与函数的图象有两个公共点，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11．ABC
【分析】反例判断A，B，C是否满足④，对于D，对所有的，设，求出，依次看是否满足要求.
【详解】A：由且，使，但，不存在，使，故A错误；
B：由且，都有，但，不存在，使，故B错误；
C：由且，使，但，不存在，使，故C错误；
D：对所有的，可设，
则，
①满足加法结合律，即，有；
②，使得，有；
③，设，使，正确.
故选：ABC.
关键点点睛：对于D，对所有的，，求出.
12．/
【分析】根据终边的点求三角函数值，即可求目标式的值.
【详解】∵角的终边经过点，
∴，，，
∴.
故答案为.
13．
【分析】首先判断函数的奇偶性，再把不等式化为，根据对数函数性质及解析式判断时的单调性，最后利用奇偶性、单调性解不等式.
【详解】由，且定义域为R，则为偶函数．
则，
由，可得，又，
由复合函数的单调性知、在上单调递增．
所以，时单调递增，
所以，得，或，解得或．
所以解集为
故
14．
【分析】变形得到在上有解，换元后得到函数的最小值，从而得到.
【详解】，
其中，
故在上有解，
令，则，
其中在上单调递增，
故当时，取得最小值，
最小值为，
故，实数m的取值范围是.
故
15．(1)
(2)．
【分析】（1）由题意可得方程有解，根据即可求解.
（2）由题意得，列出不等式组求解即可.
【详解】（1）由题意可得方程有解，
所以，即，
解得，
所以．
（2）因为是的必要条件，所以，
又因为为非空集合，且，
所以解得，
所以实数的取值范围为．
16．(1)；
(2)答案见解析；
(3)最小值为0，最大值为2.
【分析】（1）先利用三角变换公式把化成的形式，利用求函数周期．
（2）整体换元法求函数的单调区间.
（3）整体换元法求函数的值域．
【详解】（1）因为．
由，所以函数的最小正周期为．
（2）由得：．
由得：．
所以函数的单调增区间为；单调减区间为．
（3）因为，所以．
所以，函数在上的最小值为0，最大值为2．
17．(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）由关于原点对称可得，再结合代入计算即可得；
（2）借助单调性的定义证明即可；
（3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得.
【详解】（1）由题意可得为奇函数，
，即，
又，故，
即，此时有，
故为奇函数，图象关于原点对称，
故；
（2）在上单调递增，证明如下：
令，
则
，
由，则，，，
故，即在上单调递增；
（3）由题意可得为奇函数，
则得，
又在上单调递增，则有，解得，
故不等式的解集为.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据，代入计算可得；
（2）根据单调性得，分离参数求最值即可.
（3）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可.
【详解】（1）由题意知，，
即，所以，
故.
（2）由（1）知，，
所以在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时取等号，
所以，
故实数a的取值范围是.
（3）因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是.
19．（1）； （2）； （3），.
【详解】（1）利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，利用正弦函数的周期，奇偶性求得函数的解析式，进而求得函数的递减区间；
（2）利用函数的图象变换规律，求得函数的解析式，进而求得函数的值域；
（3）由方程，得到，根据，求得，
设，转化为，结合正弦函数的图象与性质，即可求解.
（1）由题意，函数
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，
又由函数为奇函数，可得，
所以，因为，所以，所以函数，
令，解得，
可函数的递减区间为，
再结合，可得函数的减区间为.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最小值为，
故函数的值域.
（3）由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，可得方程在区间有5个解，即，
其中，
即
解得
所以.
解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
A
C
C
B
D
AD
ABD
题号
11









答案
ABC