2024-2025学年山东省淄博市高一上册12月月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山东省淄博市高一上册12月月考数学检测试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分， 函数的图象大致为， 已知，若，则等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上
3.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写.
4.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
一、单项选择题：本大题共8小题每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
解析：∵，，
∴.
故选：C.
2. 已知命题，，则是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】B
解析：命题，，则：，.
故选：B
3. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
解析：因为，所以，解得，
所以函数的定义域是.
故选：C.
4. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程的一个近似根（精确度0.04）为（ ）
A. 1.5B. 1.25C. 1.375D.
【正确答案】D
解析：由表格可知,方程的近似根在内,
又因为，又，
故方程的一个近似根(精确度)可以为.
故选：D.
5. 设m，n为实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
解析：因为函数为上的单调递增函数，又，所以，所以，又函数在上单调递减，所以，所以“”是“”的充分条件，因为函数在上单调递减，又，所以，当为负数时，没有对数值，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确，
故选：A.
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
解析：定义域为关于原点对称，，
所以函数为奇函数，关于原点对称，故A、C错误；
当时，，所以，故B错误，
故选：D.
7. 已知，若，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【正确答案】B
解析：由，可知当时，函数是增函数，
当时，函数也是增函数，且，作出其图象如图：

因，且，则，
故得，解得或，
由知，故，则.
故选：B.
8. 已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
解析：函数，由得 ，故，解得.
∵，∴为偶函数，故.
当时，，
∵在上为减函数，且，∴在上为增函数，
∴在上为增函数，在上为减函数.
∵，，，
∴，
∴，即.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知正实数满足，下列结论中正确的是（ ）
A. 的最大值是B. 的最小值是
C. 的最小值是3D. 的最小值为
【正确答案】BCD
解析：解：对于A项：因为，所以，
则（当且仅当时取等号），故A错误；
对于B项：因为（当且仅当时取等号），故B正确；
对于C项：因为，所以，
因为，
所以（当且仅当时取等号），故C正确；
对于D项：（当且仅当时取等号），故D正确.
故选：BCD.
10. 给出下列结论，其中不正确的结论是（ ）
A. 函数最大值为
B. 已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是
C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
D. 已知定义在上的奇函数在内有110个零点，则函数的零点个数为221
【正确答案】AB
解析：对A选项，利用复合函数的单调性，令，随增大函数值减小，
而当时，有最大值，可求得当时，的最小值为，可知A选项错误；
对B选项，可令，
当时，中，随增大而减小，若原函数是减函数，则随增大而增大，
可得，与条件矛盾；
当时，随减小而减小，且真数要恒大于0，
满足题意的不等式组为，可知的取值范围为，B选项错误；
对C选项，设的图像上任意一点，将指数式转化为对数式：，可知其关于的对称点在的图像上，
反之，对于的图像上的任意一点，将对数式转化为指数式，有，即点关于直线的对称点在函数的图像上，
可知的图像与的图像关于对称，C选项正确；
（也可根据同一底数的指数函数和对数函数互为反函数，互为反函数的函数图像关于对称判断）；
对于D选项，奇函数的图像关于原点中心对称，在有个零点，则在也有个零点，再加上定义在上的奇函数图像必过原点，也是一个零点，共有个零点，D选项正确.
故选：AB
11. 已知函数，则（ ）
A. 是R上的减函数 B. 不等式的解集为
C. 若是奇函数，则D. 的图象关于点对称
【正确答案】ABC
解析：A选项，在R上单调递增，且恒成立，
故是R上的减函数，A正确；
B选项，，
故，所以，
由A知，是R上的减函数，故，解得，
故等式的解集为，B正确；
C选项，若是奇函数，则，
由B选项知，，故，解得，C正确；
D选项，由B选项知，，故的图象关于点对称，
由于与不一定是同一个点，D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12. ______.
【正确答案】
解析：原式，
故答案为.
13. 幂函数在上单调递增，则的图像过定点______.
【正确答案】
解析：由题意得且，解得或-1（舍去），
故，令，得，此时，
故的图象过定点.
故
14. 设函数，若函数的零点为4，则使得成立的整数t的个数为______.
【正确答案】10
解析：由题意得，故，
又，所以，
解得，
所以，定义域为，
由于在上单调递减，在上单调递增，
故在上单调递减，
且，
由得，
即，所以，
解得，
又为整数，故，
故使得成立的整数t的个数为10.
故10
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）若，，求；
（2）若，求正数a的取值范围.
【正确答案】（1）或； （2）
（1）
，故，解得，
又，故，则，
或；
（2）
，故，解得，
故，
因为，所以，
故，
因为，所以，解得，
所以正数a的取值范围是.
16. 已知（，且），且．
（1）求a的值及的定义域；
（2）求在上的最小值．
【正确答案】（1），
（2）
（1）
，即，则，
由题意得，∴，的定义域为.
（2）
，
令，则，
的对称轴：，
∴在上单调递增，在上单调递减；
∵，∴在单调递减，
由复合函数可知：时，单调递减，时，单调递增，
∴.
17. 已知函数为奇函数.
（1）求的值；
（2）判断并证明的单调性；
（3）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）1； （2）在R上单调递减，证明见解析；
（3）.
（1）
由函数为奇函数，其定义域为，
所以，
即，解得，此时，
满足，
即为奇函数，
故值为.
（2）
解：在R上单调递减，证明如下：
由（1）知，
，且，
则，
因为，所以，，，
所以，，
即函数在上单调递减；
（3）
由题知：当恒成立；
则；
令，
所以；
又，当且仅当时等号成立，
而，所以，则.
所以实数的取值范围为
18. 学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分钟，）的函数关系式，要求如下：
（i）函数的图象接近图示；
（ii）每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分；
（iii）每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分；
（iiii）每天得分最多不超过12分.
现有以下三个函数模型供选择：
①；②；③.
（1）请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式；
（2）若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？
（参考值：）
【正确答案】（1）选择③，；
（2）29.25.
（1）
模型①，由图象过点，
得，解得， ，在原点附近增长速度先快后慢，不符合；
模型②为爆炸增长型函数，不符合，
故选模型③.
由题知，，解得，
所以.
（2）
由（1）知，，
令，得，解得，
所以，若每天的得分不少于9分，至少每天要锻炼29.25分钟.
19. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若函数的图像关于点对称，且当时，.
（1）求的值；
（2）设函数
（ⅰ）证明：函数的图像关于点对称；
（ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.
【正确答案】（1）4； （2）（ⅰ）证明过程见解析；（ⅱ）.
（1）
函数的图像关于点对称，
故，
令得；
（2）
（ⅰ）证明：，
故，
故函数的图像关于点对称；
（ⅱ），
故在上单调递增，其中，
，
故的值域为，
设在上的值域为，由题意得，
图象开口向上，对称轴为，且，
当时，
若，即，函数在上单调递增，
由对称性可知，在上单调递增，故在上单调递增，
因为，所以，
所以，由得，解得，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
结合对称性可知，或，
因为，所以，
，
又，
所以，
所以当时，满足；
当，即时，在上单调递减，
由对称性可知，在上单调递减，故在上单调递减，
因为，所以，
所以，由得，解得，
综上，的取值范围为.