2024年甘肃省兰州市中考数学模拟试题（原卷版）

这是一份2024年甘肃省兰州市中考数学模拟试题（原卷版），共11页。
1．全卷共120分，考试时间120分钟．
2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．
3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. －5的相反数是( )
A. B. C. 5D. -5
2. 如图，直线与相交于点O，则（ ）
A. B. C. D.
3. 计算：（ ）
A. B. C. 5D. a
4. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ）

A. B. C. D.
5. 方程的解是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（ ）

A. B. C. D.
7. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 对称轴为B. 顶点坐标为C. 函数的最大值是－3D. 函数的最小值是－3
8. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A －2B. 2C. －4D. 4
9. 2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比增长速度）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）

A. 2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆
B. 2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个
C. 相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%
D 相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低
10. 我国古代天文学确定方向方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（ ）

A. B. C. D.
11. 一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（ ）
A. 2B. 1C. －1D. －2
12. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ）

A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 因式分解：______．
14. 如图，在中，，于点E，若，则______．

15. 如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则______．

16. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：
下面有三个推断：
①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是______．（填序号）
三、解答题（本大题共12小题，共72分）
17. 计算：．
18. 计算：．
19. 解不等式组：．
20. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求线段的长．
21. 综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．

请写出平分的依据：____________；
类比迁移：
（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：
（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

22. 如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得、，．求“龙”字雕塑的高度．（B，C，D三点共线，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，）

23. 一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．

（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．
24. 如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接．

（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当时，求的长．
25. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．
信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x表示，分成六组：A． ；B． ；C． ；D． ；E． ；F． ）．

信息二：排球垫球成绩在D． 这一组的是：
20，20，21，21，21，22，22，23，24，24
信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：
信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：______；
（2）下列结论正确的是_____；（填序号）
①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；
②掷实心球成绩的中位数记为n，则；
③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．
（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．
26. 如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．

（1）求证：是的切线；
（2）判断形状，并说明理由；
（3）当时，求的长．
27. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：为图形上任意一点，如果点到直线的距离等于图形上任意两点距离的最大值时，那么点称为直线的“伴随点”．
例如：如图1，已知点，，在线段上，则点是直线：轴的“伴随点”．

（1）如图2，已知点，，是线段上一点，直线过，两点，当点是直线的“伴随点”时，求点的坐标；
（2）如图3，轴上方有一等边三角形，轴，顶点在轴上且在上方，，点是上一点，且点是直线：轴的伴随点．当点到轴的距离最小时，求等边三角形的边长；
（3）如图4，以，，为顶点的正方形上始终存在点，使得点是直线：的伴随点．请直接写出的取值范围．
28.
综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．
累计抛掷次数
50
100
200
300
500
1000
2000
3000
5000
盖面朝上次数
28
54
106
158
264
527
1056
1587
2850
盖面朝上频率
分组
人数
2
m
10
9
6
2
学生
学生1
学生2
学生3
学生4
学生5
学生6
排球垫球
26
25
23
22
22
15
掷实心球
▲
7．8
7．8
▲
8．8
9．2