人教版 (2019)5 实验：用单摆测量重力加速度精品一课一练

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知识点01实验原理、实验器材、实验步骤
1．实验原理：由T＝2πeq \r(\f(l,g))知g＝eq \f(4π2l,T2).
2．实验器材：带孔小钢球一个，细线一条(约1 m长)、铁架台、毫米刻度尺、秒表、游标卡尺(也可不用)．
3．实验步骤
(1)做单摆
①让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的结．
②把线的上端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示．
(2)测摆长：用毫米刻度尺量出悬线长l′，精确到毫米；用游标卡尺测量出摆球的直径D，精确到毫米，则l＝l′＋eq \f(D,2)，即为单摆的摆长．
(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个小于5°角度，然后释放摆球，当单摆摆动稳定后，过平衡位置时用秒表开始计时，测量30～50次全振动的时间．计算出平均摆动一次的时间，即为单摆的振动周期T.
(4)变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T.
知识点02 数据处理
1．平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T，代入公式g＝eq \f(4π2l,T2)中求出g值，最后求出g的平均值．
设计如下表所示实验表格
2．图象法：由T＝2πeq \r(\f(l,g))得T2＝eq \f(4π2,g)l作出T2­l图象，即以T2为纵轴，以l为横轴．如图所示，其斜率k＝eq \f(4π2,g)，由图象的斜率即可求出重力加速度g.
知识点03注意事项、误差分析
1．注意事项
(1)摆线要选1 m左右，不要过长或过短，太长测量不方便，太短摆动太快，不易计数．
(2)摆长要悬挂好摆球后再测，不要先测摆长再系小球，因为悬挂摆球后细绳会发生形变．
(3)计算摆长时要将摆线长加上摆球半径，不要把摆线长当作摆长．
(4)摆球要选体积小、密度大的，不要选体积大、密度小的，这样可以减小空气阻力的影响．
(5)摆角要小于5°(具体实验时可以小于15°)，不要过大，因为摆角过大，单摆的振动不再是简谐运动，公式T＝2πeq \r(\f(l,g))就不再适用．
(6)单摆要在竖直平面内摆动，不要使之成为圆锥摆．
(7)要从平衡位置计时，不要从摆球到达最高点时开始计时．
(8)要准确记好摆动次数，不要多记或少记．
2．误差分析
(1)本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定；球、线是否符合要求；振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动以及测量哪段长度作为摆长等等．
(2)本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上．要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多记或漏记振动次数．为了减小偶然误差，进行多次测量后取平均值．
(3)本实验中在长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米即可(即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米)；在时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在秒的十分位即可．
解题大招
大招01用单摆测定重力加速度的5个注意
(1)选择材料时应选择细且不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选密度较大、直径较小的．
(2)线应夹在铁夹的下面，防止因摆动而改变摆线的长度．
(3)注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小．
(4)摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆．方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放．
(5)计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低位置时开始计时，在摆球从同一方向通过最低点时计数，要多测几次(如30次或50次)全振动的时间，用取平均值的办法求周期．
题型分类
题型01用单摆测量重力加速度的实验
【例1】如图（a）所示，某兴趣小组用单摆测量重力加速度。选用的实验器材有：智能手机、小球、细线、铁架台、夹子、游标卡尺、刻度尺等，实验操作如下：
（1）用铁夹将细线上端固定在铁架台上，将小球竖直悬挂；
（2）用刻度尺测出摆线的长度为l，用游标卡尺测出小球直径为d；
（3）将智能手机置于小球平衡位置的正下方，启用APP《手机物理工坊》的“近距秒表”功能；
（4）将小球由平衡位置拉开一个角度（），静止释放，软件同时描绘出小球与手机间距离随时间变化的图像，如图（b）所示。
请回答下列问题：
①根据图（b）可知，单摆的周期 s。
②重力加速度g的表达式为 （用测得的物理量符号表示）；
③改变摆线长度l，重复步骤（2）、（3）、（4）的操作，可以得到多组T和l的值，进一步描绘出如图（c）的图像，若图线的斜率为k，则重力加速度的测量值为 。
【答案】①2 ② ③
【解析】（4）[1]根据单摆的运动规律一个周期内应该有两个小球与手机间距离的最小值。由图（b）可得出，单摆的周期为
[2]根据单摆周期公式
解得重力加速度g的表达式为
[3]由上一问中重力加速度的表达式可得
结合图（c）的图像，可知则该图像以为横坐标。若图线的斜率为k，则
可知重力加速度的测量值为
【变式1-1】在“用单摆测量重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，测得摆球经过n次全振动的总时间为，在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长度为，再用游标卡尺测量摆球的直径为D。
回答下列问题：
（1）该单摆的周期为 。
（2）若用表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝ 。
（3）如果测得的g值偏小，可能的原因是________。
A．测摆长时摆线拉得过紧
B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C．开始计时时，停表过迟按下
D．实验时误将49次全振动记为50次
（4）为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长L并测出相应的周期T，从而得出几组对应的L和T的数值，以L为横坐标、为纵坐标作出图线，但同学们不小心每次都把小球直径当作半径来计算摆长，由此得到的图像是图乙中的 （选填“①”“②”或“③”）。
【答案】（1） （2） （3）B （4）①
【解析】（1）经过n次全振动的总时间为，则单摆的周期为
（2）根据单摆周期公式有
解得
（3）A．测摆长时，摆线拉得过紧，使摆线长度测量值变大，由
可知测得的g值偏大，故A错误；
B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了，则摆线长度测量值比实际的摆长偏小，由
可知测得的g值偏小，故B正确；
C．开始计时时，停表过迟按下，偏小，则周期T偏小，由
可知测得的g值偏大，故C错误；
D．实验时误将49次全振动记为50次，即n值偏大，则周期T偏小，由
可知测得的g值偏大，故D错误。
故选B。
（4）根据题意可知，单摆的实际摆长为
由单摆周期表达式得
化简可得
可知，由此得到的图像是图乙中的①。
【变式1-2】实验小组的同学们用图甲所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验。
（1）用L表示单摆的摆长，用T表示单摆的周期，则重力加速度 。
（2）在这个实验中，应该选用 和 两组材料构成单摆。
A．长约1m的细线 B．长约1m的橡皮绳
C．直径约1cm的铁球 D．直径约1cm的塑料球
（3）王同学多次改变摆长L，测量对应的单摆周期T，用测得的多组实验数据绘制图像，直线的斜率为k，如图乙所示，可求得重力加速度大小 （用含k的式子表示）。
（4）张同学用公式法处理数据后，发现测得的重力加速度数值大于当地的实际值，造成达一情况的原因可能是（ ）
A．计算摆长时直接用摆线长度
B．计算摆长时用摆线长度加上小球直径
C．测量周期时，误将摆球次全振动的时间记为n次全振动的时间
D．测量周期时，误将摆球次全振动的时间记为n次全振动的时间
【答案】（1） （2）A C （3） （4）BC
【解析】（1）用L表示单摆的摆长，用T表示单摆的周期，根据
可得重力加速度为
（2）[1][2]为了保证小球摆动过程，摆长保持不变，应选用长约1m的细线；为了减小空气阻力的影响，应选用直径约1cm的铁球；故应选用A和C两组材料构成单摆。
（3）根据
可得
可知图像的斜率为
可得重力加速度大小为
（4）根据
可得重力加速度为
A．计算摆长时直接用摆线长度，可知摆长测量值偏小，则重力加速度测量值偏小，故A错误；
B．计算摆长时用摆线长度加上小球直径，可知摆长测量值偏大，则重力加速度测量值偏大，故B正确；
C．测量周期时，误将摆球次全振动的时间记为n次全振动的时间，可知周期测量值偏小，则重力加速度测量值偏大，故C正确；
D．测量周期时，误将摆球次全振动的时间记为n次全振动的时间，可知周期测量值偏大，则重力加速度测量值偏小，故D错误。
故选BC。
题型02实验数据处理和误差分析
【例2】在“用单摆测量重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，测得摆球经过次全振动的总时间为，在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长度为，再用游标卡尺测量摆球的直径为。回答下列问题:
（1）为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该标记应该放置在摆球摆动的____________。
A．最高点B．最低点C．任意位置
（2）该单摆的周期为 ，重力加速度 （用题干中字母表示）。
（3）如果测得的值偏小，可能的原因是____________。
A．实验时误将49次全振动记为50次
B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C．开始计时时，停表过迟按下
（4）为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长并测出相应的周期，从而得出几组对应的和的数值，以为横坐标、为纵坐标作出图线，但同学们不小心每次都把小球直径当作半径来计算摆长，由此得到的图像是图乙中的 （选填“①”“②”或“③”）。
【答案】（1）B （2） （3）B （4）①
【解析】（1）为了减小测量周期的误差，应该将小球经过最低点时作为计时开始和终止的位置更好些，实际摆动中最高点的位置会发生变化，且靠近最高点时速度较小，计时误差较大。故选B。
（2）[1]因为摆球经过次全振动的总时间为，则该单摆的周期为
[2]由单摆周期公式
其中
可得，重力加速度的表达式为
（3）根据
可知
A．实验中误将49次全振动次数记为50次，所测周期偏小，则所测重力加速度偏大，故A错误；
B．摆线上端量点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了，故所测重力加速度偏小，故B正确；
C．开始计时时，秒表过迟按下，所测周期偏小，则所测重力加速度偏大，故C错误；
故选B。
（4）由题意可得，单摆的实际摆长为
由单摆周期表达式得
化简可得
由此得到的图像是图乙中的①。
【变式2-1】小王同学在“用单摆测量重力加速度实验”时，用游标卡尺测得小铁球的直径为 cm（如图）。他计算得出的重力加速度比实际测量的重力加速度要大，其原因可能是 。
A．摆球太重 B．摆角太小
C．计时开始时停表按下过迟 D．实验中全振动次数记少了
【答案】 1.75 C
【解析】[1]根据题意，由图可知，游标为10分度，且第5个小格与主尺对齐，则小铁球的直径为
[2]根据题意，由单摆周期公式可得
AB．可知，值的测量与摆球质量和摆角无关，故AB错误；
C．计时开始时停表按下过迟，使记录时间变小，次数不变，测量周期偏小，则值偏大，故C正确；
D．实验中全振动次数记少了，记录时间不变，测量周期偏大，则值偏小，故D错误。
故选C。
【变式2-2】利用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示。已知摆线长度为，小球直径为，实验中测出摆球完成50次全振动的时间为，则下列说法中正确的是（ ）
A．实验中，为便于观测，释放小球时应使摆线与竖直方向夹角大些
B．应从摆球处于最高点开始计时
C．实验测出当地重力加速度为
D．误把51次全振动记为50次全振动会导致的测量值偏小
【答案】D
【解析】A．当摆角不超过5°时单摆的振动才可看做简谐振动，则实验时释放小球时不应使摆线与竖直方向夹角太大，选项A错误；
B．应从摆球处于最低点开始计时，选项B错误；
C．单摆振动的周期
根据
可知实验测出当地重力加速度为
选项C错误；
D．误把51次全振动记为50次全振动，则周期测量值偏大，根据
可知会导致的测量值偏小，选项D正确。
故选D。
题型03测量重力加速度的创新实验方案
【例3】某实验小组利用图装置测量重力加速度。摆线上端固定在点，下端悬挂一小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。
（1）关于本实验，下列说法正确的是 。（多选）
A．小钢球摆动平面应与光电门形平面垂直 B．应在小钢球自然下垂时测量摆线长度
C．小钢球可以换成较轻的橡胶球 D．应无初速度、小摆角释放小钢球
（2）组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度，用螺旋测微器测量小钢球直径。螺旋测微器示数如图，小钢球直径 ，记摆长。
（3）多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长对应的小钢球摆动周期，并作出图像，如图。
根据图线斜率可计算重力加速度 （保留3位有效数字，取9.87）。
（4）若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，得到的重力加速度值将 （填“偏大”“偏小”或“不变”）。
【答案】（1） ABD （2）20.035/20.036/20.034 （3）9.87 （4）不变
【解析】（1）[1]A．使用光电门测量时，光电门形平面与被测物体的运动方向垂直是光电门使用的基本要求，故A正确；
B．测量摆线长度时，要保证绳子处于伸直状态，故B正确；
C．单摆是一个理想化模型，若采用质量较轻的橡胶球，空气阻力对摆球运动的影响较大，故C错误；
D．无初速度、小摆角释放的目的是保持摆球在竖直平面内运动，不形成圆锥摆，且单摆只有在摆角很小的情况下才可视为简谐运动，使用计算单摆的周期，故D正确。
故选ABD。
（2）[2]小钢球直径为
（3）[3]单摆周期公式
整理得
由图像知图线的斜率
解得
（4）[4]若将摆线长度误认为摆长，有
则得到的图线为
仍用上述图像法处理数据，图线斜率不变，仍为，故得到的重力加速度值不变。
【变式3-1】某同学做“用单摆测重力加速度”的实验，实验装置如图甲所示，在摆球的平衡位置处安放一个光电门，连接数字计时器，记录小球经过光电门的次数。
（1）下列说法中正确的是
A．测出摆球做一次全振动的时间作为周期的测量值
B．质量相同的铁球和软木球，应选用铁球作为摆球
C．可将摆球从平衡位置拉开一个任意角度然后释放摆球
D．可以选择有弹性的细绳作为摆线
（2）在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺测得从悬点至摆球顶端的长度为L，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图乙所示，则摆球直径d= cm；
（3）将摆球从平衡位置拉开一个合适的角度，静止释放摆球，摆球在竖直平面内稳定摆动后，启动数字计时器，摆球通过平衡位置时从1开始计数，同时开始计时，当摆球第n次（为大于3的奇数）通过光电门时停止计时，记录的时间为t，此单摆的周期T= （用t、n表示），重力加速度的大小为 （用L、d和T表示）；
（4）实验中该同学测得的重力加速度值经查证明显大于当地的重力加速度值，下列原因可能的是 。
A．摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，使摆线长度增加了
B．计算时用作为单摆的摆长
C．摆球的振幅偏小
D．把n当作单摆全振动的次数
【答案】（1）B （2） 1.07 （3） （4） BD/DB
【解析】（1）[1]A．为了减小实验误差应测多次全振动的时间，再求出一次全振动的时间作为周期，根据公式计算重力加速度会增大实验误差，故A错误；
B．为减小实验误差，提高测量精度，相同质量下应选择体积小的铁球做为摆球，故B正确；
C．单摆在摆角小于5°时的振动才是简谐振动，因此单摆的摆角不能过大，故C错误；
D．根据单摆的周期公式
可知，单摆的周期跟摆线与摆球半径之和有关，若使用弹性绳，在摆球下降或是上升的过程中，式中的会不断发生变化，从而导致重力加速度测量不准确，故D错误。
故选B。
（2）[2]该游标游标卡尺的游标尺为10分度值，因此最小精度为0.1mm，则读数可得
（3）[3][4]由题意可知在时间内摆球全振动的次数为，则可得小球做简谐振动的周期为
由单摆的周期公式
其中
可得
（4）[5]A．摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，使摆线长度增加了，则实际所测摆线长度偏小，所测重力加速度将偏小，故A不符合题意；
B．若计算重力加速度时用作为单摆的摆长，则摆长比实际偏大，因此计算的得到的重力加速度值比实际偏大，故B符合题意；
C．摆球的振幅偏小不影响重力加速度的测量，故C不符合题意；
D．若把n当作单摆全振动的次数，则会导致测量周期偏小，从而导致所测重力加速度偏大，故D符合题意。
故选BD。
【变式3-2】某同学利用如图甲所示装置测量重力加速度g。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，另端连接一小钢球，如图甲所示。拉起小钢球至某一位置由静止释放，使小钢球在竖直平面内摆动记录钢球摆动过程中拉力传感器示数的最大值和最小值。改变小钢球的初始释放位置，重复上述过程。根据测量数据在直角坐标系中绘制的图像是一条直线，如图乙所示：
（1）拉力传感器示数的最大值、最小值、小球质量m以及重力加速度g的关系为 。
（2）若小球质量，由图乙可得重力加速度g的数值为 （结果保留三位有效数字）。
（3）由图乙可得图像直线的斜率与理论值之差的绝对值为 （结果保留一位小数），导致该差值的主要因素为 。
【答案】（1） （2）9.83 （3）0.1 小钢球摆动过程中有空气阻力
【解析】（1）小钢球由静止释放时，细线与竖直方向夹角为，细线拉力最小，此时
小球由静止运动到最低点的过程，根据动能定理有
小球运动到最低点时细线拉力最大，则
联立可得
（2）由图乙得直线的纵截距为
解得重力加速度
（3）[1]由图乙得直线的斜率为
该斜率的理论值为，两者的差值为，绝对值为。
[2]导致该差值的主要因素为小钢球摆动过程中有空气阻力。
分层训练
【基础过关】
1．在“用单摆测定重力加速度”的实验中，下列所给器材中，哪个组合较好（ ）
①长1m左右的细线②长30cm左右的细线③直径2cm的塑料球④直径2cm的铁球⑤秒表⑥时钟⑦最小刻度线是厘米的直尺 ⑧最小刻度是毫米的直尺
A．①③⑤⑦B．①④⑤⑧C．②④⑥⑦D．②③⑤⑦
【答案】B
【详解】单摆模型中，小球视为质点，故摆线长点，测量误差越小，故要选择长1m左右的细线①；
摆球密度要大，体积要小，空气阻力的影响才小，故要选择直径2cm的铁球④；
秒表可以控制开始计时和结束计时的时刻，比时钟的效果要好。故选择秒表⑤；
刻度尺的最小分度越小，读数越精确，故要选择最小刻度是毫米的直尺⑧。
故选B。
2．小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内，通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度，可行的是（ ）
A．用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力
B．测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期
C．从高处释放一个重物、测量其下落高度和时间
D．测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径
【答案】D
【详解】在天宫实验室内，物体处于完全失重状态，重力提供了物体绕地球匀速圆周运动的向心力，故ABC中的实验均无法得到天宫实验室轨道处的重力加速度。由重力提供绕地球做匀速圆周运动的向心力得
整理得轨道重力加速度为
故通过测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径可行，D正确。
故选D。
3．用单摆测定重力加速度，根据的原理是（ ）
A．由g=看出，T一定时，g与l成正比
B．由g=看出，l一定时，g与T2成反比
C．由于单摆的振动周期T和摆长l可用实验测定，利用g=可算出当地的重力加速度
D．同一地区单摆的周期不变，不同地区的重力加速度与周期的平方成反比
【答案】C
【详解】ABD．在同一地点，重力加速度g定值，可见g是由所处的地理位置的情况来决定的，与l及T无关， ABD错误；
C．根据单摆周期公式
变形得
由于单摆的振动周期T和摆长l可用实验测定，利用可算出当地的重力加速度g，故C正确；
故选C。
4．在用单摆测定当地重力加速度的实验中，下列器材和操作最合理的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】根据单摆理想模型可知，为减少空气阻力的影响，摆球应采用密度较大，体积较小的铁球，为使摆球摆动时摆长不变化，摆线应用不易形变的细丝线，悬点应用铁夹来固定。
故选D。
5．如图所示，在用单摆测量重力加速度实验组装单摆时，摆线上端的悬点处用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，这样做的目的是（ ）
A．确保摆动时摆长不变B．便于测量单摆的摆长
C．使周期测量更加准确D．确保摆球在竖直平面内摆动
【答案】A
【详解】A．铁架台的铁夹将橡皮夹紧，实验中防止摆线的长度改变，故A正确；
B．测量单摆的摆长与橡皮夹无关，故B错误；
C．周期测量是否更加准确主要取决于计时仪器，故C错误；
D．摆球在同一竖直平面内摆动，而不是做圆锥摆运动，与实验仪器无关，故D错误。
故选A。
6．甲、乙两位同学在同一实验室做沙摆实验，以相同速度拉动纸板，在相同长度的纸板上得到的痕迹图象，如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．沙摆质量的变化对周期的影响较小，可以忽略不计
B．甲、乙两个沙摆的周期之比为7：4
C．甲、乙两个沙摆的等效摆长之比为16：49
D．在误差范围内，甲、乙两同学测得的重力加速度的数值相同
【答案】C
【详解】A．根据公式知，单摆的周期与摆球的质量无关，所以沙摆质量的变化对周期的影响可以忽略不计，故A正确，不符合题意；
B．由图知
得
故B正确，不符合题意；
C．根据得
故C错误，符合题意；
D．同一地点的重力加速度是相同的，根据单摆周期公式测量的重力加速度在误差允许范围内是相等的，故D正确，不符合题意。
故选C。
7．在“用单摆测重力加速度大小”的实验中，小王同学作出周期T2与摆线长L的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．实验所用摆球半径为bB．实验所用摆球直径为a
C．当地的重力加速度大小为D．当地的重力加速度大小为
【答案】D
【详解】设摆球半径为，根据单摆周期公式可得
可得
根据图像可得
，
解得当地的重力加速度大小为
实验所用摆球半径为
则实验所用摆球直径为
故选D。
8．在“用单摆测重力加速度”的实验中，小华根据测量数据作出的L-T2图线如图所示，则当地的重力加速度大小为（ ）
A．9.86m/s2B．9.91m/s2
C．9.95m/s2D．10.0m/s2
【答案】A
【详解】由公式
可得
故L-T2图线的斜率为
又
解得当地的重力加速度大小为
BCD错误，A正确。
故选A。
9．学生通过学习知道北京的重力加速度约为，赤道上的重力加速度约为，学生想到利用自由落体运动相关知识测量达州的重力加速度，一频闪照相机的频闪周期为，如图所示为学生用该照相机拍得的一张小钢珠自由下落过程中的频闪照片（已旋转为水平放置），现已在刻度尺上标出小钢珠影像在不同时刻所在的位置，根据该学生的实验数据可知（所有数据保留2为小数）（ ）
A．达州的重力加速度约为
B．达州的重力加速度约为
C．照相机拍摄左边第一个小钢珠影像时，小钢珠的速度为零
D．理论上讲，连续曝光时间内相邻位移差值与频闪周期成正比
【答案】A
【详解】AB．根据逐差法
可得
故A正确，B错误；
C．由图可知
所以照相机拍摄左边第一个小钢珠影像时，小钢珠的速度不为零，故C错误；
D．小钢珠做匀加速直线运动，理论上满足
所以连续曝光时间内相邻位移差值与频闪周期平方成正比，故D错误。
故选A。
10．有两位同学利用假期分别参观了位于哈尔滨市的“哈尔滨工业大学”和上海市的“复旦大学”，他们各自利用那里实验室中的DIS系统探究了单摆周期T和摆长L的关系。然后通过微信交流实验数据，并用计算机绘制了如图甲所示的图像。另外，去“复旦大学”做研究的同学还利用计算机绘制了他实验用的a、b两个摆球的振动图像，如图乙所示。下列说法正确的是：（ ）
A．甲图中“复旦大学”的同学所测得的实验结果对应的图线是B
B．甲图中图线的斜率表示对应所在位置的重力加速度的倒数
C．由乙图可知，a、b两摆球振动频率之比为3∶2
D．由乙图可知，时b球振动方向沿y轴正方向
【答案】C
【详解】AB．根据
得
知图线的斜率
图线B的斜率较小，则图线B对应的重力加速度较大，可知甲图中“哈尔滨工业大学”的同学所测得的实验结果对应的图象是B，故AB错误；
C．周期等于完成一次全振动的时间，由乙图可知，a、b两单摆的周期之比为2：3，振动频率之比为3∶2，故C正确；
D．由乙图可知，t=1s时，b球处于平衡位置向-y方向运动，故D错误。
故选C。
11．（多选）某同学用单摆测当地的重力加速度。他测出了摆线的长度l和摆动周期T，获得多组T与l的数据，再以T2为纵轴、l为横轴画出函数关系图像，如图所示。已知图线与纵轴的截距为a，图线斜率为k，下列说法正确的是（ ）
A．若摆球质量分布均匀，摆球半径为
B．若摆球质量分布均匀，摆球直径为
C．测得当地的重力加速度大小为
D．由于摆线长度小于摆长，因此测得的重力加速度值偏小
【答案】AC
【详解】T2与L的图象，应为过原点的直线，但图中没有过原点，且实验中该学生在测量摆长时，只量了悬线的长度l当作摆长，而没有加上摆球的半径r，由单摆周期公式可得
整理可得
由题可知
，
解得
，
则摆球直径为
此实验中误将摆线长当成摆长进行测量和绘制图线，但图线的斜率不变，所测重力加速度不变。
故选AC。
12．（多选）根据单摆周期公式，可以设计实验测量当地的重力加速度。如图所示，将细线的上端固定在铁架台的铁架上，下端系一小球，就做成了单摆，关于该实验，下列说法正确的是（ ）
A．摆球可选择质量较大、体积较小的钢球
B．为方便改变摆长，可将摆线的一头绕在铁架台上的圆杆上以代替铁夹
C．实验过程中要确保摆球在同一竖直平面内摆动
D．若测出摆球连续通过最低点100次的时间为，则单摆的周期为
E．若用悬线的长度加上摆球的直径作为摆长代入单摆周期公式进行运算，且其它操作和计算均正确，则得到的实验结果比当地重力加速度的实际值要大一些。
【答案】ACE
【详解】A．该实验中，为了减小阻力的影响，要选择体积较小，密度较大的小球，A正确；
B．若绕在圆杆上，在线摆动中摆长会发生变化，从而产生错误，B错误；
C．根据单摆的性质可知，实验过程中要确保摆球在同一竖直平面内摆动，C正确；
D．摆球在一个周期内两次经过平衡位置，测出摆球连续通过最低点100次的时间为，则单摆的周期为T=Δt50，D错误；
E．若用悬线的长度加上摆球的直径作为摆长代入单摆周期公式进行运算，且其它操作和计算均正确，由于所用的摆长大于实际摆长，则得到的实验结果比当地重力加速度的实际值要大一些，E正确；
故选ACE。
13．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．如图甲所示，在“探究平抛运动的特点”实验中，在安装实验装置时，斜槽末端必须切线水平
B．如图乙所示，在“验证机械能守恒定律”的实验中，可以用重力加速度计算重锤在某时刻的速度
C．如图丙所示，在“用传感器观察电容器的充放电过程”实验中，单刀双掷开关S先跟1相接对电容器充电，待稳定后将单刀双掷开关S接2，电容器放电，实验中只减小电阻R的阻值，其余操作不变，则电容器的放电量将增大
D．如图丁所示，在“用单摆测定重力加速度的大小”实验中，测量摆球振动周期时选取最低点作为计时的起、终点位置，测量结果更加准确
【答案】AD
【详解】A．为了保证小球能做平抛运动，在安装实验装置时，斜槽末端必须切线水平，故A正确；
B．在“验证机械能守恒定律”的实验中，应当使用纸带数据计算某时刻速度，不可以用重力加速度计算重锤在某时刻的速度，否则相当于默认机械能守恒，失去验证的意义，故B错误；
C．根据可知电容器充电后，电容器所带的电荷量为定值，实验中只减小电阻R的阻值，其余操作不变，则电容器的放电量不变，故C错误；
D．在“用单摆测定重力加速度的大小”实验中，测量摆球振动周期时选取最低点作为计时的起、终点位置，测量结果更加准确，故D正确。
故选AD。
14．用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示：
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用______（选填选项前的字母）。
A．长度为1m左右的细线B．长度为10cm左右的橡皮绳
C．直径为1.5cm左右的塑料球D．直径为1.5cm左右的铁球
(2)选择好器材，将符合实验要求的单摆挂在铁架台上，应采用图 （选填“乙”或“丙”）所示的固定方式。
(3)下列测量单摆振动周期的方法正确的是_______。
A．把摆球从平衡位置拉开到某一位置，然后由静止释放摆球，在释放摆球的同时启动停表开始计时，当摆球再次回到原来位置时，按停停表停止计时
B．以单摆在最大位移处为计时基准位置，用停表测出摆球第次回到基准位置的时间，则
C．以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置，记数一次，用停表记录摆球次经过最低位置的时间，则
D．以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过摆球的最低位置记数一次，用停表记录摆球从同一方向次经过摆球的最低位置时的时间，则
【答案】(1)AD
(2)丙
(3)D
【详解】（1）AB．为减小实验误差，且使摆动为简谐运动，需要保持摆线的长度不变，应选择1m左右的细线，故A正确，B错误；
CD．为减小空气阻力影响，摆球应选密度大的铁球，故D正确，C错误。
故选AD。
（2）为了保证摆长不变，采用图丙所示的固定方式。
（3）AB．在测量周期时，应在摆球经过最低点开始计时，测量多次全振动的时间计算周期，故AB错误；
C．以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置，记数一次，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则
T＝
故C错误；
D．以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过摆球的最低位置记数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过摆球的最低位置时的时间t，则
T＝
故D正确。
故选D。
15．某同学利用单摆测量当地的重力加速度。
(1)实验室已经提供的器材有：铁架台、夹子、停表、游标卡尺。除此之外，还需要的器材有______。
A．长度约为1m的细线
B．长度约为30cm的细线
C．直径约为2cm的钢球
D．直径约为2cm的木球
E．最小刻度为1cm的直尺
F．最小刻度为1mm的直尺
(2)为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标计时开始计时，该标记应该放置在摆球摆动的________。
A．最高点B．最低点C．任意位置
(3)用停表测量单摆的周期．当单摆摆动稳定且到达计时标计时开始计时并记为n=1，单摆每经过标记记一次数，当数到n=60时停表的示数如图甲所示，该单摆的周期是T= s。（结果保留三位有效数字）
(4)用最小刻度为1mm的刻度尺测摆线长，测量情况如图乙所示。O为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆线长为99.00cm；用游标卡尺测量摆球的直径如图丙所示，则摆球的直径为 cm；单摆的摆长为 m。（第2空保留3位有效数字）
(5)若用L表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g= 。
【答案】(1)ACF
(2)B
(3)2.28
(4) 2.075 1.00
(5)
【详解】（1）AB．为了减小误差，摆线应选择尽量长些的，故A正确，B错误；
CD．为了减小空气阻力对实验的影响，摆球应选择密度较大的钢球，故C正确，D错误；
EF．实验中需要测量细线的长度，为了能够更加精确，应选择最小刻度为1mm的直尺，故E错误，F正确。
故选ACF。
（2）当摆球运动至最低点时速度最大，以此作为计时标记位置对时间的测量相对误差最小。
故选B。
（3）秒表读数为
该单摆的周期为
（4）[1][2]摆球的直径为
摆线长为
所以单摆的摆长为
（5）根据单摆周期公式
可得
【能力提升】
1．如图所示为单摆测量重力加速度实验所测出的T2-l图像，图线未经过坐标原点的原因是（ ）

A．每次都将n个周期的时间记成（n+1）个周期的时间
B．每次测摆长时，都将摆线长当成了摆长
C．每次实验时，摆球的振幅都不同
D．每次实验时，摆球的质量都不同
【答案】B
【详解】A．若每次都将n个周期的时间记成（n+1）个周期的时间，则周期的测量值偏小，应该是图线2，不是图线1，A错误；

B．根据单摆的周期公式
T=2π
得
T2
由图乙l等于零时，周期大于零，说明摆长l的测量值偏小，可能是没有计入摆球的半径，将摆线长当成了摆长，B正确；
CD．根据单摆的周期公式，单摆的周期与振幅和摆球的质量均无关，CD错误。
故选B。
2．在“用单摆测定重力加速度”的实验中，用力传感器测得摆线的拉力大小F随时间t变化的图像如图所示，已知单摆的摆长为l，则重力加速度g为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】小球在竖直平面内做单摆运动，在最低点绳子的拉力和重力的合力提供向心力，此时拉力最大，半个周期后再次最大，所以此时开始计时，第二次拉力最大时对应的时间即为一个周期，根据图像可知：单摆的周期为
根据周期公式得
所以
故选D。
3．乙同学也进行了与甲同学同样的实验，但实验后他发现测量摆长时忘了加上摆球的半径，则该同学作出的图像为（ ）

A．虚线①，不平行实线OM
B．虚线②，平行实线OM
C．虚线③，平行实线OM
D．虚线④，不平行实线OM
【答案】B
【详解】根据单摆的周期公式
得
测量摆长时忘了加上摆球的半径，单摆的摆长L偏小，两图象的斜率相等，两图象应平行，且相同的T值时L偏小，则图象在轴上有截距。
故选B。
4．某学习小组的同学在实验室用图甲所示的装置研究单摆的运动。将单摆挂在力传感器的下端，通过力传感器测得单摆摆动过程中摆线受到拉力大小的变化情况如图乙。已知摆球的质量为m，则当地的重力加速度为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】设单摆长度为，最大摆角为，设最低点速度为，从最高点到最低点过程中由动能定理得
解得
①
最高点
②
最低点
③
联立①②③得
故选B。
5．某同学在“用单摆测重力加速度”的实验中，由于没有游标卡尺，无法测小球的直径d，实验中将悬点到小球最高点的距离l作为摆长，测得多组周期T和l的数据，作出图象，由此可知（ ）
A．该同学做出的图线应为图中c所示
B．由所作图线可知小球直径为0.6cm
C．采用本实验所测数据T和l，亦可用公式计算当地重力加速度
D．由所作图线可知当地重力加速度大小约为
【答案】D
【详解】由单摆周期公式
解得
A．根据关系可知图象与纵坐标的截距为负值，该同学做出的图线应为图中a所示，故A错误；
B．因截距为
解得小球的直径为
d=1.2cm
故B错误；
C．原因是悬点到小球最高点的距离，所以不能采用本实验所测数据T和，根据公式计算当地重力加速度，故C错误；
D．由数学关系得图象的斜率为
解得重力加速度为
g=π2m/s2
故D正确。
故选D。
6．在用单摆测重力加速度的实验中，同学们改变摆长L，多次测量，用多组实验数据作出T2－L图像，利用图像求出当地重力加速度g。4个组同学做的图像分别如图中的a、b、c、d所示，其中a和c、d平行，b和c都过原点，图线c对应的g值最接近当地重力加速度的值。则下列分析正确的是（ ）
A．若不测量摆球直径，则无法利用图线求出重力加速度g
B．出现图线b的原因是误将N次全振动记作N-1次全振动
C．出现图线d的原因是测摆长时直接将摆线的长度作为摆长L
D．出现图线a的原因是将摆线的长度加上摆球的直径作为摆长L
【答案】B
【详解】A．根据
解得
若不测量摆球直径，仍可根据图像的斜率求出重力加速度g，选项A错误；
B．若误将N次全振动记作N-1次全振动，则周期测量值偏大，即与c比较，相同的L值时T值偏大，即会出现图线b，选项B正确；
C．出现图线d的原因是测摆长时将摆线长与摆球的直径之和作为摆长L，选项C错误；
D．出现图线a的原因是直接将摆线的长度作为摆长，忘记加了小球的半径，选项D错误。
故选B。
7．图所示，一根质量不计的细线和一根很轻的硬杆连接一个小球组成“杆线摆”，小球可以绕着固定轴来回摆动。摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，这相当于单摆在光滑斜面上来回摆动，轻杆长为L，摆角很小时，“杆线摆”的周期为T，则用该装置测量重力加速度的表达式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据题图可知等效重力加速度
“杆线摆”的周期为
解得重力加速度
故选A。
8．同学们在用单摆测定重力加速度的实验中，测量多组摆长和对应的周期，通过图像处理数据得到的数值。关于该实验同学们提出下列四个说法：
①若有两个大小相等的带孔的铜球和木球供选择，应选木球作摆球；
②图甲与乙中所示摆线的上端系挂的方式中应选择图乙；
③开始实验时将摆球拉开偏离最低点越远释放越好；
④若每次测量摆长时均未计入小球半径，会导致g测量值偏小。
对以上说法的科学判断是（ ）
A．只有一个说法正确B．只有两个说法正确
C．只有一个说法错误D．四个说法都不正确
【答案】D
【详解】①如果有两个大小相等且都带孔的铜球和木球，应选用铜球作摆球，以减小空气阻力的影响，故①说法错误；
②摆线的悬点要固定，故应采用图甲所示的固定方式，故②说法错误；
③把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动，故③说法错误；
④设小球的摆长为，小球半径为，根据单摆周期公式有
整理得
图像斜率为
测量摆长时未计入小球半径有
整理得
图像斜率为
可知测量摆长时未计入小球半径，图像斜率不变，测量值不变，故④说法错误。
故选D。
9．甲、乙两位同学利用假期分别在两个地方做“用单摆测重力加速度”的实验，回来后共同绘制了T2－L图象，如图甲中A、B所示，此外甲同学还顺便利用其实验的单摆探究了受迫振动，并绘制了单摆的共振曲线，如图乙所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．单摆的固有周期由摆长和所处环境的重力加速度共同决定
B．由图甲分析可知，A图线所对应的实验地点重力加速度较大
C．若将单摆放入绕地稳定飞行的宇宙飞船中，同样可以利用单摆测出飞船轨道处的引力加速度
D．由图乙可知，甲同学探究受迫振动的单摆摆长为8 cm
【答案】A
【详解】A．单摆的固有周期公式为，L为摆长，g为当地重力加速度，故A正确；
B．根据得
所以T2－L图象的斜率
图甲中A图线的斜率大于B图线的斜率，故A图线对应的重力加速度较小，故B错误；
C．若将单摆放入绕地稳定飞行的宇宙飞船中，摆球处于完全失重状态，不能在竖直平面内来回摆动，故C错误；
D．由图乙可知，当驱动力的频率为0.5 Hz时，摆球发生共振，故系统的固有频率为0.5 Hz，固有周期
根据 ，解得摆长L≈1 m，故D错误。
故选A。
10．长郡中学物理学习小组欲用单摆测量当地的重力加速度。如图（a）所示，把轻质细线一端固定在天花板上，另一端连接一小钢球，自然悬垂时，测量球心到地面高度h，然后让钢球做小幅度摆动，测量n=50次全振动所用时间t。改变钢球高度，测量多组h与t的值。在坐标纸上描点连线作图，画出图如图（b）所示。取3.14。则（ ）
A．根据图像可求得当地重力加速度约为9.78m/s2
B．根据图像可求得当地重力加速度约为9.80m/s2
C．根据图像可求得天花板到地面的高度为4.0m
D．根据图像可求得天花板到地面的高度为3.5m
【答案】C
【详解】AB．根据单摆周期公式
摆长为
单摆周期为
联立可得
图像的斜率为
解得当地重力加速度约为
故AB错误；
CD．图像的纵截距为
解得天花板到地面的高度为
故C正确，D错误。
故选C。
11．（多选）下列四个实验中体现控制变量法的实验（ ）

A．图1中的“探究加速度与力、质量的关系”实验
B．图2中的“探究求合力方法”实验
C．图3中的“探究向心力大小与质量、角速度、半径的关系”实验
D．图4中的“用单摆测测量重力加速度”实验
【答案】AC
【详解】A．探究加速度与力、质量的关系实验中需要控制力或质量不变，研究另一个量与加速度的关系，故该实验采用的是控制变量法，A正确；
B．探究求合力方法实验采用的是等效法，即合力与分力的效果相同来进行验证的，B错误；
C．探究向心力大小与质量、角速度、半径的关系的实验时，需要控制质量、角速度或半径中的两个物理量，研究另一个物理量与向心力的关系，故该实验采用的是控制变量法，C正确；
D．用单摆测量重力加速度采用的模型法，故D错误。
故选AC。
12．（多选）用单摆测量重力加速度时，某同学测得的数值大于当地重力加速度的真实值，可能的原因是（ ）
A．将摆球和摆线平放在桌面上，用米尺测出摆球球心到摆线上某点O的长度作为摆长，然后将摆线上的O点作为悬点
B．用游标卡尺测量摆球的直径为d，用米尺测量从悬点到摆球顶端的高度差为L，把计为摆长
C．释放摆球后，摆球不在同一竖直平面内运动，而做圆锥摆运动
D．拉开摆球，从最大摆角约为处释放，之后立即测量摆球发生30次全振动所用的时间t
E．拉开摆球，从最大摆角约为处释放，摆动稳定后，当摆球通过平衡位置时启动秒表并数下“1”，直到第30次通过平衡位置时制动秒表，读出经历时间t，用计算周期
【答案】BCE
【详解】A．根据单摆周期公式
可得
将摆球和摆线平放在桌面上，用米尺测出摆球球心到摆线上某点O的长度作为摆长，然后将摆线上的O点作为悬点，悬挂后实际的摆长大于平放时测出的摆长，故此时摆长偏小，测出的重力加速度偏小，A错误；
B．应将悬点到球心的距离作为摆长，把计为摆长，摆长偏大，故测出的重力加速度偏大，B正确；
C．设做圆锥摆时摆线与竖直方向夹角为，故此时圆锥摆的周期为
即此时测得的周期偏小，故测出的重力加速度偏大，C正确；
D．从最大摆角约为处释放，此时摆角过大，运动过程中受到的阻力大，周期变大，故测出的重力加速度偏小，D错误；
E．当摆球通过平衡位置时启动秒表并数下“1”，直到第30次通过平衡位置时制动秒表，实际经过的时间为14.5个周期，用计算周期时，周期偏小，故测出的重力加速度偏大，E正确。
故选BCE。
13．（多选）科技文化节中，“果壳”社团做了如下一个沙摆实验。如图甲所示，薄木板被沿箭头方向水平拉出的过程中，漏斗漏出的沙在板上形成的一段曲线如图乙所示，当沙摆摆动经过最低点时开始计时（记为第1次），当它第20次经过最低点时测得所需的时间为19s（忽略摆长的变化），取当地重力加速度g=10m/s2，下列说法中正确的是（ ）
A．随着沙子不断漏出，沙摆摆动的频率将会增加
B．该沙摆的摆长约为1m
C．由图乙可知薄木板做的是匀加速运动，且加速度大小约为7.5×10-3m/s2
D．当图乙中的C点通过沙摆正下方时，薄木板的速率约为0.126m/s
【答案】BD
【详解】A．沙摆摆动的周期、频率与质量无关，A错误；
B．由
得
由单摆周期公式可得
故B正确；
C．由图乙中数据可知，木板在连续且相等的时间段内的位移差恒定，约为，由匀变速直线运动的规律可知木板做匀加速运动，加速度大小为
C错误；
D．匀变速直线运动在一段时间间隔的中间时刻的瞬时速度，等于这段时间内的平均速度，有
故D正确。
故选BD。
14．某小组同学用如图1所示装置完成“用单摆测量重力加速度大小”的实验。
(1)制作单摆时，应该选择的悬挂方式是图2中的 （选填“甲”或“乙”）。
(2)让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，测量摆长，根据图3所示，可测得摆长 。
(3)该小组同学测出单摆的摆长及完成次全振动所用的时间，可以推导出重力加速度 （用、、表示）。
(4)该小组同学多次调整摆长，并分别记录相应单摆完成30次全振动所用时间，处理数据绘出图像，如图4所示。可以计算出当地的重力加速度 （计算结果保留三位有效数字）。
(5)若已测得当地的重力加速度。将一个摆长为的单摆，从平衡位置拉开很小的角度后静止释放，未测量其周期。忽略空气阻力，以平衡位置作为计时起点，则此摆球偏离平衡位置的位移与时间的关系式为 。
【答案】(1)乙
(2)97.50
(3)
(4)9.86
(5)
【详解】（1）制作单摆时，为了保证摆动过程，摆长保持不变，应该选择的悬挂方式是图中的乙。
（2）图中刻度尺的分度值为0.1cm，由图可知，摆长为97.50cm。
（3）根据单摆周期公式
又
联立可得重力加速度为
（4）根据
整理可得
可知图像的斜率为
可知当地的重力加速度为
（5）单摆的周期为
从平衡位置拉开很小的角度后静止释放，则振幅为
以平衡位置作为计时起点，则此摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系式为
联立可得
15．在学习了单摆相关知识后，某同学使用智能手机中的光传感器来测量当地的重力加速度。
实验操作步骤如下：
①将细绳一端固定在O点，另一端系上小钢球，用刻度尺测量出细绳的长度L；
②按照图（a），使手机的光感元件位于小钢球的正下方，再打开手机中测量亮度的应用软件；
③让摆球在竖直平面内小角度摆动，光感元件会采集到一个亮度的最小值，采集到亮度随时间变化的图像如图（b）所示。
(1)根据图（b），单摆的周期 s（保留两位有效数字）。
(2)该同学忘记测量小球的直径，若将细绳长度L当作摆长带入公式计算所得的重力加速的值比真实值偏 （填“大”或“小”）。
(3)为准确测得当地重力加速度，该同学多次改变细绳长度L，并测得对应的小角度单摆的周期T，以为纵坐标，L为横坐标，他作出的图线应该是图（c）中的 （填“①”“②”或“③”）。
【答案】(1)2.0
(2)小
(3)①
【详解】（1）小球连续两次通过最低点的时间间隔是半个周期，单摆的周期为
（2）由，可得
若将细绳长度L当作摆长带入公式计算所得的重力加速的值比真实值偏小。
（3）由，可得
作出的图线应该是图（c）中的①。
实验次数
摆长l(m)
周期T(s)
加速度g(m/s2)
g平均值
1
g＝eq \f(g1＋g2＋g3,3)
2
3