必修 第一册1.1 集合的概念练习

这是一份必修 第一册1.1 集合的概念练习，共20页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc170807521" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc170807521 \h 2
\l "_Tc170807522" 题型一：集合的含义 PAGEREF _Tc170807522 \h 2
\l "_Tc170807523" 题型二：元素与集合的关系的判断 PAGEREF _Tc170807523 \h 3
\l "_Tc170807524" 题型三：根据元素与集合的关系求参数 PAGEREF _Tc170807524 \h 4
\l "_Tc170807525" 题型四：集合中元素的特性及应用 PAGEREF _Tc170807525 \h 5
\l "_Tc170807526" 题型五：用列举法表示集合 PAGEREF _Tc170807526 \h 6
\l "_Tc170807527" 题型六：用描述法表示集合 PAGEREF _Tc170807527 \h 7
\l "_Tc170807528" 题型七：集合表示法的综合应用 PAGEREF _Tc170807528 \h 8
\l "_Tc170807529" 题型八：方程与集合的综合应用 PAGEREF _Tc170807529 \h 10
\l "_Tc170807530" 题型九：集合新定义运算 PAGEREF _Tc170807530 \h 12
\l "_Tc170807531" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc170807531 \h 13
\l "_Tc170807532" 【高考真题】 PAGEREF _Tc170807532 \h 18
【题型归纳】
题型一：集合的含义
1．（2024·高一·广东深圳·阶段练习）给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】①集合中的元素不能相同，所以在一个集合中不可以找到两个相同的元素，因此本序号说法不正确；
②因为好听的歌标准不确定，
所以好听的歌不能组成一个集合，因此本序号的说法不正确；
③因为高一（1）班所有姓氏是确定的，
所以可以构成一个集合，因此本序号的说法是正确的；
④根据集合元素的无序性，由这三个数组成的集合只有一个，因此本序号说法不正确，
因此正确的个数为1，
故选：B
2．（2024·高一·山西吕梁·期中）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．上课迟到的学生B．2023年高考数学难题
C．所有有理数D．小于的正整数
【答案】B
【解析】根据集合中元素的确定性可知，
“2023年高考数学难题”中的“难题”没有评判标准，不具备确定性，因此不能构成集合.
故选：B
3．（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）下列各组对象可以组成集合的是（ ）
A．数学必修第一册课本中所有的难题
B．小于8的所有质数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点
D．周长为10 cm的三角形
【答案】BD
【解析】对于A，“难题”的标准不确定，因而不能构成集合，所以A错误，
对于B，小于8的所有质数能构成集合，所以B正确，
对于C，“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合，所以C错误，
对于D，周长为10 cm的三角形具有确定性，能构成集合，所以D正确，
故选：BD
4．（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）考察下列每组对象，能构成集合的是（ ）
A．中国各地的美丽的乡村
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．不小于的自然数
D．我省参加高考的学生
【答案】BCD
【解析】对于A，“美丽的”标准不明确，不符合确定性，无法构成集合，A错误；
对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点具有确定性，可以构成集合，B正确；
对于C，不小于的自然数具有确定性，可以构成集合，C正确；
对于D，我省参加高考的学生具有确定性，可以构成集合，D正确.
故选：BCD.
题型二：元素与集合的关系的判断
5．（多选题）（2024·高一·浙江台州·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A，因为不是自然数，所以A错误；对于B，因为0不是正整数，所以B正确；
对于C，因为不是有理数，所以C正确；对于D，因为不是有理数，所以D正确.
故选：BCD.
6．（多选题）（2024·高一·江西·阶段练习）已知集合，，，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】因为，可设，，，
选项A，，
则，故A正确；
所以，
则，故B正确；
所以，其中，
则，故C错误；
所以，其中，
则，故D正确.
故选：ABD.
7．（多选题）（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知集合，集合，下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】点在函数图像上，有，A选项正确；
集合A为数集，集合B为点集，，B选项错误；
函数的值域为，则，，C选项正确；
集合B为点集，，D选项错误.
故选：AC.
题型三：根据元素与集合的关系求参数
8．（2024·高一·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，：
(1)求实数，应满足的条件；
(2)若，求实数的值.
【解析】（1）据集合中元素的互异性，可知，
即且且且且；
（2）若，则或，解得：或或，
若，则，满足题意；
若，则，满足题意；
若，则，满足题意；
故或或.
9．（2024·高一·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．或1C．3D．
【答案】D
【解析】因，，故有：或，
由解得：或，由解得：，
又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意.
故选：D.
10．（2024·高一·北京东城·期中）已知集合，若，则（ ）．
A．1或B．1C．D．或0
【答案】C
【解析】由于，若，则，不合题意；
所以，解得，
故选：C
11．（2024·高一·山西·期中）已知是由0，，这三个元素组成的集合，且，则实数为（ ）
A．2B．3C．0或3D．0，2，3均可
【答案】B
【解析】因为，所以或．
当时，，不合题意，舍去；
当时，或，但不合题意，舍去．
综上可知，．
故选：B．
题型四：集合中元素的特性及应用
12．（2024·高三·重庆沙坪坝·开学考试）若，则的值是（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入得.
故选：C.
13．（2024·高一·全国·专题练习）数集中的x不能取的数值的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由解得；由解得．
∴x不能取的值的集合为．
故选：C．
14．（2024·高一·新疆阿克苏·阶段练习）“mncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】因为“mncake”中的字母有m，，n，c，a，k，e，
其构成的集合为，有7个元素.
故选：C.
15．（多选题）（2024·高一·广东惠州·阶段练习）由组成一个集合，中含有3个元素，则实数的取值可以是（ ）
A．B．2C．3D．6
【答案】ACD
【解析】由题意知，，解得且.
所以实数的取值可以是，3,6
故选：ACD
题型五：用列举法表示集合
16．（2024·高一·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 .
【答案】
【解析】时，；时，；时，；时，；
可得.
故答案为：
17．（2024·高二·浙江宁波·期中）用列举法表示集合的结果为 .
【答案】
【解析】由可知为的约数，所以，
因为，所以，此时，
集合为.
故答案为：.
18．（2024·高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合：
(1)大于1且小于6的整数；
(2)；
(3)．
(4)．
(5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合.
【解析】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为；
（2）
（3）
（4）
（5）由题意，
当时，＋；
当时，＋；
当时，＋；
当时，＋，
故由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合为.
题型六：用描述法表示集合
19．（2024·高一·上海徐汇·期中）被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 .
【答案】
【解析】根据集合的表示方法，可得被4除余3的所有自然数组成的集合为.
故答案为：.
20．（2024·高一·云南曲靖·阶段练习）用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．

【答案】
【解析】由图知，，，所以由集合的描述法可知 .
故答案为：.
21．（2024·高一·江苏·专题练习）试用描述法表示下列集合.
(1)大于3的全体偶数构成的集合；
(2)平面直角坐标系中，轴上的所有点.
【解析】（1）大于3的全体偶数构成的集合为.
（2）平面直角坐标系中，轴上的所有点为
22．（2024·高一·江苏·专题练习）试用描述法表示下列集合.
(1)方程的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合；
(3)二次函数图象上的所有点组成的集合.
【解析】（1）设方程的实数根为，并且满足条件，
用描述法表示为.
（2）设大于10且小于20的整数为x，它满足条件，且，
故用描述法表示为.
（3）二次函数图象上的所有的点用描述法表示为.
题型七：集合表示法的综合应用
23．（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）设非空集合中的元素都是实数，且满足：若，则．
（1）若，求出中的另外两个元素；
（2）给出命题“中至少有三个元素”，判断该命题是否正确，并证明你的判断；
（3）若中的元素个数不超过个，所有元素之和为，所有元素的积恰好等于中某个元素的平方，求集合．
【解析】（1），
所以另外两个元素为.
（2）该命题正确，证明如下：
设，则，则，
均无解，
所以“中至少有三个元素”正确.
（3）由（2）知，若，那么、.
若中的元素不超过个，那么，且.
所有元素的乘积为，不妨设，
所以中有三个元素，
所以，解得或或.
所以.
24．（2024·高一·河北沧州·阶段练习）已知集合，求证：
(1)；
(2)偶数不属于.
【解析】（1）因为，所以.
（2）因为，，，
当，都为偶数或奇数时，和都为偶数，所以为4的倍数；
当，为一个偶数，一个奇数时，和都为奇数，所以为奇数.
显然都不满足，
所以.
25．（2024·高一·全国·课后作业）集合M满足：若，则（且）已知，试求集合M中一定含有的元素.
【解析】，，，，，
∴在M中还有元素，，.
故集合M一定含有的元素有.
题型八：方程与集合的综合应用
26．（2024·高一·江苏·假期作业）已知集合关于的方程有唯一实数解，试用列举法表示集合．
【解析】当时，化方程为．
方程有唯一实数根，
由判别式为零可得，得，
此时的解为，符合题意．
当时，有唯一实数解．
当时，有唯一实数解．
，，．
27．（2024·高一·江苏连云港·期中）已知集合.
(1)若A中只有一个元素，求的值；
(2)若A中至少有一个元素，求的取值范围.
【解析】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时，
为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素，
A中只有一个元素时或.
（2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且
，得且，再结合A中一个元素的情况，的取值范围为.
28．（2024·高一·上海普陀·阶段练习）已知集合．
(1)若中只有1个元素，求实数的取值范围；
(2)若关于的方程存在两个不相等实根且．求实数的值与集合．
【解析】（1）当时，，解得，符合题意，
当时，，解得，符合题意，
故实数的取值范围为；
（2）（2）∵关于的方程存在两个不相等实根，
∴，
且，
则，
即，
故或，
当时，，
当时，．
29．（2024·高一·全国·专题练习）若集合中，仅有一个元素，求、的值.
【解析】集合中，仅有一个元素，
且，
解得，．
故、的值分别为，.
30．（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
集合中的方程为，
解得或，
，
故选：C．
31．（2024·高一·全国·课后作业）已知．根据下列条件，求实数a的值构成的集合．
(1)当；
(2)当M是单元素集（只含有一个元素的集合）；
(3)当M是两个元素的集合.
【解析】（1），，，所以的范围是；
（2）时，，满足题意，
，，此时，满足题意，
（3）由题意方程有两个不等实根，且，解得且，
所以的范围是，．
题型九：集合新定义运算
32．（2024·高一·上海嘉定·阶段练习）定义集合运算：，设，，则所有元素之和为 个.
【答案】3
【解析】由题可知：
当时，
当时，
当时，
当时，
所以，所以所有元素之和为3
故答案为：3
33．（2024·高一·全国·期末）定义运算，若集合，则 .
【答案】
【解析】依题意，由，当时，，则，
当时，，则，当时，，则，
所以.
故答案为：
34．（2024·高一·上海·专题练习）设，，定义，则中元素的个数为（ ）
A．4B．5C．19D．20
【答案】C
【解析】当时，集合中元素为，，，，共个，
当时，集合中元素为，，，，共个，
当时，集合中元素为，，，，共个，
当时，集合中元素为，，，共个，
所以集合中共有个，
故选：C.
35．（2024·高一·广东阳江·开学考试）对于任意两个正整数m、n，定义某种运算，当m、n都为正偶数或正奇数时，；当m、n中一个为正奇数，另一个为正偶数时，.则在上述定义下，，集合M中元素的个数为（ ）
A．40B．48C．39D．41
【答案】D
【解析】当x、y都为正偶数或正奇数时，，集合M中的元素有，共35个；
当x、y中一个为正奇数，另一个为正偶数时，，，集合M中的元素有共6个，
所以集合M中元素的个数为，
故选：D
【重难点集训】
1．（2024届河南省新乡市高三第三次模拟考试数学试卷）下列集合中有无数个元素的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A，因为，，则，，故A 错误；
对于B，因为，，则，
所以，故B错误；
对于C，，，所以，故C错误；
对于D，有无数个元素.故D正确.
故选：D.
2．（贵州省凯里市第一中学2024届高三模拟考试（二模）数学试题）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于选项A：因为，但，不符合题意，故A错误；
对于选项B：因为，但无意义，不符合题意，故B错误；
对于选项C：例如，但，不符合题意，故C错误，
对于选项D：对任意，均有，符合题意，故D正确；
故选：D.
3．（湖南省岳阳市平江县第三中学等多校联考2023-2024学年高二普通高中学业水平合格性考试仿真模拟（专家卷二）数学试题）已知，且，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】因为，且，所以.
故选：A.
4．（1号卷�2024届全国高考最新原创冲刺试卷（二）理科数学试题）若，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，则，符合题意，
当时，有或，已知当时符合题意，
当时，则，符合题意，
故的取值集合为.
故选：C.
5．（黑龙江省哈尔滨市香坊区2024届高三期末联考数学试题）已知集合，集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意知，当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以.
故选：D
6．（浙江省衢温5 1联盟创新班2023-2024学年高一期末联考数学试题）已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C.
7．（江西省五市九校协作体2024届高三第二次联考数学试题）已知实数集合，若， 则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】A
【解析】当，时，，或任意，（舍去）；
当，时，，，不成立，
所以，，.
故选：A.
8．设集合 ​, 若​, 则​的值为（ ）
A．​B．-3C．​D．​
【答案】D
【解析】由集合中元素的确定性知 ​或​.
当 ​时,​或​; 当​时,​.
当 ​时,​不满足集合中元素的互异性, 故​舍去;
当 ​时,​满足集合中元素的互异性, 故​满足要求;
当 ​时,​满足集合中元素的互异性, 故​满足要求.
综上, ​或​.
故选: D.
9．（多选题）（2024·高一·湖南株洲·开学考试）已知集合，则下列说法中错误的是（ ）
A．若A中只有一个元素，则B．若A中至少有一个元素，则
C．若A中至多有一个元素，则D．若A中恰有两个元素，则
【答案】ACD
【解析】对于选项A：若A中只有一个元素，
即方程有一个根，或两个相等实根，
当时，原方程变为，此时符合题意，
当时，方程有两个相等实根，
所以，即，
所以当A中只有一个元素时，则或，故A错误；
对于选项B：若A中至少有一个元素，即A中有一个元素或两个元素，
当A中有一个元素时，由前面可知，或；
当A中有两个元素时，方程有两个不等实根，
所以即且，
所以若A中至少有一个元素，则，故B正确；
对于选项C：若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素，
当A中有一个元素时，由前面可知，或；
当A中没有元素时，即方程无实根，
所以即，
所以若A中至多有一个元素，则或；故C错误；
对于选项D：若A中恰有两个元素，由前面可知，且，故D错误；
故选：ACD
10．（山东省菏泽市2024届高三二模数学试题）已知，集合．则集合中所有元素之和为 ．
【答案】5
【解析】由题意，得，
则集合中所有元素之和为.
故答案为：5
11．（江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试数学试题）已知集合，，则集合的元素个数为 ．
【答案】2
【解析】当时，，2，4，分别为,均不能满足，
当时，时可满足，
时，，时，均不满足，
当时，可满足，时，，时，均不满足，
所以，故集合的元素有2个，
故答案为：2
12．（河南省洛阳市、平顶山市、许昌市、济源市2024届高三第四次质量检测数学试题）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ．
【答案】4
【解析】，，
当，时，；
当，时，；
当，时，.
所以，所以集合中所有元素之和为.
故答案为：4
13．（上海市静安区2024届高三期中教学质量调研数学试卷）中国国旗上所有颜色组成的集合为 ．
【答案】{红,黄}；
【解析】中国国旗上所有颜色组成的集合为红,黄．
故答案为：红，黄．
14．（辽宁省丹东市2024届高三总复习质量测试（一）数学试卷）若为完全平方数，则正整数x的取值组成的集合为 ．
【答案】
【解析】由题意设，则，
注意到是偶数，所以与的奇偶性相同，
（否则若和中，有一个是奇数，有一个是偶数，则它们的和是奇数，这与是偶数矛盾），
注意到是偶数，所以与必然都是偶数，
考虑80的分解方式，
满足题意的数组只可能是三种情况，
所以x的取值可能是.
故答案为：.
15．已知集合，且，则 .
【答案】
【解析】因为，所以或，解得或，
当时，，，集合不满足元素的互异性，所以舍去；
当时，经检验，符合题意，所以．
故答案为：．
【高考真题】
1．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标II卷））已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．9B．8C．5D．4
【答案】A
【解析】
当时，；
当时，；
当时，；
所以共有9个，
故选：A.
2．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷））设集合,则集合中元素的个数是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，
∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；
当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；
当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；
∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．
故选C．
3．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国大纲卷））设集合，，，则M中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】由题意知，，
则x的可能取值为5,6,7,8.
因此集合M共有4个元素，故选B.
【考点定位】集合的概念
4．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））已知集合,则中所含元素的个数为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】列举法得出集合，共含个元素．
故答案选
5．（2010年高考福建（文科）数学试题）设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个命题：
①若m=1，则S={1}；②若m= ，则 ≤ l ≤ 1；③ l=，则
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】非空集合S={x|m⩽x⩽l}满足：当x∈S时,有∈S.
对于①，若m=1,可得，则，则，∴①对；
对于②，若m=,满足∈S时,有，∴ ≤ l ≤ 1，②对；
对于③，若l=，可得，则.∴③对
故选：D.
6．（2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（江西卷））定义集合运算:.设,,则集合的所有元素之和为（ ）
A．0B．2C．3D．6
【答案】D
【解析】根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B，进而可得答案根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，又由集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，其所有元素之和为6；故选D．
7．（2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（江西卷））若集合中只有一个元素，则=（ ）
A．4B．2C．0D．0或4
【答案】A
【解析】