新高考新结构命题下的新定义解答题综合训练（学生及教师版）

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（6类核心考点精讲精练）
在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。
当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：
三考
题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实际水平。
三重
强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独特见解和创造力。
三突出
试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思考和探索，培养逻辑思维和创新能力。
面对新高考新结构试卷的5个解答题，新定义版块作为一个重要的考查领域，通常在第19题这样的压轴大题中，分值为17分，将考查学生的解题能力和思维深度，是高考数学的分水岭，难度极大。
面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。根据知识点及其命题方式，要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新结构试卷的特点，结合具体的新定义解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的新定义解答题综合训练指南，以期在新高考中取得更好的成绩。
考点一、函数及导数新定义综合
1．（2024·广西·二模）已知函数fx=lnx，若存在gx≤fx恒成立，则称是的一个“下界函数”．
(1)如果函数gx=tx−lnx为的一个“下界函数”，求实数的取值范围；
(2)设函数Fx=fx−1ex+2ex，试问函数Fx是否存在零点？若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(−∞,−2e)
(2)函数F(x)是否存在零点，理由见解答
【分析】（1）把恒成立问题转换为求2xlnx的最小值问题，利用导数求出最小值即可；
（2）把函数整理成F(x)=lnx−1ex+1ex≥−1ex−1ex+2ex=1x(1e−xex)，要判断是否有零点，只需看的正负问题，令G(x)=1e−xex，利用导数分析即可.
【详解】（1）由g(x)≤f(x)恒成立，可得tx−lnx≤lnx恒成立，
所以t≤2xlnx恒成立,令ℎ(x)=2xlnx，所以ℎ′(x)=2（1+lnx），
当时, ，在单调递减；
当x∈(1e，+∞)时, ，在(1e，+∞)单调递增；
所以的最小值为ℎ(1e)=−2e，所以t≤−2e，
实数t的取值范围(−∞,−2e]；
（2）由（1）可知2xlnx≥−2e，所以2lnx≥−2ex，所以lnx≥−1ex，①
又F(x)=f(x)−1ex+2ex，所以F(x)=lnx−1ex+2ex≥−1ex−1ex+2ex=1x(1e−xex)，
令G(x)=1e−xex，所以G′(x)=x−1ex，
当时, ，在单调递减；
当时, ，在(1,+∞)单调递增；
所以G(x)≥G(1)=0，②
所以F(x)=lnx−1ex+2ex≥−1ex−1ex+2ex=1x(1e−xex)≥0，
又①②中取等号的条件不同，所以
所以函数没有零点.
2．（2024·湖南·二模）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得．
(1)运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在，使得．
(2)已知函数，若对于区间内任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围．
(3)证明：当时，有．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，构造函数，利用导数结合罗尔定理推导即得.
（2）求出函数的导数，利用（1）的结论建立恒成立的不等式，再利用导数求出函数的值域即得.
（3）构造函数，求出导数结合（1）的结论，借助不等式性质推理即得.
【详解】（1）令，则，
令函数，则，
显然在上连续，且在上可导，由罗尔定理，存在，使得，
即，所以.
（2）依题意，，
不妨令，则恒成立，
由（1）得，于是，即，
因此，令，
求导得，函数在上单调递增，则，
而函数在上单调递增，其值域为，
则，所以实数的取值范围是.
（3）令函数，显然函数在上可导，
由（1），存在，使得，
又，则，
因此，而，则，即，
所以.
【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，构造函数，转化、抽象为相应的函数问题作答.
3．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，
已知函数.
(1)求函数在处的阶帕德近似，并求的近似数精确到
(2)在（1）的条件下：
①求证：；
②若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)① 证明见解析；②
【分析】（1）先写出阶帕德近似，然后求导得到，，令得，所以，求导得到求解即可；
（2）令，，求导得到判断Fx在及上均单调递减，按照和分类讨论求解即可；
由已知令，且，所以是ℎx的极大值点，求导得到，故，，得到之后写出，然后求导判断单调性证明即可.
【详解】（1）由题可知函数在处的阶帕德近似，
则，，，
由得，所以，
则，又由得，所以，
由得，所以，
所以.
（2）①令，，
因为，
所以Fx在及上均单调递减.
当，，即，
而，所以，即，
当，，即，
而，所以，即，
所以不等式恒成立；
②由得在上恒成立，
令，且，所以是ℎx的极大值点，
又，故，则，
当时，，所以，
当时，，，则ℎ′x>0，故ℎx在上单调递增，
所以当时，，
当时，，
令，因为，所以φx在上单调递减，
所以，又因为在上，
故当时，，
综上，当时，恒成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
4．（2024·河北沧州·一模）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为和，即，．
(1)若，证明：集合中有且仅有一个元素；
(2)若，讨论集合的子集的个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
答案见解析
【分析】（1）令，求导，可得函数的单调性，进而可得函数有唯一零点，可得结论；
（2）由题意可知只需研究的不动点即可，令，求出其导数，判断其单调性，然后分类讨论的取值范围，判断的零点情况，即可判断的稳定点个数.，进而可得集合的子集的个数.
【详解】（1）令，求导得，
令，可得，
当，，当，，
所以，所以有唯一零点，
所以集合中有且仅有一个元素；
（2）当时，由函数，
可得导函数，所以在上单调递增，
由反函数的知识，稳定点在原函数与反函数的交点上，
即稳定点与的不动点等价，
故只需研究的不动点即可；
令，
则，则在上单调递减，
①当时，恒成立，即在上单调递增，
当x无限接近于0时，趋向于负无穷小，
且，
故存在唯一的，使得，即有唯一解，
所以此时有唯一不动点；
②当时，即时，，
当趋向无穷大时，趋近于0，此时，
存在唯一，使得，
此时在上单调递增，在上单调递减，
故，
当趋近于0时，趋向于负无穷大，当向正无穷大时，趋向负无穷大时，
设，则在上单调递增，
且，
又在时单调递增，
故（i）当时，即，
此时，方程有一个解，即有唯一不动点，所以集合的子集有2个；
（ii）当，即，
此时，方程无解，即无不动点，所以集合的子集有1个；
（iii）当时，即，此时，方程有两个解，即有两个不动点，所以集合的子集有4个；
综上，当时或时，集合的子集有2个；
当时，集合的子集有1个；
当时，集合的子集有4个.
【点睛】方法点睛：本题属新定义题型，读懂题意是关键；研究方程根的个数问题常转化为判断函数零点的个数问题，利用导数研究含参函数的单调性，从而判断方程根（或函数零点）的个数问题．注意分类讨论思想的应用．
5．（2024·山东聊城·二模）对于函数，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函数”，为“的可移倒数点”．已知．
(1)设，若为“的可移倒数点”，求函数的单调区间；
(2)设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，求的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为，递减区间为；
(2).
【分析】（1）根据给定的定义，列式求出值，再利用导数求出函数的单调区间.
（2）利用定义转化为求方程恰有3个不同的实根，再借助导数分段探讨零点情况即可.
【详解】（1）由为“ℎx的可移倒数点”，得，
即，整理，即，解得，
由的定义域为R，求导得，
当时，单调递增；时，单调递减；
时，单调递增，
所以φx的单调递增区间为，递减区间为．
（2）依题意，，
由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根，
①当时，，方程可化为，解得，
这与不符，因此在0,+∞内没有实数根；
②当时，，方程可化为，
该方程又可化为．
设，则，
因为当时，，所以在内单调递增，
又因为，所以当时，，
因此，当时，方程在内恰有一个实数根；
当时，方程在内没有实数根．
③当时，没有意义，所以不是的实数根．
④当时，，方程可化为，
化为，于是此方程在内恰有两个实数根，
则有，解得，
因此当时，方程在内恰有两个实数根，
当时，方程在内至多有一个实数根，
综上，的取值范围为．
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
6．（2024·浙江宁波·二模）定义：对于定义在区间上的函数，若存在实数，使得函数在区间上单调递增（递减），在区间上单调递减（递增），则称这个函数为单峰函数且称为最优点.已知定义在区间上的函数是以为最优点的单峰函数，在区间上选取关于区间的中心对称的两个试验点，称使得较小的试验点为好点（若相同，就任选其一），另一个称为差点.容易发现，最优点与好点在差点的同一侧.我们以差点为分界点，把区间分成两部分，并称好点所在的部分为存优区间，设存优区间为，再对区间重复以上操作，可以找到新的存优区间，同理可依次找到存优区间，满足，可使存优区间长度逐步减小.为了方便找到最优点（或者接近最优点），从第二次操作起，将前一次操作中的好点作为本次操作的一个试验点，若每次操作后得到的存优区间长度与操作前区间的长度的比值为同一个常数，则称这样的操作是“优美的”，得到的每一个存优区间都称为优美存优区间，称为优美存优区间常数.对区间进行次“优美的”操作，最后得到优美存优区间，令，我们可任取区间内的一个实数作为最优点的近似值，称之为在区间上精度为的“合规近似值”，记作.已知函数，函数.
(1)求证：函数是单峰函数；
(2)已知为函数的最优点，为函数的最优点.
（i）求证：；
（ii）求证：.
注：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）根据单峰函数的定义，求导确定得单调性即可；
（2）（i）令，则，令，根据为函数的最优点，为函数的最优点，可确定导函数的零点，根据导函数的零点验证结论即可；（ii）根据“合规近似值”的定义，结合函数单调性与不等式的性质证明结论即可.
【详解】（1）因为，令，则.，
因为，则，则f′x在上单调递减，
又因为，
由零点存在定理知，存在唯一的，使得，且
时，，f′x