高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课堂检测

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课堂检测，共23页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc177117771" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc177117771 \h 2
\l "_Tc177117772" 题型一：解不含参数的一元二次不等式 PAGEREF _Tc177117772 \h 2
\l "_Tc177117773" 题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 PAGEREF _Tc177117773 \h 2
\l "_Tc177117774" 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 PAGEREF _Tc177117774 \h 4
\l "_Tc177117775" 题型四：一次分式不等式的解法 PAGEREF _Tc177117775 \h 6
\l "_Tc177117776" 题型五：实际问题中的一元二次不等式问题 PAGEREF _Tc177117776 \h 7
\l "_Tc177117777" 题型六：不等式的恒成立与有解问题 PAGEREF _Tc177117777 \h 9
\l "_Tc177117778" 题型七：一元二次方程根的分布问题 PAGEREF _Tc177117778 \h 10
\l "_Tc177117779" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc177117779 \h 12
\l "_Tc177117780" 【高考真题】 PAGEREF _Tc177117780 \h 21
【题型归纳】
题型一：解不含参数的一元二次不等式
1．（2024·高一·全国·课后作业）不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】由，即，解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：
2．（2024·高一·全国·课后作业）不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】原不等式等价于，由于恒成立，
因此原不等式的解集为．
故答案为：
3．（2024·高二·湖南永州·阶段练习）解不等式：
【解析】由可得或，
由可得，
故不等式组的解为或，
4．（2024·高一·江西南昌·开学考试）解下列方程和不等式：
(1)
(2)
【解析】（1）依题意，，
解得或.
（2）依题意，
解得或，
所以不等式的解集为或.
题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇
5．（多选题）（2024·高二·浙江宁波·期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误；
对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3，
由韦达定理，，故，，即，故B正确；
对于C，由上分析可得，故C正确；
对于D，由上分析可得，故D正确.
故选：BCD.
6．（2024·高一·河北石家庄·开学考试）已知不等式的解集为，则= ，=
【答案】
【解析】依题意，不等式的解集为，
所以，解得.
故答案为：；
7．（2024·高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为，且，则的值为 .
【答案】
【解析】关于的不等式的解集为，
，是一元二次方程的实数根，
，
且，.
，
，
又，解得.
故答案为：.
8．（2024·高一·上海·课后作业）若不等式有唯一解，则的值是 ．
【答案】2或
【解析】由于为开口向上的二次函数，
不等式的解可看作是在之间的图象对应的横坐标，
故不等式有唯一解，则有唯一解．
即，解得或．
故答案为：2或
题型三：含有参数的一元二次不等式的解法
9．（2024·高三·福建宁德·开学考试）解关于x的不等式.
【解析】不等式化为，
①当时，原不等式化为，解得．
②当时，原不等式化为，解得或．
③当时，原不等式化为.
当，即时，解得；
当，即时，解得满足题意；
当，即时，解得．
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
10．（2024·高一·湖南长沙·期末）当时，解关于的不等式.
【解析】当时，代入不等式可得，解得；
当时，化简不等式可得即，
由得不等式的解为，
当时，化简不等式可得即，
由得不等式的解为或，
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.
11．（2024·高一·云南曲靖·阶段练习）解下列不等式
(1)
(2)
【解析】（1）因为，即，
注意到，所以不等式的解集为.
（2）因为，即，
令，解得或，
若，即，所以不等式的解集为；
若，即，所以不等式的解集为；
若，即，所以不等式的解集为；
综上所述：若，不等式的解集为；
若，不等式的解集为；
若，不等式的解集为.
12．（2024·高一·安徽·阶段练习）解关于的一元二次不等式．（结果用集合表示）
【解析】由已知，可得，
（1）当时，方程有两实根，
不等式的解集为．
（2）当时，方程的根的判别式．
①当时，，所求不等式的解集为R；
②当时，，所求不等式的解集为；
③当时，，所求不等式的解集为或．
综上所述：当时，解集为；
当时，解集为或．
当时，解集为；
时，解集为R.
题型四：一次分式不等式的解法
13．（2024·高一·广东·开学考试）不等式：的解为 ．
【答案】或
【解析】由，得或，解得或，
所以不等式的解为或.
故答案为：或
14．（2024·高一·全国·课堂例题）不等式的解集是 .
【答案】或
【解析】等价于，解得或，
故解集为或.
故答案为：或
15．（2024·高一·全国·课堂例题）不等式的解集是
【答案】或．
【解析】原不等式等价于
解得或，
故不等式的解集是或．
故答案为：或
16．（2024·高一·全国·课堂例题）不等式的解集为
【答案】
【解析】原不等式可以化为，
即，解得，
故原不等式的解集为.
故答案为：
题型五：实际问题中的一元二次不等式问题
17．（2024·高一·陕西·阶段练习）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（ ）
A．220元B．240元C．250元D．280元
【答案】C
【解析】依题意，每天有套礼服被租出，
该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为
元.
因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元，
所以，
即，解得.因为且，所以，
即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元.
故选：C.
18．（2024·高三·全国·专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：m）的取值范围是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
如图，过作于，交于，易知，即，
则，．所以矩形花园的面积，
解得．
故选:C．
19．（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题设且，整理得，可得.
故选：B
20．（2024·高一·全国·单元测试）某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价．
(1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式；
(2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围．
【解析】（1）依题意售价降低x成则商品售价为元/件，
售出商品数量为件，
所以该商品一天的营业额为，
又售价不能低于成本价，所以，解得，
所以.
（2）由（1）商品一天的营业额为，
令，化简得，
解得，又，
所以x的取值范围为．
题型六：不等式的恒成立与有解问题
21．（2024·高一·山西大同·阶段练习）（1）解不等式：；
（2）若不等式的解集为R，求实数的取值范围.
【解析】（1）即为即，
解得，故原不等式的解集为.
（2）因为不等式的解集为R，故的解集为R，
故，所以.
22．（2024·高一·浙江金华·阶段练习）若不等式对于满足的一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，所以由得，
又，所以，即时，取得最大值，
所以．
故答案为：．
23．（2024·高一·江苏南京·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当时，，
因此，当时，不等式恒成立，即恒成立，
而当时，，当且仅当，即时取等号，于是得，
所以实数m的取值范围为.
故答案为：
24．（2024·高三·上海宝山·开学考试）若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意可知，命题“存在”为真命题.
当时，由可得，合乎题意；
当时，存在，使得成立，
当时，，所以存在成立，
综上所述，当的取值范围为全体实数.
故答案为：
题型七：一元二次方程根的分布问题
25．（2024·高一·辽宁·阶段练习）关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
【答案】B
【解析】利用判别式直接求出结论，注意，从而求出答案.由题可知：
所以，又因为
所以且.
故选：B.
26．（2024·高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则实数的值是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【解析】由韦达定理可得，然后结合可解出，然后进行检验即可.因为是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
所以，
所以
解得或
当时，方程无解，故舍去
当时满足题意
故选：A
27．（2024·高一·安徽合肥·期中）一元二次方程有两个不等的非正根，则实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为一元二次方程有两个不等的非正根，
，
解得，
故选：C
28．（2024·高一·全国·课后作业）若方程只有正根，则m的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】B
【解析】方程只有正根，则
当，即时，
当时，方程为时，，符合题意；
当时，方程为时，不符合题意.
故成立；
当，解得或，
则，解得.
综上得.
故选B.
29．（2024·高一·上海奉贤·阶段练习）若、是方程的两个实数根，且，则实数m的值为 ．
【答案】1
【解析】由一元二次方程有两个实根，结合韦达定理、判别式Δ≥0即可求m的值.∵方程有两个实数根，即，
∴，由题意知：，，
又，∴，
解得或（舍去），
即有.
故答案为：1
30．（2024·高一·全国·课后作业）若方程有两个负根，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】设方程的两个根分别为，，利用韦达定理计算得到答案.设方程的两个根分别为，，由题意及根与系数的关系，得解得或，因此实数的取值范围为.
故答案为：
31．（2024·高二·山东菏泽·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】一元二次方程有两个不相等的正实数根，
，.
故答案为
【重难点集训】
1．（2024·高一·辽宁·阶段练习）设正实数、、满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，由，得，
当且仅当，即时等号成立，则，
因此，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最大值.
故选：D
2．（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为且，
所以，，
所以，
所以，
则令，
当时，单调递增，
所以当时，取得最小值为，
即的最小值为，
当且仅当、时取最小值.
故选：D.
3．（2024·高三·江苏南通·阶段练习）已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】集合，
集合，
所以.
故选：A.
4．（2024·高三·天津南开·阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】由不等式，可得，所以，解得，
又由，可得，解得，
因为是的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2024·高一·河南·期末）“”是“不等式对任意的恒成立”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】当时，对任意的恒成立；
当时，要使不等式对任意的恒成立，
则应有，解得.
综上所述，的取值范围为.
显然“”包含的范围包含于“”包含的范围，
所以，“”是“不等式对任意的恒成立”的充分不必要条件.
故选：A.
6．（2024·高一·江苏南京·期末）已知实数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得，，
因为，所以，即，
所以，所以当且仅当时，取最大值为.
故选：A.
7．（2024·高一·江西新余·期中）不等式的解集是，则的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题设是的两个根，则，
所以，即，
故不等式解集为.
故选：B
8．（2024·高一·湖北恩施·阶段练习）已知m，且，对于任意均有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，在上，恒成立，所以只需满足恒成立，此时，由二次函数图象可知，只有时满足，而不满足条件；
当时，在上，恒成立，所以只需满足恒成立，此时等于0的方程两根分别为和，
①当时，此时，当时，不恒成立；
②当时，此时，若满足恒成立，只需满足；
③当时，此时，满足恒成立．
综上可知，满足在恒成立时，只有．
故选：C.
9．（多选题）（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则且
B．若，则关于的不等式的解集也为
C．若，则关于的不等式的解集为或
D．若为常数，且，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】A选项，若，即一元二次不等式无解，
则一元二次不等式恒成立，
且，故A正确；
B选项，令（），则、、，
∴可化为，
当时，可化为，其解集不等于，故B错误；
C选项，若，
则，且和是一元二次方程的两根，
，且，，，
关于的不等式可化为，
可化为，，，解得或，
即不等式的解集为或，故C正确；
D选项，为常数，
且，，
，，令，则，
，
当且仅当，则，且为正数时，等号成立，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
10．（多选题）（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75％，则V的可能取值为（ ）．
A．4B．40C．8D．28
【答案】CD
【解析】第一次稀释后，药液浓度为，
第二次稀释后，药液浓度为，
依题意有，即，解得，
又，即，所以.
故选：CD.
11．（多选题）（2024·高一·浙江温州·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．关于x的不等式的解集可以是
B．关于x的不等式的解集可以是
C．函数在上可以有两个零点
D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”
【答案】BCD
【解析】对A，若不等式的解集是，则且，得，
而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误；
对B，取，，此时不等式的解集为，故B正确；
对C，取，，则由，得或3，故C正确；
对D，若关于x的方程有一个正根和一个负根，则，得，
若，则，故关于x的方程有两个不等的实根，，
且，关于x的方程有一个正根和一个负根.
因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确.
故选：BCD.
12．（多选题）（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】当时，；
当时，或，故A正确；
当时，，
若，则解集为空集；
若，则不等式的解为：，故D正确；
若，则不等式的解为：，故C正确.
故选：ACD
13．（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）已知是关于的方程的两个实数根，若，则的值为 ．
【答案】或
【解析】由是关于的方程的两个实数根，
则，，
因为，故，即，
所以，
化简得，
解得或
故答案为：或.
14．（2024·高一·浙江宁波·专题练习）对实数，. 定义运算 “”为: . 已知关于的方程. 若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ，若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，
所以，
又，所以，
即，
若该方程有两个相等的实数根，则，解得；
若该方程有两个不等负根，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：；
15．（2024·高一·上海·随堂练习）整数使关于的不等式组解集中的整数只有-2，则由的值组成的集合为 ．
【答案】
【解析】由，
得或，
由，
得，
当时，，无解，不合题意；
当时，，则原不等式组的解集中不包含，不合题意；
当时，，
因为原不等式组的解集中只有一个整数-2，
如图，结合数轴可知，，，
所以.
故答案为：.
16．（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，.若“命题，”是真命题，求的取值范围
【解析】由题意可知，即，
若“命题，”是真命题，则，
所以，
故的取值范围为：.
17．（2024·高一·上海·课堂例题）设，解下列关于x的不等式：
(1)；
(2)；
(3)．
【解析】（1）当时，由解得：或；
当时，由得，所以；
当时，由解得：或.
综上，当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为R；当时，原不等式的解集为或.
（2）当时，由解得：或；
当时，由得，所以；
当时，由解得：或.
综上，当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或.
（3）由得：，
解得或，
所以原不等式的解集为或.
18．（2024·高一·上海·课堂例题）利用函数与不等式的关系，在时，求解实系数一元二次不等式．
【解析】令，因为，所以图象开口向下，
又，
当时，无解，图象恒在轴下方，此时的解集为，
当时，恰有一解，图象与轴有一个交点，
此时的解集为，
当，有两解，，且，
此时的解集为或，
所以，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或.
19．（2024·高一·湖北咸宁·期末）已知关于的不等式.
(1)若，求不等式的解集；
(2)解关于的不等式.
【解析】（1）由，
当时，可得解集为.
（2）对应方程的两个根为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为或，
当时，原不等式的解集为或，
【高考真题】
1．（2006 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（江西卷））当时，不等式的解是（ ）
A．或B．
C．或D．或
【答案】A
【解析】由，或，
由，或，
所以不等式的解是或，
故选：A
2．（2005年普通高等学校招生考试数学试题（辽宁卷））若在上定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由已知得，
则对任意实数恒成立
整理得对任意实数恒成立，
，
解得.
故选：C.
3．（2001年普通高等学校招生考试数学试题（广东卷））不等式的解集为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【解析】由题设，可得或，
所以不等式解集为或.
故选：C
4．（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】方程的解为或，
故不等式的解集为，
故答案为：.
5．（2005年普通高等学校春季招生考试数学（理）试题（北京卷））经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
【解析】（1）依题意，由于,
所以
当且仅当，即时，上式等号成立，
∴（千辆/时）．
当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；
（2）由条件得,
整理得，即，解得，
所以，如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于且小于．
6．（2004 年普通高等学校招生考试数学试题（上海卷））已知实数p满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明．
【解析】，所以，，
所以，
所以方程无实根．