人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示课时训练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示课时训练，共30页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc178174425" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc178174425 \h 2
\l "_Tc178174426" 题型一：函数的概念 PAGEREF _Tc178174426 \h 2
\l "_Tc178174427" 题型二：给出解析式求函数的定义域 PAGEREF _Tc178174427 \h 3
\l "_Tc178174428" 题型三：抽象函数求定义域 PAGEREF _Tc178174428 \h 4
\l "_Tc178174429" 题型四：给出函数定义域求参数范围 PAGEREF _Tc178174429 \h 5
\l "_Tc178174430" 题型五：同一函数的判断 PAGEREF _Tc178174430 \h 6
\l "_Tc178174431" 题型六：给出自变量求函数值 PAGEREF _Tc178174431 \h 7
\l "_Tc178174432" 题型七：求函数的值域 PAGEREF _Tc178174432 \h 9
\l "_Tc178174433" 题型八： 求函数的解析式 PAGEREF _Tc178174433 \h 10
\l "_Tc178174434" 题型九： 分段函数求值、不等式问题 PAGEREF _Tc178174434 \h 12
\l "_Tc178174435" 题型十： 区间的表示与定义 PAGEREF _Tc178174435 \h 13
\l "_Tc178174436" 题型十一：函数的图象 PAGEREF _Tc178174436 \h 14
\l "_Tc178174437" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc178174437 \h 16
\l "_Tc178174438" 【高考真题】 PAGEREF _Tc178174438 \h 27
【题型归纳】
题型一：函数的概念
1．（2024·高一·广东梅州·开学考试）在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据函数的定义可知，中的每一个元素在中都有唯一的元素与之对应，
显然A、B、C符合题意，
而D选项中，E中的元素在中有两个元素对应，不符合函数的定义.
故选：D
2．（2024·高一·全国·随堂练习）下列对应关系中是A到B的函数的是（ ）
A．，，
B．，，对应关系如图：
C．，，f：
D．，，f：
【答案】B
【解析】对于A，，一个可以对应两个，不属于函数，故A错误；
对于B，集合中每一个在集合中都有唯一对应的，符合函数的定义，故B正确；
对于C，中，，而 ，故集合中的元素2在集合中没有对应的函数值，故C错误；
对于D，，所以，集合，故集合中有的元素在集合中没有对应的函数值，故D错误.
故选：B
3．（2024·高一·辽宁·期中）已知集合，，为定义在集合上的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有（ ）种．
A．4B．6C．7D．9
【答案】B
【解析】由集合，，f：为定义在集合上的一个函数，
根据函数的定义知：
若函数是一对一对应，则函数的值域可能为，三种情况；
若函数是二对一对应，则函数的值域可能为，三种情况，
所以函数的值域的不同情况有种.
故选：B.
题型二：给出解析式求函数的定义域
4．（2024·高一·江苏常州·期中）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：C
5．（2024·高一·广西钦州·开学考试）函数的定义域是指自变量的取值范围，则函数的定义域为（ ）
A．B．且
C．D．或
【答案】C
【解析】根据题意，要使函数有意义，需满足，即，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C
6．（2024·高一·广东湛江·期末）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，解得且，
所以函数的定义域是.
故选：C.
7．（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于函数，则，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A
题型三：抽象函数求定义域
8．（2024·高一·安徽合肥·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】依题意，函数的定义域为，
所以函数有意义应满足，解得，
所以的定义域为.
故答案为：
9．（2024·高二·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数的定义域为，
所以，，
所以函数的定义域为.
故选：A.
10．（2024·高一·湖南益阳·阶段练习）函数定义域是，则定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数定义域是，
所以由f2x+1得，解得，
则f2x+1定义域是.
故选：B.
11．（2024·高一·全国·单元测试）已知函数的定义域是，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数的定义域是，即，则；
对于函数，可知，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C.
题型四：给出函数定义域求参数范围
12．（2024·高一·广东深圳·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】∵函数的定义域为，∴对任意实数恒成立.
若，不等式转化为：，显然成立；
若，要使对任意实数恒成立，则，解得，综上所述，
故选：A
13．（2024·高二·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为R，可知的解集为R，
若，则不等式为恒成立，满足题意；
若，则，解得．
综上可知，实数k的取值范围是．
故选：B．
题型五：同一函数的判断
14．（2024·高一·贵州六盘水·期中）下列函数中与相同的函数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为的定义域为，值域，
对A，定义域，故错误；
对B，，定义域，故错误；
对C，，定义域，解析式相同，故正确；
对D，定义域，故错误.
故选：C
15．（2024·高一·福建三明·期中）下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【解析】对于A，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数，故选项A正确；
对于B，，与的对应关系不同，所以不是同一函数，故选项B不正确；
对于C，定义域为，定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故选项C不正确；
对于D，定义域为，的定义域为，两个函数定义域不同，所以不是同一函数，故选项D不正确，
故选：A.
16．（2024·高一·四川·阶段练习）下列各组函数中表示同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于A，，定义域不同，即不是同一函数，故A不正确；
对于B，定义域、对应关系相同，故为同一函数，故B正确；
对于C，，定义域相同，对应关系不同，即不是同一函数，故C不正确；
对于D，定义域不同，函数不是同一函数，故D不正确.
故选：B
题型六：给出自变量求函数值
17．（2024·高三·广东·开学考试）已知函数满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令得；
令得，所以；
令得，所以；
令得，所以；
令4得.
综上只有正确.
故选：A
18．（2024·高一·云南曲靖·开学考试）已知函数，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】取，有.
故选：D.
19．（2024·高一·全国·课后作业）已知函数对任意的实数，，都有成立.
(1)求，的值;
(2)求证：（）;
(3)若，（，均为常数），求的值.
【解析】（1）令，则，故.
令，则，故.
（2），，又，
故（）.
（3），
，
故.
题型七：求函数的值域
20．（2024·高一·全国·课堂例题）求下列函数的值域：
(1)，；
(2)；
(3)，；
(4)．
【解析】（1），且，则．
所以函数的值域为.
（2）函数的定义域为，由，得，
所以的值域为.
（3）函数图象的对称轴为，而，
当时，，当时，，
所以函数的值域为．
（4）函数的定义域为，
，
所以函数的值域为．
21．（2024·高一·上海·假期作业）求值域：
(1)，
(2)，
【解析】（1）因为，
所以函数的值域为.
（2）因为，其中对称轴为，且，
则时，函数有最小值为，
当时，函数有最大值为，
所以函数值域为.
22．（2024·高一·浙江杭州·阶段练习）求下列函数的值域.
(1);
(2);
(3),.
【解析】（1）设,则,
所以,
根据二次函数的图像和性质,函数的值域为.
（2）函数的定义域为,
,
所以函数的值域为.
（3）因为函数的对称轴为,
所以函数在单调递减,单调递增,
所以函数的值域为.
23．（2024·高一·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域.
（2）已知，求函数 的最小值.
【解析】（1），
当且仅当时等号成立，则函数值域为.
（2）因为，
，当且仅当时，即时，等号成立，
所以函数的最小值为，此时.
题型八： 求函数的解析式
24．（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；
（2）已知函数，求的解析式；
（3）已知函数满足，求函数的解析式；
【解析】（1）设，
则.
，解得，或，
或.
（2）令，则，
，
即.
（3）在已知等式中，将换成，得，与已知方程联立，
得，解得.
25．（2024·高一·上海·课堂例题）（1）已知是一次函数，且，求的表达式；
（2）已知，求的表达式；
（3）已知，求的表达式；
（4）已知，求的表达式．
【解析】（1）设．
∵，
，解得或，
∴或．
（2）令则．
∵，
∴．
（3）令，，则，即．
∵，
∴，
∴．
（4）∵，①
∴．②
得，
∴．
26．（2024·高一·山西大同·阶段练习）已知函数是一次函数，且满足.求的解析式.
【解析】设一次函数，
由，可得，
整理得，由于的任意性，
所以，解得，
故的解析式为.
题型九： 分段函数求值、不等式问题
27．（2024·高一·山东淄博·期中）已知函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】当时，，，
得，所以；
当时，，，
得，所以；
当时，，，
得，所以无解；
综上所述，不等式的解集为.
故答案为：
28．（2024·高一·山东泰安·期中）设，则的值为 .
【答案】11
【解析】.
故答案为：.
题型十： 区间的表示与定义
29．（2024·高一·上海·专题练习）用区间表示下列集合 ：
(1)；
(2)不等式的所有解组成的集合．
【解析】（1）转化为区间为
（2）不等式的所有解组成的集合为，转化为区间为.
30．（2024·高一·全国·课后作业）用区间表示下列集合：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
【解析】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
31．（2024·高一·全国·专题练习）将下列集合用区间表示出来．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)或．
【解析】（1）用区间表示为；
（2）用区间表示为；
（3）用区间表示为；
（4）或用区间表示为.
32．（2024·高一·全国·课后作业）将下列集合用区间表示出来：
(1) ；
(2) ；
(3) .
【答案】
【解析】根据区间的定义可得：
,，
故答案为：；；
题型十一：函数的图象
33．（2024·高一·山东·期中）下图的四个图象中，与下述三件事均不吻合的是（ ）
（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，此时对应的图像为直线递增图像，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，此时离家距离为常数，然后为递增图像，对应图像A；
（2）我离开家不久，此时离家距离为递增图像，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学，此时离开家的距离递减到0，然后再递增，没有图象对应；
（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进，此时离开家的距离图像为递增图像，与学校的距离为递减图象，对应图像BD；
故选：C
34．（2024·高一·上海·期中）如图是肖老师以恒定的速率夜跑时的离家距离（y）与跑步时间（x）之间的函数的图像，则肖老师跑步的路线可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】开始离家越来越远，中间离家距离不变，后来离家距离越来越近，因此路线是D符合题意，
故选：D．
35．（2024·高一·湖南·期中）已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（ ）

A．-1B．0C．3D．4
【答案】A
【解析】由图象可知，而由表格可知，所以.
故选：A
36．（2024·高一·四川内江·期中）在下列图象中，表示函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对A，存在一个，有无数个与之对应，所以不是函数图象，A错误；
对B，对定义域内的任意，有且仅有唯一的与之对应，是函数图象，B正确；
对C，存在一个，有两个与之对应，所以不是函数图象，C错误；
对D，存在一个，有两个与之对应，所以不是函数图象，D错误；
故选:B.
37．（2024·高一·福建福州·期中）某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，
从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，
是常数，该常数为2，只有D满足，
故选：D．
【重难点集训】
1．（24-25高一上·湖南株洲·开学考试）定义：若抛物线的顶点，抛物线与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线经过点，一组抛物线的顶点，（为正整数），依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，（为正整数）．若，当为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
A．或B．或C．或D．
【答案】B
【解析】因为直线经过点，则，解得，
直线，
由抛物线的对称性知，“美丽抛物线”所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，
所以该等腰三角形的高等于斜边的一半，
因为，结合题意可知该等腰直角三角形的斜边长小于2，
斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1），
因为当时，，
当时，，
当时，，
所以美丽抛物线的顶点只有，
①若为顶点，由，则；
②若为顶点，由，则，
综上所述，的值为或时，存在美丽抛物线．
故选：B
2．（25-26高一上·全国·课后作业）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】显然，．
当时，．
令，当时，，当且仅当时等号成立，
则；
当时，，当且仅当时等号成立，
则．
综上所述，的值域为，
所以根据高斯函数的定义，函数的值域是，
故选：C．
3．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，则.
故选：A.
4．（2024高三·全国·专题练习）设，定义符号函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于选项A，，，故，故A不正确；
对于选项B，，，故，故B不正确；
对于选项C， ，，故，故C不正确；
对于选项D，，，故，故D正确.
故选：D.
5．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）函数称为取整函数，也称高斯函数.其中不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作.解的个数（ ）
A．20B．30C．40D．50
【答案】B
【解析】由题意可知，不妨设，，
将其代入中，可得：，即：.
① 当时，可得，因，故，即方程有5个解；
② 当时，可得，故，即方程有5个解；
③ 当时，可得，故，即方程有5个解；
④ 当时，可得，故，即方程有5个解；
⑤ 当时，可得，故，即方程有5个解；
⑥ 当时，可得，故.
综上，解的个数为.
故选：B.
6．（2013高一·全国·竞赛）函数，则的值为（ ）．
A．2012B．C．2013D．
【答案】B
【解析】由可得：，
所以，，
所以设
，
则两式相加可得：．
故选：B.
7．（23-24高一上·浙江·期末）若函数y=fx的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数y=fx的定义域为，
所以，解得或，
故函数的定义域为，
故选：A.
8．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（ ）
A．0B．1C．5D．
【答案】C
【解析】由题意在中令，则，解得，
令，则，则，
所以.
故选：C.
9．（多选题）（24-25高一上·广东梅州·开学考试）下列各组中不是同一个函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，.
【答案】BD
【解析】选项A：的定义域为，此时，故两个函数是同一个函数；
选项B：的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不是同一函数；
选项C：两个函数的定义域都是，，故是同一个函数；
选项D：函数的定义域为，函数的定义域是，定义域不同，故不是同一函数，
故选：BD
10．（多选题）（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法正确的是（ ）
A．与表示同一个函数
B．函数的定义域为则函数的定义域为
C．关于x的不等式，使该不等式恒成立的实数k的取值范围是
D．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以函数的定义域为，
因为，所以函数的定义域为，所以两个函数的定义域相同，
又，所以两个函数的解析式相同，故两个函数表示同一函数，故A正确；
对于B，因为函数的定义域为，由，得，所以，即，所以的定义域为，故B正确；
对于C，当时，不等式恒成立，故C错误；
对于D，的解集为，，
，，，
，即，
解得：或，即不等式的解集为，故D正确；
故选：ABD.
11．（多选题）（23-24高一上·江西上饶·期末）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet.1805-1859）是解析数论的创始人之一.以他的名字命名的函数“狄利克雷函数”改变了数学家们对“函数是连续的”的认识.已知狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集.则下列关于“狄利克雷函数”的命题中，属于真命题的有（ ）
A．方程的解为
B．对任意，都存在，
C．对任意，恒成立
D．存在三个点，，，使得为等边三角形
【答案】ABD
【解析】A选项，若，则，
若，则（舍去），
所以，A选项正确.
B选项，对任意，都存在，，B选项正确.
C选项，若，则，
此时，
，C选项错误.
D选项，为等边三角形，则高为，则边长为，
如时，为等边三角形，D选项正确.
故选：ABD
12．（24-25高一上·湖南·开学考试）如果函数y=fx满足：(为实数），且，那么代数式 ．
【答案】
【解析】根据题意，令，则，
所以.
所以，
因为共有个，
所以.
故答案为：.
13．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）函数的定义域为 ．
（2）函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】（1）由题意得，即，解得，
所以的定义域为；
（2）由题意得，解得且，
所以的定义域为．
故答案为: ，
14．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（a，b为常数，且）满足，方程有唯一解，则函数的解析式为 ．
【答案】
【解析】因为，且，可知，
令，整理可得，解得或，
若方程有唯一解，则或，解得，
又因为，解得，
所以．
故答案为：.
15．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）（1）已知，，求的值域．
（2）已知，求的值域．
【解析】（1）因为，，
所以，
则当时，，
所以的值域为；
（2）因为，
令t≥3，则，
所以t≥3，
所以，
所以当时，，
则的值域为
16．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数
(1)求函数的解析式；
(2)求关于的不等式解集.（其中）
【解析】（1）由题意，函数，
令，
则，
所以.
（2）由（1）知，
即不等式转化为，
则，
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
综上所述，当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为.
17．（23-24高一上·天津·期末）函数，
(1)若的解集是或，求实数，的值；
(2)当时，若，求实数的值；
(3)，若，求的解集.
【解析】（1）不等式的解集为或，
，且的两根为，，
，，，.
（2），
得，.
（3），，
即，
（1）当时，
（2）当时，则，
①当时，；
②当时，若，即时，或 ，
若，即时， ；
若，即时，或 ；
综上所述：当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
18．（24-25高一上·吉林·阶段练习）对于函数，若，则称实数为的“不动点”，若，则称实数为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为和，即，.
(1)对于函数，分别求出集合和；
(2)对于所有的函数，证明：；
(3)设，若，求集合.
【解析】（1）由，得，解得；
由，得，解得，
集合，．
（2）若，则显然成立；
若，设为中任意一个元素，
由，可得.
（3），
，即，解得，
，
，
，
，
，
或或，
.
【高考真题】
1．（2006 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（江西卷））某地一年内的气温（单位：）与时间t（月份）之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为.令表示时间段的平均气温，与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由已知的图象，时，，排除C；时，，排除D；在大于6的某一段平均气温超过10，排除B．只有A正确．
故选：A.
2．（2024年上海市1月春考数学试题）已知，求的的取值范围 .
【答案】
【解析】根据题意知.
当时，,即，解得，则有；
当时，,即，，即时，不等式都成立.
综上所述，的的取值范围为.
故答案为：.
3．（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知则 ．
【答案】
【解析】因为故，
故答案为：.
4．（2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（广东卷））函数的定义域是 ．
【答案】
【解析】由，
得，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
5．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））函数的值域是 ．
【答案】
【解析】当x=0时，；
当时，，又，则，，，
综上所述，故函数的值域为： .
故答案为：.
6．（2004年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））已知，则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】∵，
∴
（1）当时，原不等式等价于，解得，
∴此时；
（2）当时，原不等式等价于，解得，
∴此时；
综上所述，原不等式的解集为.
故答案为：.
7．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ．
【答案】 /
【解析】由已知，，
所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为.
故答案为：，.
8．已知函数.
（1）求的值；
（2）求，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为，
所以，因为，
所以.
（2）因为，
则，
因为，所以，
即，解得.
9．已知定义域为的函数满足.
（1）若，求；又若，求.
（2）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析式.
【解析】（1）因为，
所以，
因为，所以，即，
因为，，
所以，
（2）因为，有且仅有一个实数使，
所以对于任意的，有，
令，则，即，解得或，
若，则，即，
但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故，
若，则，即，
此时有且仅有一个实数根，
综上所述，函数的解析式为.
1
2
3
4
3
-1