高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1.2 弧度制课后练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1.2 弧度制课后练习题，共25页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc182838825" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc182838825 \h 2
\l "_Tc182838826" 题型一：角的概念 PAGEREF _Tc182838826 \h 2
\l "_Tc182838827" 题型二：终边相同的角的表示 PAGEREF _Tc182838827 \h 3
\l "_Tc182838828" 题型三：角所在象限的研究 PAGEREF _Tc182838828 \h 5
\l "_Tc182838829" 题型四：象限角的判定 PAGEREF _Tc182838829 \h 7
\l "_Tc182838830" 题型五：区域角的表示 PAGEREF _Tc182838830 \h 8
\l "_Tc182838831" 题型六：弧度制与角度制的互化 PAGEREF _Tc182838831 \h 10
\l "_Tc182838832" 题型七：扇形的弧长及面积公式的应用 PAGEREF _Tc182838832 \h 11
\l "_Tc182838833" 题型八：扇形中的最值问题 PAGEREF _Tc182838833 \h 13
\l "_Tc182838834" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc182838834 \h 15
\l "_Tc182838835" 【高考真题】 PAGEREF _Tc182838835 \h 23
【题型归纳】
题型一：角的概念
1．（2024·高一·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】因为锐角，所以小于的角不一定是锐角，故①不成立；
因为钝角，第二象限角，，所以钝角一定是第二象限角，故②成立；
若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立；
例如，，但，故④不成立.
故选：B.
2．（2024·高一·甘肃兰州·期末）下列命题正确的是（ ）
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．小于的角是锐角
D．集合内的角不一定是钝角
【答案】D
【解析】A选项：终边与始边重合的角为，故A错；
B选项：终边和始边都相同的两个角可能相差的整数倍，故B错误；
C选项：小于的角可能是，还可能是负角，所以C错误；
D选项：集合内的角包含直角，所以不一定是钝角，D正确；
故选：D
3．（2024·高一·江西萍乡·期末）下列说法正确的是（ ）
A．
B．一堂数学考试（120分钟）时针旋转60°
C．1弧度的角大于1°的角
D．三角形内角必为第一或二象限的角
【答案】C
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，一堂数学考试（120分钟）时针旋转，故B错误；
对于C，1弧度，故C正确；
对于D，三角形的内角为时，不在象限内，故D错误.
故选：C.
4．（2024·高一·全国·课后作业）已知集合A={| 为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（ ）
A．A=BB．B=CC．A=CD．A=D
【答案】D
【解析】因为A={| 为锐角}，
D={|为小于的正角}，
对于集合，小于的角包括零角与负角，
对于集合，C={|为第一象限角}，
所以A=D，
故选：D
题型二：终边相同的角的表示
5．（2024·高一·全国·随堂练习）在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】（1），
所以，在范围内，与终边相同的角为，且为第四象限角.
（2）因为，
所以，在范围内，与终边相同的角为，且为第一象限角.
（3）因为，
所以，在范围内，与终边相同的角为，且为第三象限角.
（4）因为，
所以，在范围内，与终边相同的角为，且为第二象限角.
6．（2024·高一·江苏·课后作业）下列角中哪些角与角的终边相同：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【解析】（1）∵与30°角的终边相同的角为，
当时，，解得，
∴角与30°角的终边不相同.
（2）∵与30°角的终边相同的角为，
当时，，解得，
∴角与30°角的终边相同.
（3）∵与30°角的终边相同的角为，
当时，，解得，
∴角与30°角的终边相同.
（4）∵与30°角的终边相同的角为，
当时，，解得，
∴角与30°角的终边相同.
7．（2024·高一·全国·课后作业）写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素：
(1)；
(2)．
【解析】（1）根据题意可知，
所以与终边相同的角的集合为，
易知当时，；当时，；当时，；
所以适合不等式的元素有：，，；
（2）与终边相同的角的集合为，
易知当时，；当时，；当时，；
所以适合不等式的元素有：，，；
8．（2024·高一·全国·课后作业）已知，.
(1)指出各自终边所在的象限；
(2)在内找出与终边相同的所有角.
【解析】（1），在第二象限；
在第一象限；
（2），与终边相同的角为，取
范围内与它们终边相同的所有角有
与终边相同的角为，取，
则范围内与它们终边相同的所有角有.
题型三：角所在象限的研究
9．（2024·高一·全国·随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】（1）由于为第四象限角，所以，
所以，
当时，，终边在第二象限，
当时，，终边在第四象限，
所以的终边在第二或第四象限；
（2）由（1）得，
所以的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上.
（3）由（1）得，
当时，，终边在第二象限，
当时，，终边在第三象限，
当时，，终边在第四象限，
所以的终边在第二､第三或第四象限；
（4）由（1）得，即，
所以的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上.
10．（2024·高一·全国·专题练习）已知角的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：
(1)；
(2)；
【解析】（1）由于为第四象限角可知，.
所以
当时，，终边在第二象限，
当时，，终边在第四象限，
所以的终边在第二或第四象限；
（2）由（1）得，
当时，，终边在第二象限，
当时，，终边在第三象限，
当时，，终边在第四象限，
所以的终边在第二、第三或第四象限.
11．（2024·高一·全国·专题练习）已知角为第三象限角，求角是第几象限角．
【解析】如图所示，
先将各象限分成等分，再从轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角的终边所在的区域，
角为第二或第四象限角．
12．（2024·高一·全国·课后作业）已知角是第三象限角，求所在的象限.
【解析】角是第三象限角,即,
对于：
，
当为偶数时，在第一象限；当为奇数时，在第四象限；
故在第二或第四象限；
对于：
，
当时，在第一象限；当时，在第三象限；当时，在第四象限；
故在第一，第三或第四象限.
题型四：象限角的判定
13．（2024·高一·江西南昌·阶段练习）角的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】，所以的终边所在的象限是第三象限.
故选：C.
14．（2024·高一·河南·阶段练习）已知角以x轴正半轴为始边，终边经过点，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】B
【解析】，，即，
故点P在第四象限，即角的终边在第四象限，
的终边为角终边的反向延长线，那么的终边在第二象限．
故选：B．
15．（2024·高一·重庆铜梁·阶段练习）的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】且角是第二象限角，
角的终边在第二象限.
故选：B
16．（2024·高一·河北邢台·阶段练习）是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】A
【解析】，
与终边相同，所以是第一象限角．
故选：A.
题型五：区域角的表示
17．（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，则图中表示角的终边所在区域正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当，时，角的终边落在第一象限的角平分线上，
当，时，角的终边落在y轴的非负半轴上，
按照逆时针旋转的方向确定范围可得角的终边所在区域如选项B所示．
故选：B．
18．（2024·高三·全国·专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样；
当时，，此时表示的范围与表示的范围一样，
故选：C．
19．（2024·高一·山西朔州·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，，
当时，,所以选项C满足题意.
故选：C.
20．（2024·高一·广西钦州·阶段练习）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】集合中，
当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限；
当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限.
所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示.
故选：B.
题型六：弧度制与角度制的互化
21．（2024·高一·陕西渭南·阶段练习）经过2小时，钟表上时针转过的弧度数为 .
【答案】
【解析】根据题意，表盘平分为12等份，每等份对应的弧度数大小为，
经过2小时，钟表上时针转过的弧度数大小为，
因为时针按顺时针转动，钟表上时针转过的弧度数为，
故答案为：.
22．（2024·高一·上海闵行·阶段练习）将角度化为弧度： .
【答案】
【解析】.
故答案为：
23．（2024·高一·陕西渭南·阶段练习）化成弧度是 .
【答案】
【解析】.
故答案为：
24．（2024·高一·新疆喀什·期末）的角化成弧度制为 ．
【答案】
【解析】因为，所以.
故答案为：
题型七：扇形的弧长及面积公式的应用
25．（2024·高一·天津·期末）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为 .

【答案】
【解析】因为扇形的院校为，
又因为，，
所以，该扇环形砖雕的面积为.
故答案为：.
26．（2024·高一·江苏扬州·期中）已知扇形的圆心角为2rad，弧长为2cm，则该扇形的面积为 ．
【答案】1
【解析】设扇形半径为，弧长为，圆心角为，
则，
扇形面积为．
故答案为：1．
27．（2024·高一·云南昆明·期末）已知某扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的面积为 ．
【答案】
【解析】由扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的面积为.
故答案为：.
28．（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为 米；面积为 平方米.

【答案】
【解析】如图所示，过作于，的延长线交于.
则，，所以，，
所以，，
所以矢为，
则弧田面积是.
故答案为：；.
题型八：扇形中的最值问题
29．（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
（1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；
（2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？
【解析】（1）由题意，如下图示，令圆弧的半径为，，
∴，即，得，
∴弧田面积，而，
∴.
（2）由题意知：弧长为，即该扇形周长，而扇形面积，
∴当且仅当时等号成立.
∴当时，该扇形面积最大.
30．（2024·高一·陕西商洛·期中）已知扇形的圆心角是，半径为.
（1）若，求扇形的弧长.
（2）若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
【解析】（1），.
（2）由已知得，，所以，
所以当时，取得最大值25，此时，.
31．（2024·高一·全国·课后作业）已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R.
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?
【解析】（1）设扇形的弧长为l，弓形面积为S，则
，，，
.
（2）设扇形弧长为l，则，即，
∴扇形面积，
∴当时，S有最大值，此时，.
因此当时，这个扇形面积最大.
32．（2024·江苏南京·一模）园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米，圆心角为(弧度）的扇形观景水池，其中为扇形的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24 万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.
（1）当和分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；
（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.
【解析】（1）步道长为扇形周长，利用弧长公式及扇形面积公式可得不等式，利用基本不等式将不等式转化为关于的一元不等式，解得的范围，确定最大值为400.（2）由条件得，消得，由及，解出，根据二次函数最值取法得到当时，最大
试题解析：（1）由题意，弧长AB为，扇形面积为，
由题意，即，
即，
所以，所以，，则，
所以当时，面积的最大值为400.
（2）即，代入可得
或，
又，
当与不符，
在上单调，当时，最大平方米，此时.
【重难点集训】
1．将化为的形式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】.
故选：A.
2．若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为，
在内阴影部分对应角的范围是，
所以角的取值范围是.
故选：D
3．若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为扇形的面积为，半径为1，且设圆心角为，
所以，解得，故B正确.
故选：B
4．是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】B
【解析】由可得，是第二象限角.
故选：B.
5．如图，已知的半径是2，点、、在上，若四边形为菱形，则图中阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，连接，因为四边形为菱形，所以,
所以和均为等边三角形，且边长为，其中，
可得，
所以四边形的面积为
又由扇形的面积为，
所以阴影部分的面积为.
故选：C.
6．如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，扇形的圆心角为，且
所以,
所以，
且,
所以阴影部分的面积为.
故选：C.
7．与60°角终边相同的角可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】A,B弧度角度混用，错误.
与60°角终边相同的角可以表示，则C错误．
弧度制下表示为，则D正确.
故选：D.
8．集合中角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】当时，，
此时表示的范围与表示的范围一样；
当时，，
此时表示的范围与表示的范围一样.
故选：C．
9．（多选题）将下列角度与弧度进行互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A，因，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
10．（多选题）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】对A,B在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误．
对C，，则与终边相同，而与终边相同，
且化为角度制即为，则与的终边相同，
则是与的终边相同的角的表达式，故C正确；
对D，由C得与终边相同，
则与终边相同的角可以写成的形式，则D正确．
故选：CD．
11．（多选题）已知一根长为L的铁丝，现在要把这根铁丝正好折成一个扇形，且使得扇形的面积最大．则下列选项中正确的是（ ）
A．当扇形的面积最大时，扇形的半径为
B．扇形面积的最大值为
C．当扇形的面积最大时，扇形的半径为
D．扇形面积的最大值为
【答案】BC
【解析】设扇形的半径和弧长分别为，由题意知：
则，当且仅当时，即时等号成立，
故BC正确，AD错误，
故选：BC．
12．已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是 .
【答案】2
【解析】依题意，设扇形的圆心角为，
因为扇形的半径是，弧长为，
所以由，得，则.
故答案为：.
13．要在半径cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧的长为cm，则圆心角的弧度数是 ．
【答案】
【解析】圆心角的弧度数为.
故答案为：
14．终边落在图中阴影部分（包括边界）角的集合为（用弧度制表示） .

【答案】
【解析】结合图象设终边落在阴影部分的角是，满足条件的角的集合是
.
故答案为:.
15．用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合．
【解析】终边落在射线OA上的角为，，即，，
终边落在射线OB上的角为，，即，，
故终边落在阴影部分内（含边界）的角θ的集合为．
16．如图，AB是⊙O的直径，点C是BA延长线上一点，CD切⊙O于D点，弦，Q是AB上一动点，CA＝1，CD是⊙O半径的倍．
(1)求⊙O的半径R；
(2)当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不发生变化，请你求出阴影部分的面积．
【解析】（1）根据题意，得，
由切割线定理，得CD2＝CA•CB，3R2＝1＋2R，解得：R＝1或（负数舍去）．
即⊙O的半径R为1；
（2）当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积不发生变化．
连接OD、OE；
∵DE∥CB，∴S△ODE＝S△QDE；∴S阴影＝S扇形ODE；
∵CD切⊙O于D点，∴DO⊥CD，∴∠CDO＝90°，
∵，∴∠DCO＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠ODE＝60°，
∴△ODE是等边三角形；∴．
17．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为；
(1)若，求扇形的弧长；
(2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径.
【解析】（1），
.
（2）由已知得，，
所以，，
所以当时，面积取得最大值，
此时，所以.
18．如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，已知，.
(1)求；
(2)若几何图形的周长为4，则当为多少时，最大？
【解析】（1）由，则，，
所以，即，，
.
（2）由（1）知，，
几何图形的周长为，
，当且仅当，即时，最大值为1.
【高考真题】
1．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以．
故选：B．
2．（海南省2024-2025学年高三上学期学业水平诊断（一）数学试题）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（ ）

A．3B．2C．D．
【答案】A
【解析】如图，设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，则，
所以，得，又，所以．
故选：A
3．（湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿．如果大轮的转速为180（转/分），小轮的半径为10cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是（ ）cm．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】大轮有45齿，小轮有30齿，…当大轮转动一周时小轮转动周，
当大轮的转速为180时，小轮转速为，
小轮周上一点每1s转过的弧度数为：．
又小轮的半径为10cm，所以小轮周上一点每1s转过的弧长为：．
故选：B