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    2024-2025学年人教A版2019高一数学同步精品试题5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(八大题型)(Word版附解析)

    2024-2025学年人教A版2019高一数学同步精品试题5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(八大题型)(Word版附解析)第1页
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    人教A版 (2019)必修 第一册5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质精练

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质精练,共32页。
    TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc183008571" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc183008571 \h 2
    \l "_Tc183008572" 题型一:正余弦函数的周期问题 PAGEREF _Tc183008572 \h 2
    \l "_Tc183008573" 题型二:正余弦函数的奇偶问题 PAGEREF _Tc183008573 \h 3
    \l "_Tc183008574" 题型三:正余弦函数的对称问题 PAGEREF _Tc183008574 \h 5
    \l "_Tc183008575" 题型四:正余弦函数的单调问题 PAGEREF _Tc183008575 \h 7
    \l "_Tc183008576" 题型五:根据正余弦函数单调性求参数的范围问题 PAGEREF _Tc183008576 \h 8
    \l "_Tc183008577" 题型六:比较大小 PAGEREF _Tc183008577 \h 12
    \l "_Tc183008578" 题型七:正余弦函数的最值与值域问题 PAGEREF _Tc183008578 \h 13
    \l "_Tc183008579" 题型八:正余弦函数的综合应用 PAGEREF _Tc183008579 \h 14
    \l "_Tc183008580" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc183008580 \h 19
    \l "_Tc183008581" 【高考真题】 PAGEREF _Tc183008581 \h 30
    【题型归纳】
    题型一:正余弦函数的周期问题
    1.(2024·高一·全国·课后作业)若函数满足:①,②,则可以是( ).
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】由题意可知,函数周期为的偶函数,
    函数周期为的奇函数,不适合题意;
    函数周期为的偶函数,不适合题意;
    函数不具有周期性,不适合题意;
    函数周期为的偶函数,适合题意.
    故选:D
    2.(2024·高一·广东东莞·期中)函数的最小正周期是( )
    A.B.C.6D.
    【答案】D
    【解析】函数的最小正周期为.
    故选:D
    3.(2024·高一·上海·课后作业)函数的最小正周期( )
    A.与有关,且与有关B.与有关,但与无关
    C.与无关,且与无关D.与无关,但与有关
    【答案】D
    【解析】由题意,函数,
    当时,函数,此时函数的最小正周期为;
    当时,函数,此时函数的最小正周期为,
    所以的最小正周期与无关,且与有关.
    故选:D.
    4.(2024·高一·全国·随堂练习)函数是( )
    A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数
    C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数
    【答案】C
    【解析】因为,
    ,所以函数是最小正周期为.
    又因为,所以函数是奇函数.
    故函数是最小正周期为的奇函数.
    故选:C
    题型二:正余弦函数的奇偶问题
    5.(2024·高一·上海·课后作业)函数的奇偶性是 .
    【答案】奇函数
    【解析】令
    所以函数的定义域为

    所以
    所以函数为奇函数
    故答案为:奇函数
    6.(2024·高一·北京·期末)已知函数为奇函数, 则符合条件的一个的取值可以为 .
    【答案】(答案不唯一,)
    【解析】函数为奇函数,则,
    所以符合条件的一个的取值可以为.
    故答案为:
    7.(2024·高一·上海·期中)已知函数是奇函数,则 .
    【答案】
    【解析】由题意可知:关于原点对称,可知,
    且,所以.
    故答案为:.
    8.(2024·高一·内蒙古赤峰·阶段练习)若为偶函数,则 .
    【答案】1
    【解析】,
    定义域为R,
    由题意得,
    即,
    故,解得.
    故答案为:1
    9.(2024·高一·湖南长沙·期末)已知函数为奇函数,则 .
    【答案】/
    【解析】因为函数为奇函数,
    所以,所以,所以,
    又,所以时,.
    故答案为:
    10.(2024·高一·上海·阶段练习)函数,若,则 .
    【答案】0
    【解析】因为,
    可得,所以.
    故答案为:0.
    题型三:正余弦函数的对称问题
    11.(2024·高一·上海·随堂练习)函数的图象关于( ).
    A.y轴对称;B.直线对称;
    C.原点对称;D.直线对称.
    【答案】C
    【解析】是奇函数,图象关于原点对称,A错误,C正确;
    而,则直线都不是的图象的对称轴,CD错误.
    故选:C.
    12.(2024·高一·北京海淀·期末)已知,则下列直线中,是函数对称轴的为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】依题意,,解得,,
    对于A,,,则函数的图象关于不对称,A不正确;
    对于B,,,则函数的图象关于不对称,B不正确;
    对于C,,即,,
    ,则函数的图象关于对称,C正确;
    对于D,,,则函数的图象关于不对称,D不正确.
    故选:C
    13.(2024·高一·四川达州·阶段练习)若函数满足,则的值为( )
    A.1B.3C.4D.5
    【答案】B
    【解析】因为函数满足,
    可得函数关于点对称,所以,且,
    所以,则,
    又,当时,,所以.
    故选:B.
    14.(2024·高一·江苏常州·期中)已知函数的图象关于点对称,且,则的最小值为 .
    【答案】/
    【解析】由的图象关于点对称,得,
    由及得,或,
    当时,,由得的最小值为;
    当时,,由得的最小值为;
    综上所述,的最小值为;
    故答案为:.
    15.(2024·新疆·三模)已知函数的图像关于直线对称,则 .
    【答案】
    【解析】的图像关于直线对称,
    ,解得:
    当时,.
    故答案为:.
    题型四:正余弦函数的单调问题
    16.(2024·高一·全国·随堂练习)函数的单调递减区间为( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    【答案】C
    【解析】因为,
    且的单调递增区间为,,
    所以函数的单调递减区间为,.
    故选:C.
    17.(2024·高一·全国·课后作业)的单调递增区间为 .
    【答案】
    【解析】由,解得,
    所以的单调递增区间为.
    故答案为:
    18.(2024·高一·内蒙古·阶段练习)函数单调减区间为
    【答案】
    【解析】正弦函数的单调递减区间为,
    由,得,
    记,则,
    故答案为:.
    题型五:根据正余弦函数单调性求参数的范围问题
    19.(2024·高一·广东佛山·期中)已知函数,若函数在上单调递减,则的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】由,得到,
    又因为在上单调递减,所以,
    得到,又,,即,
    令,得到,
    故选:D.
    20.(2024·高三·全国·专题练习)已知函数在上存在最值,且在上单调,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】当时,因为,则,
    因为函数在上存在最值,可得,解得,
    当时,可得,
    因为函数在上单调,则,
    所以 ,其中,解得,
    所以,解得,
    又因为,则,所以,所以,
    因此的取值范围是.
    故选:D.
    21.(2024·高三·天津·开学考试)已知函数在内单调递减,是函数的一条对称轴,且函数为奇函数,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】因为函数在内单调递减,
    所以,得,
    因为是函数的一条对称轴,
    所以,①
    因为函数是奇函数,
    所以,②,
    由①②可得,,
    而,所以
    当时,,得,,
    因为,所以,
    即,
    当时,,显然此时函数单调递减,符合题意,
    所以
    当时,,得,,
    因为,所以,
    即,
    当时,,显然此时函数不是单调递减函数,不符合题意,
    所以.
    故选:B
    22.(2024·四川巴中·一模)已知函数,若,,且在上单调,则的取值可以是( )
    A.3B.5C.7D.9
    【答案】A
    【解析】因为,故时,函数取到最大值,
    又,可知为的对称中心,
    故,
    故;
    又在上单调,故,
    即,
    结合选项,当时,,时,函数取到最大值,
    故,则,
    结合,没有符合题意的值,不合题意;
    当时,,时,函数取到最大值,
    故,则,
    结合,没有符合题意的值,不合题意;
    当时,,时,取到最大值,
    故,则,
    结合,可得,则,
    由,得,
    由于在上不单调,故在上不单调,不合题意;
    当时,,时,取到最大值,
    故,则,
    结合,可得,则,满足为的对称中心,
    由,得,
    由于在上单调递减,故在上单调递减,符合题意;

    故选:A
    23.(2024·高一·山东聊城·期末)若是三角形的一个内角,且函数在区间上单调,则的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】当时,,
    由于是三角形的一个内角,所以,
    则,
    由于函数在区间上单调,
    所以,解得,
    即的取值范围为.
    故选:B
    题型六:比较大小
    24.(2024·山东临沂·二模)若实数,,满足,,,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】因为,
    又,则,且,即,
    因为,所以,
    所以.
    故选:A
    25.(2024·高一·海南·阶段练习)已知,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【解析】依题意,,而,
    即,所以.
    故选:A
    26.(2024·高一·贵州遵义·阶段练习)设,,,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】由于,,,
    因此,
    故选:A
    27.(2024·高一·江苏苏州·开学考试)设,,,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】,则,
    ,,即,

    故.
    故选:C.
    题型七:正余弦函数的最值与值域问题
    28.(2024·高一·上海·课后作业)函数,值域是 .
    【答案】
    【解析】因为,所以,

    所以函数,值域是.
    故答案为:
    29.(2024·高一·山东潍坊·阶段练习)已知函数,.则的最大值为 .
    【答案】1
    【解析】因为,所以,
    又函数在上单调递增,在上单调递减,
    所以,所以的最大值为1.
    故答案为:1.
    30.(2024·高一·全国·课后作业)使有解的的取值范围为 .
    【答案】
    【解析】由于,若有解,
    则,解得,
    故答案为:.
    31.(2024·高一·河北衡水·期中)函数的最大值为 .
    【答案】
    【解析】由于,所以.
    又函数,
    所以当时,.
    故答案为:.
    题型八:正余弦函数的综合应用
    32.(多选题)(2024·高一·广东茂名·阶段练习)已知函数,则( )
    A.y=fx的图象关于对称
    B.的一个周期为
    C.y=fx的图象关于直线对称
    D.的值域为
    【答案】AC
    【解析】对于选项A:令,解得,
    可知的定义域为,
    且,

    可得,所以关于对称,故A正确;
    对于选项B:因为,
    所以不是的周期,故B错误;
    对于选项C:因为,
    所以是的一条对称轴,故C正确;
    对于选项D:令,则,
    且在单调递增,则,
    可知在上的范围为,
    且,可知为奇函数,
    则在上的范围为,
    所以的值域为,故D错误.
    故选:AC.
    33.(多选题)(2024·高一·江苏盐城·开学考试)函数在上单调递增,下列命题正确的是( )
    A.在区间上单调递减
    B.的图象有一个对称中心为
    C.是图象的一条对称轴
    D.在上的值域为
    【答案】ABD
    【解析】由,得,而在,
    则,解得,
    由,解得,则,,
    又,因此,,
    对于A,当时,,而在上单调递减,
    因此在区间上单调递减,A正确;
    对于B,,则的图象的一个对称中心为,B正确;
    对于C,,则不是图象的对称轴,C错误;
    对于D,当时,,,
    因此,D正确.
    故选:ABD
    34.(2024·高一·浙江衢州·期末)已知函数,.
    (1)当时,求函数的最小值;
    (2)若的最大值为1,求实数的值;
    (3)对于任意,不等式都成立,求实数的范围.
    【解析】(1)当时,,
    因为,
    所以当时,函数有最小值,最小值为,
    (2)因为,
    当,即时,
    则当时,函数的最大值为,
    解得(舍去),或;
    当即时,则当时,函数有最大值,即,解得;
    当时,即时,则当时,函数有最大值,
    即,解得(舍去).
    综上,或5.
    (3)因为,
    令,由,得,
    则,
    因为都成立,
    所以都成立,
    所以在上恒成立,
    姐在恒成立,
    设,
    由对勾函数的性质易知函数在上为减函数,
    所以,
    所以.
    35.(2024·高一·广东深圳·期末)已知函数,函数的最小正周期为,且
    (1)求函数的解析式:
    (2)求使成立的的取值范围.
    【解析】(1)由,,则,
    又,即,即,
    又,则,即;
    (2)若,即,
    即有,
    即,
    故的取值范围为.
    36.(2024·高一·河南濮阳·期末)已知函数.
    (1)求的最小正周期及单调递减区间;
    (2)若在区间上的取值范围是,求实数的最大值.
    【解析】(1)的最小正周期,
    令,
    解得,
    所以的单调递减区间为.
    (2)由,可得,
    当时,,
    由正弦函数的性质可知,解得.
    所以实数m的最大值为.
    37.(2024·高一·安徽马鞍山·期末)已知函数.
    (1)若,求函数的单调递增区间;
    (2)当时,函数的最大值为1,最小值为,求实数的值.
    【解析】(1)依题意,
    由,得,
    所以函数的单调递增区间为.
    (2)当时,,则,即,
    令,则,显然,
    当时,函数在上单调递减,于是,解得,
    当时,函数在上单调递增,于是,解得,
    所以实数的值为或.
    【重难点集训】
    1.已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】由题设知:,即,
    则,,
    所以.
    故选:A.
    2.音乐是用声音来表达人思想感情的一种艺术,是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受.法国的数学家傅里叶说:“任何声乐都是形如‘’的各项之和”,其中每一项都代表一种有适当频率和振幅的简单声音.某音乐的数学模型可以用函数表示,则下列结论中正确的个数是( )
    ①是周期为的周期函数
    ②是函数的一个单调递增区间
    ③若,,则的最小值为
    ④的对称中心为,
    A.0个B.1个C.2个D.3个
    【答案】C
    【解析】因为,所以周期不是,①错误;

    ,所以不是fx的单调递增区间,②错误;
    ,
    因为设,
    所以,
    所以,
    所以的最小值为,③正确;
    ,④正确.
    故选:C.
    3.已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【解析】当时,.
    因为在上有且仅有2个零点,
    所以,解得.
    故选:C
    4.函数的值域为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】由,得,
    则.
    故选:C.
    5.已知函数在区间上单调递减,,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】在区间上单调递减,,
    由,得①.
    又,∴fx图象关于点对称,
    即②.
    由②-①得,由于,
    则,代入①,即,
    由于,则.
    故选:C.
    6.函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心,则的取值范围为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【解析】由x∈0,1,设,则,
    由图可知直线在线段之间,不含点,
    所以,得.
    故选:C.
    7.设函数,若对任意的实数x都成立,则的最小值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】由对任意的实数x都成立,得在处取得最大值,
    则,解得,
    所以的最小值是.
    故选:B
    8.已知函数,则图象有如下性质( )
    A.关于点中心对称B.关于直线轴对称
    C.关于点中心对称D.关于点中心对称
    【答案】C
    【解析】ACD选项,

    故,
    故关于点中心对称,C正确,AD错误;
    B选项,,
    故不关于直线轴对称,B错误.
    故选:C
    9.(多选题)已知函数的最小正周期为,在上单调递增,且( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】BC
    【解析】因为函数的最小正周期为,
    所以,解得,故A错误;
    所以,又,
    所以,则,又,
    所以,故B正确;
    所以,
    又,则,因为在上单调递增,
    所以,解得,故C正确;
    因为,,
    所以,故D错误.
    故选:BC
    10.(多选题)关于函数有下述四个结论,其中正确的是( )
    A.是偶函数
    B.在区间上单调递增
    C.的最大值为2
    D.在有4047个零点
    【答案】AC
    【解析】由题意得,
    所以是偶函数,故A正确,当时,,
    此时在区间上单调递减,故B错误,
    因为,,所以,且,
    所以的最大值为2,故C正确,
    当时,,所以此区间上有无数个零点,
    故在不可能只有4047个零点,故D错误.
    故选:AC
    11.(多选题)设,函数,,则( )
    A.函数为奇函数
    B.函数为偶函数
    C.时,在区间上无对称轴
    D.时,在区间上单调递减
    【答案】BCD
    【解析】对于A,,则,
    故函数为偶函数,故A错误;
    对于B,,则,
    故函数为偶函数,故B正确;
    对于C,当,时,,
    ∴,,∴,
    ∵在区间上无对称轴,
    故在区间上无对称轴,故C正确;
    对于D,若,当时,.
    ∴,∴.
    ∴根据复合函数的单调性,可知时,单调递增,
    又在区间0,π上单调递减,
    ∴在区间上单调递减,故D正确.
    故选:BCD.
    12.(多选题)对于函数和,下列说法中正确的有( )
    A.与有相同的零点B.与有相同的最大值
    C.与有相同的最小正周期D.与的图象有相同的对称轴
    【答案】BC
    【解析】A选项,令,解得,即为零点,
    令,解得,即为零点,
    显然零点不同,A选项错误;
    B选项,显然,B选项正确;
    C选项,根据周期公式,的周期均为,C选项正确;
    D选项,根据正弦函数的性质的对称轴满足,
    的对称轴满足,
    显然图像的对称轴不同,D选项错误.
    故选:BC
    13.已知函数在上有两个零点,则m的取值范围为 .
    【答案】
    【解析】当时,,
    由,得;
    由,得,
    因此函数,
    在上单调递增,函数值从增大到,
    在上单调递减,函数值从减小到,
    且,
    由函数在上有两个零点,得,解得,
    所以m的取值范围为.
    故答案为:
    14.函数的值域为 .
    【答案】
    【解析】因为,所以,
    故,令,
    得到,由二次函数性质得在上单调递减,
    在上单调递增,所以的最小值为,
    而,,故,故原函数值域为.
    故答案为:
    15.已知函数在上单调递减,则实数ω的取值范围为 .
    【答案】.
    【解析】因为函数,
    令,可得,
    即函数的单调递减区间为,
    又因为函数在区间上单调递减,可得,
    解得,
    又由,可得,即且,所以,
    令,可得,
    即实数的取值范围为.
    故答案为:.
    16.已知函数.
    (1)求函数的最小正周期和最大值;
    (2)求函数在上的单调区间.
    【解析】(1)因为

    所以函数的最小正周期为,函数的最大值为;
    (2)设,解得.
    所以函数的单调递减区间是,
    又因为,
    所以分别取和1,取交集可得在上的单调递减区间为和.
    设,解得.
    所以函数的单调递增区间是,
    又因为,
    所以取,取交集可得在上的单调递增区间为.
    17.已知函数.
    (1)求函数的最小正周期;
    (2)求函数的单调增区间;
    (3)当时,求函数的最小值及相应的x的值.
    【解析】(1)由,则函数最小正周期为.
    (2)令,∴,,
    故函数的单调递增区间为,.
    (3)时,,
    当,即时取得最小值.
    18.已知函数
    (1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图象;
    列表:
    作图:
    (2)直接写出函数的值域和单调递增区间.
    【解析】(1)列表:
    图象如图所示:
    (2)因为,则,即值域为.
    由解得,
    所以函数的递增区间为出
    19.已知在上是单调函数,函数的图象关于点中心对称,且对任意的,都有.
    (1)求解析式;
    (2)若函数在上有两个零点,,求的值.
    【解析】(1)由题对任意,都有,故当时,取得最大值.
    因为在是单调函数,且的图象关于点对称,
    所以得,所以
    又因为函数在时取得最大值,所以,,
    即,.因为,所以,
    所以:.
    (2)因为,令,则
    在内的图象如图所示,
    由题函数在有两个零点,,
    即与在内有两个交点,,
    数形结合可得:,,即,
    所以.
    【高考真题】
    1.(2024年北京高考数学真题)设函数.已知,,且的最小值为,则( )
    A.1B.2C.3D.4
    【答案】B
    【解析】由题意可知:为的最小值点,为的最大值点,
    则,即,
    且,所以.
    故选:B.
    2.(2024年天津高考数学真题)已知函数的最小正周期为.则在区间上的最小值是( )
    A.B.C.0D.
    【答案】D
    【解析】因为函数的最小正周期为,则,所以,
    即,当时,,
    所以当,即时,
    故选:D
    3.(2023年天津高考数学真题)已知函数的图象关于直线对称,且fx的一个周期为4,则的解析式可以是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【解析】由函数的解析式考查函数的最小周期性:
    A选项中,B选项中,
    C选项中,D选项中,
    排除选项CD,
    对于A选项,当时,函数值,故是函数的一个对称中心,排除选项A,
    对于B选项,当时,函数值,故是函数的一条对称轴,
    故选:B.
    4.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】依题意可得,因为,所以,
    要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点,又,的图象如下所示:
    则,解得,即.
    故选:C.
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