高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用课后测评，共40页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc184664118" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc184664118 \h 2
\l "_Tc184664119" 题型一：三角函数模型在物理学中的应用 PAGEREF _Tc184664119 \h 2
\l "_Tc184664120" 题型二：三角函数模型的实际应用 PAGEREF _Tc184664120 \h 4
\l "_Tc184664121" 题型三：数据拟合问题 PAGEREF _Tc184664121 \h 6
\l "_Tc184664122" 题型四：三角函数在圆周中的应用 PAGEREF _Tc184664122 \h 10
\l "_Tc184664123" 题型五：几何中的三角函数模型 PAGEREF _Tc184664123 \h 18
\l "_Tc184664124" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc184664124 \h 22
\l "_Tc184664125" 【高考真题】 PAGEREF _Tc184664125 \h 37
【题型归纳】
题型一：三角函数模型在物理学中的应用
1．（2024·高一·全国·单元测试）如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s（单位:cm）和时间t（单位:s）的函数关系为，那么单摆摆动的频率为 ，第二次到达平衡位置O所需要的时间为 s．

【答案】 /0.5
【解析】单摆摆动的频率
当时，，故第一次到达平衡位置O的所需要的时间为．
所以第二次到达平衡位置O所需要的时间为
故答案为：；.
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，一根绝对刚性且长度不变､质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，若函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为 .

【答案】
【解析】由函数的图象，可得，解得，所以，
又由，可得，解得
因为，所以，所以，
由区间的区间长度为，即区间长度为个周期，
当区间在同一个单调区间时，不妨设，可得
则，
因为，可得，当或时，取最小值；
当区间在不同一个单调区间时，不妨设，可得，
此时函数在上先增后减，此时，
不妨设，则
，
.
综上可得，最小值为.
故答案为：.
3．（2024·高一·云南昆明·期末）一个单摆作简谐振动位移-时间图象如图所示，S表示离开O的位移（单位：cm），t表示振动的时间（单位：s），则该简谐振动的振幅为 cm，振动的最小正周期为 s．
【答案】 6 4
【解析】单摆作简谐振动的位移-时间图符合正弦型函数，
由图可知振幅为6，最小正周期为．
故答案为：；
4．（2024·高三·广东揭阳·期末）如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压U（单位：V）和时间t（单位：s）满足.在一个周期内，电压的绝对值超过的时间为 .（答案用分数表示）.
【答案】s
【解析】由已知，，，
.
在区间内，令，或，
可得，；
同理令，可得，.
综上，电压的绝对值超过的时间为（s）.
故答案为：s．
题型二：三角函数模型的实际应用
5．（2024·高一·福建泉州·期中）某地新建了一处云顶观景塔，引来广大市民参观，张同学在与塔底水平的处，利用无人机在距离地面的处观测塔顶的俯角为30°，在无人机正下方距离地面的处观测塔顶仰角为60°，则该塔的高度为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据题意可得，，，所以，设塔顶为点，作于，如下图所示：
易知，所以，
所以，同理，
即塔高，所以该塔的高度为．
故选：C．
6．（2024·高一·山东青岛·阶段练习）如图，将地球近似看作球体，设地球表面某地正午太阳高度角为为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），为该地的纬度值.已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即.北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（ ）
A．北纬B．北纬
C．南纬D．南纬
【答案】C
【解析】由题可知，天安门广场的太阳高度角，
由华表的高和影长相等可知，所以.
所以该天太阳直射纬度为南纬
故选：C
7．（2024·高一·江西萍乡·期末）如图所示是一个主体高为的螺旋形旋转滑梯.某游客从该滑梯顶端出发一直滑到底部，把其运动轨迹投影到滑梯的轴截面上，得到的曲线对应的方程为（，）（，的单位：），若该游客整个运动过程中相位的变化量为，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由旋转滑梯高为知，投影到轴截面上后，游客对应在横轴上移动的距离是，
当时，初相为，且游客一直滑到底部，则最后的相位为，
故整个运动过程中，相位的变化量为 ，.
故选：D.
题型三：数据拟合问题
8．（2024·高一·四川凉山·期末）某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增.下表是2024年前四个月的统计情况：
现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系.
(1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式；
(2)按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？
【解析】（1）由表中数据可知，收购价格月份变化上下波动，应选模型①，
由表中数据可知，养殖成本逐月递增，应选模型②，
对于模型①，由点及，可得函数周期满足，
即，所以，
又函数最大值为，最小值为，解得，，
所以，又，所以，
又，所以，
所以模型①；
对于模型②，图象过点，，
所以，
解得：，所以模型②；
（2）由（1）设，，
若时则盈利，若则亏损；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
这说明第5，6，7月份可能盈利，8月份生猪养殖户可能出现亏损．
9．（2024·高一·江西景德镇·期中）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：
该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．
【解析】（1）画出散点图，连线如下图所示：
设，根据最大值13，最小值7，可列方程为：，
再由，得，
；
（2）．
∵，
∴，
∴，或
解得，或，
所以请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的．
10．（2024·高一·全国·课后作业）下表是某地某年月平均气温（华氏度）：
以月份为x轴（月份），以平均气温为y轴.
（1）用正弦曲线去拟合这些数据；
（2）估计这个正弦曲线的周期T和振幅A；
（3）下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？
①；②；③.
【解析】解析（1）如图.
（2）最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0，故，所以.
因为2A的值等于最高气温与最低气温的差，即，所以.
（3）因为月份，所以不妨取.
代入①，得，故①不适合，
代入②，得，故②不适合，
代入③，得，所以③适合.所以③最适合这些数据.
11．（2024·高一·江西宜春·期末）某地农业检测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增．下表是今年前四个月的统计情况：
现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系．
（1）请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式；
（2）按照你选定的函数模型，帮助该部门分析一下，今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有没有可能亏损？
【解析】（1）对于模型①，由点及可得函数周期满足，即，所以，
又函数最大值为，最小值为，解得，，
所以，又，所以，
又，所以，
所以模型①；
对于模型②，图象过点，，
所以，
解得：，所以模型②；
（2）由（1）设，，
若时则盈利，若则亏损；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
这说明第8，9，11，12这四个月收购价格低于养殖成本，生猪养殖户出现亏损．所以今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有可能亏损．
题型四：三角函数在圆周中的应用
12．（2024·高一·四川绵阳·期末）风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为（，，）．
(1)求函数的解析式；
(2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长．
【解析】（1）由题意，得风机的角速度每秒，当时．
解得
．
（2）令，则，即，
，解得，．
当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，
在转动一周的过程中，点P离地面的高度不低于80米的时长为秒．
13．（2024·高一·全国·课后作业）在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果（时间近似到0.1小时），结果如表所示：
(1)试选用一个形如的函数来近似描述一年（按365天计）中该细菌一天内存活的时间y与日期位置序号x之间的函数解析式；
(2)用（1）中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时．
【解析】（1）设细菌存活时间与日期位置序号x之间的函数解析式满足
，
由已知表可知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，
∴，故，
又，故，
又，∴．
当时，，
∴，
∴．
（2）由得，
又，
∴，
可得，
易知，
∴这种细菌一年中大约有121天的存活时间大于15.9小时．
14．（2024·高一·山东济宁·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图1，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.
(1)如图2，建立平面直角坐标系，游客甲在P处坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
(2)求游客甲在开始转动10min后距离地面的高度；
(3)如图2，若甲、乙两人先后分别坐在两个相邻的座舱里，两人的位置分别用点A，B表示，在运行一周的过程中，求经过tmin后，乙距离地面的高度的函数解析式，并求出两人距离地面高度相等的时刻t(精确到0.1).
（参考公式：)
【解析】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系.
设时，游客甲位于点P，因为转盘直径为110m，所以，以OP为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度为，又摩天轮最高点距离地面高度为120m，最低点距离地面高度为
由题意可得.
H关于t的函数解析式为.
（2）由（1）可知时，
.
所以，游客甲在开始转动10min后距离地面的高度约为92.5m.
（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则，经过后甲距离地面的高度为，点B相对于A始终落后，此时乙距离地面的高度为
，
两人距离地面高度相等的时刻，
方法一：甲、乙分别位于最高点的两侧，并且具有对称性的时刻，两人距离地面高度相等因为转一周大约需要30min，，所以甲从最低点开始转动，转过，乙从最低点开始转动，转过，
此时时间为.
所以，两人距离地面高度相等的时刻t约为15.3
方法二：即H1=H2时，即，
可得，解得.
所以，两人距离地面高度相等的时刻t约为15.3
方法三：甲乙距离地面的高度差为
，
利用，可得：
，
当时，，由题意可知：，
解得.
所以，两人距离地面高度相等的时刻t约为15.3.
15．（2024·高一·江西萍乡·期中）筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田.如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米.
(1)盛水筒经过秒后到水面的距离为米，求筒车转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽.（参考数据：）
【解析】（1）以简车中心为原点，与水面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，
由题知，，
又筒车半径为6，点的纵坐标为3，则，
由题知，，解得，，
故，；
（2）如图，作弦平行且等于盛水槽，则在中，
，，，则，
则距离水面的高度，
盛水筒转到盛水槽的正上方（即之间），能把水倒入盛水槽，
即当时符合题意，
则，即，解得，
因为，所以盛水筒转一圈的过程中，能把水倒入盛水槽的时间为秒.
16．（2024·高二·湖北武汉·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮等距离设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度关于时间（min）的函数关系式为，若甲､乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲､乙两人座舱高度差的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设甲位置对应的时间为，转到乙位置时对应的时间为，
则，
所以甲､乙两人座舱高度差为
，
所以甲､乙两人座舱高度差的最大值为.
故选：D.
17．（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒转动的角速度为，如图所示，盛水桶M（视为质点）的初始位置距水面的距离为3m，则3s后盛水桶M到水面的距离近似为（ ）（，）．
A．4.5mB．4.0mC．3.5mD．3.0m
【答案】B
【解析】根据题意，建立如下所示平面直角坐标系：
根据题意，盛水桶M到水面的距离与时间满足：；
因为筒转动的角速度为，故；
又；，解得，则；
又当时，，则，，则；
故当时，.
故选：B.
18．（2024·高一·四川南充·期中）阆中熊猫乐园承载着许多人的回忆，将乐园的摩天轮图（1）所示抽象成图（2）所示的平面图形．已知摩天轮的半径为40米，其中心点距地面45米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每24分钟转一圈．摩天轮上一点距离地面的高度为（单位：米），若从摩天轮的最低点处开始转动，则与转动时间（单位：分钟）之间的关系为．则摩天轮转动8分钟后，求点距离地面的高度（ ）
A．50米B．60米C．65米D．75米
【答案】C
【解析】由题意知：摩天轮上一点距离地面的高度为（单位：米）与转动时间（单位：分钟）之间的关系为．
所以由图可知，，，于是，
由于点是从摩天轮的最低点处开始按逆时针开始转动，则当时，，
代入点得，，又，解得，
又由函数的周期，解得，则，
当（分钟）时，（米）.
故选：C
题型五：几何中的三角函数模型
19．（2024·高一·江苏常州·期末）王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼.诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远"的哲理，因此成为千古名句，我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径R=6371km，如图，设O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置(人的高度忽略不计)，按每层楼高3m计算，“欲穷千里目”即弧的长度为500km，则需要登上楼的层数约为（ ）（参考数据：，，）
A．5800B．6000C．6600D．7000
【答案】C
【解析】O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置，的长度为km，
令，则，
∵，，，
∴，
又，
所以按每层楼高m计算，需要登上6600层楼.
故选：C.
20．（2024·高一·广东广州·阶段练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？”设，现有下述四个结论，其中错误的结论为（ ）
A．水深为尺B．芦苇长为尺
C．D．
【答案】B
【解析】设尺，则尺，
尺，，，AC=13尺.
，由，解得（负根舍去）．
，故ACD正确，错误的结论为B．
故选：B.
21．（2024·四川成都·三模）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】如图所示：
．
连接，设，作，，垂足分别为．
根据平面几何知识可知，，，．
∴，．
故四边形的面积也为四边形的面积，
即有
，其中．
所以当即时，．
故选：D．
22．（2024·高一·上海·期中）一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．

(1)设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；
(2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．
【解析】（1）在Rt 中，，，所以 ，
在Rt 中，，即 ，又 ，
所以 ，
所以 的周长，
即;
当点 在点 时，角 最小，此时 ;
当点 在点 时，角 最大，此时 ;
故此函数的定义域是
（2）由题意可知，只需求出 的周长 的最小值即可
设 ，则 ，
则原函数可化简为 ，
因为 ，所以 ，，
则 ，
则
从而
则当时，即时，；
即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元.
23．（2024·高一·内蒙古赤峰·期末）如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形.记.
(1)用分别表示的长度：
(2)当为何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.
【解析】（1）在直角三角形中，，，
在直角三角形中，，所以，
所以
（2）设矩形的面积为，
所以
，
因为，所以
所以当，即时，
【重难点集训】
1．（2024·高二·海南·期中）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的周期是16
B．该函数图象的一条对称轴是直线
C．该函数的解析式是
D．这一天的函数关系式也适用于第二天
【答案】A
【解析】由题意及函数的图象知，，可得，
由，所以，故，A正确；
图象经过点，则，故，
但，故不是对称轴，
又，故φ可以取，所以，BC错误；
这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，D错误．
故选：A
2．（2024·高二·湖北武汉·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮等距离设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度关于时间（min）的函数关系式为，若甲､乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲､乙两人座舱高度差的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设甲位置对应的时间为，转到乙位置时对应的时间为，
则，
所以甲､乙两人座舱高度差为
，
所以甲､乙两人座舱高度差的最大值为.
故选：D.
3．（2024·高一·陕西渭南·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移小于的总时间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，
所以，，则，
令，得，
解得，
所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移小于的总时间为：
，
故选：D
4．（2024·高一·四川达州·期末）已知甲船在小岛B正东方向4海里的C处，乙船在小岛B正南方向3海里的A处．甲船沿北偏西方向直线航行．若乙船要与甲船会合，则乙船航行的最短里程为（ ）．
A．海里B．海里
C．海里D．海里
【答案】B
【解析】如图所示，过点A作于点D，由题意可知，即为乙船航行的最短距离.
因为在中，，所以，所以，
所以
，
所以在中，，
即乙船航行的最短里程为海里.
故选：B.
5．（2024·高一·江西宜春·期中）某卖场去年1至 12月份销售某款饮品的数量 （单位：万件）与月份x近似满足函数，已知在上单调，且对任意的，都有 ，若，则该卖场去年销售该款饮品的月销量不低于 65万件的月份有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】B
【解析】由题意可得，，
又在上单调，且对任意的，都有 ，
所以，
所以，
所以，即，
又因为，所以，
所以，
所以，
解得，
因为，
所以，即有5个月，
故选：B.
6．（2024·高一·四川·期中）筒车亦称“水转筒车”，是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假设在水流量稳定的情况下，一个半径为的筒车按逆时针方向做一圈的匀速圆周运动，已知筒车的轴心O到水面的距离为，且该筒车均匀分布有8个盛水筒（视为质点），以筒车上的某个盛水筒P刚浮出水面开始计时，设转动时间为t（单位：），则下列说法正确的是（ ）

①时，盛水筒P到水面的距离为；
②与时，盛水筒P到水面的距离相等；
③经过，盛水筒P共8次经过筒车最高点；
④记与盛水筒P相邻的盛水筒为Q，则P，Q到水面的距离差的最大值为．
A．①②B．②③C．①③④D．①②④
【答案】A
【解析】依题意作图如下：
以水车的轴心为原点建立直角坐标系如图，由题可知水车旋转一周的时间为4min，
当刚露出水面时，与轴的夹角是，相邻盛水桶之间的夹角是，
当旋转时，旋转了，旋转到点，
此时点到水面的距离为，所以①正确；
②当时，旋转了周，即，此时的位置是点，
与轴正半轴的夹角是，
当时，旋转了，即点，与轴正半轴的夹角也是，
点与点到水面的距离相等，所以②正确；
③经过，则水车转过了个周期，所以盛水桶共9次经过最高点，故③错误；
④设在的上方，与轴负方向的夹角为，，
则与轴负方向的夹角为，
相邻两筒到水面的距离差为：
，
其中，，
当时取最大值为，故④错误；
故选：A．
7．（2024·高一·山东青岛·阶段练习）如图，将地球近似看作球体，设地球表面某地正午太阳高度角为为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），为该地的纬度值.已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即.北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（ ）
A．北纬B．北纬
C．南纬D．南纬
【答案】C
【解析】由题可知，天安门广场的太阳高度角，
由华表的高和影长相等可知，所以.
所以该天太阳直射纬度为南纬
故选：C
8．（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）（多选）动点在以原点为圆心的单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】设动点与轴正方向夹角为，则时，的坐标是，则，
每秒钟旋转，故，
令，解得，
令可得，当，可得，
故动点的纵坐标关于都是单调递增的，
故选：AD.
9．（多选题）（2024·高一·广东肇庆·期中）如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5m.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）（在水面下时，为负数）.若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，与时间（单位：s）之间的关系为（，，），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】对于A，振幅A即为半径，，A正确；
对于B，筒车按逆时针方向每分钟转2圈，则，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，由，d＝0，得，则，D错误.
故选：AC
10．（多选题）（2024·高一·湖北·期中）如图，摩天轮的半径为50米，摩天轮的中心点距离地面的高度为55米，摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处，下列结论正确的是（ ）

A．经过12分钟，点首次到达最低点
B．第16分钟和第32分钟点距离地面一样高
C．从第28分钟至第40分钟点距离地面的高度一直在降低
D．摩天轮在旋转一周的过程中，点有8分钟距离地面的高度不低于80米
【答案】ABD
【解析】设为摩天轮匀速逆时针旋转的时间，单位为分钟，
则.
对于A选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈，
因为，则，令，解得，
所以经过12分钟，点P首次到达最低点，故A选项正确；
对于B选项，因为，
即，所以第16分钟和第32分钟点P距离地面一样高，B选项正确；
对于C选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈，
所以第28分钟至第40分钟，相当于第4分钟至第16分钟，
根据A选项可知，经过12分钟，点P首次到达最低点，
所以第4分钟至第12分钟，摩天轮高度降低，第12分钟至第16分钟，摩天轮高度上升，所以C选项错误；
对于D选项，由，则，
其中，即，
则或，解得或，
故摩天轮在旋转一周的过程中点P有分钟距离地面不低于80米， D选项正确.
故选：ABD.
11．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，的值域是，若，则的最小值为 ．
【答案】1
【解析】先证下面的结论：
若在上的值域为，
则当时，有最小值，
显然，记，
两边平方得：，
则
，
当，即，，时取等号，
此时有最小值，且，得证，
要取最小值，则周期要最大，
要最小，又，
故，，
当时，相减得，
当时，相减得，
故的最小值是1．
故答案为：.
12．（2024·高一·山东·阶段练习）如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮直径为40米，观览车中心O到地面的距离为22米，观览车每45分钟沿逆时针方向转动1圈.若是从距地面12米时开始计算时间时的初始位置（位置如图所示），以观览车的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设从点运动到点P时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h是关于t的函数.求当时， （单位：米）.

【答案】
【解析】观览车的角速度为，设，其中，
则，故，故，
故，
所以，其中，
故答案为：.
13．（2024·高一·全国·课后作业）如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系．
若该港口的水深和时刻的关系可用函数（其中）来近似描述，则该港口在11:00的水深为 m．
【答案】4
【解析】由题意得函数（其中）的周期为，
所以，得，
由表中数据可知最大值为7，最小值为3，则，解得，
所以，
所以该港口在11:00的水深为．
故答案为：4.
14．（2024·安徽池州·模拟预测）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为米的筒车按逆时针方向做每分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，分钟时，该盛水筒距水面距离为，则 .
【答案】3
【解析】由题意得，又，故，
且，解得，
故，
当时，，即，，
又，解得，
故，
所以
.
故答案为：3
15．（2024·高一·全国·课后作业）如图，某大风车的半径为，按逆时针方向匀速转动，每旋转一周，它的最低点离地面.风车圆周上一点从最低点开始，运动后与地面的距离为.
(1)求函数的关系式；
(2)画出函数的大致图象.
【解析】（1）如图，以为原点，过点的圆的切线为轴，建立平面直角坐标系.
过点作轴的垂线段，垂足为，连接.
设点的坐标为，则.
设，则，所以.
又，即，所以，
则.
（2）函数的大致图象如图所示.
16．（2024·高一·全国·课后作业）主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线，其振幅为2，且经过点.
(1)求该噪声声波曲线f（x）的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g（x）的解析式；
(2)证明：为定值.
【解析】（1）由振幅为2，，可得，，
由噪声声波曲线经过点，得，
而，，
则，则，
又降噪声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相反，
所以.
（2）由（1），
则
，
即为定值0.
17．（2024·高一·全国·课后作业）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表：
(1)从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
(2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
【解析】（1）把表格中的数据在坐标系内描出，如下，
由所描点知：应选择，
令，，，
依题意，函数的最大值为，最小值为，周期为，
则，，，
于是，代入点，得，
即，则，又，因此，
所以该模型的解析式为：.
（2）令，得，则，
解得，而，
当时，，则；当时，，则；
当时，，则，因此或或，
依题意，应在白天11点到19点之间训练较恰当.
18．（2024·高三·山东济宁·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要．

(1)求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求为何值时高度差最大．
（参考公式：，）
【解析】（1）设，则，
令时，则，，
又，解得，
所以，．
（2）由题意得：1号与9号座舱的角度差为．
不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，时1号与9号的高度分别为，，
则，，
所以高度，
由参考公式得，上式
从而高度差为，；
当，即，时，解得，，
又，所以或，此时高度差的最大值为．
19．（2024·高一·河南漯河·阶段练习）如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离为圆周上一点，且，点P从处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动.
(1)1秒钟后，求点P的横坐标；
(2)t秒钟后，求点P到直线l的距离用t表示的函数关系式.
【解析】（1）因运动速度为2秒一周，则每秒钟运动角度为.
初始位置为，与x轴正方向夹角为，则一秒后对应角度为.
则此时P的坐标为：，则横坐标为.
（2）由（1）分析可得：t秒钟后，点P的横坐标为.
则t秒钟后，求点P到直线l的距离用t表示的函数关系式为：.
【高考真题】
1．（2024·江西南昌·一模）“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一.已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲乙两人相差10分钟坐上摩天轮，那么在摩天轮上，他们离地面高度差的绝对值的取值范围是 .
【答案】
【解析】设甲乙两人坐上摩天轮的时间分别为，，
则甲乙两人坐上摩天轮转过的角度分别为，，
则甲距离地面的高度为，
乙距离地面的高度为，
则
因为，所以，所以，
即.
故答案为：.
2．（2024·江苏泰州·模拟预测）为某商品设计一个“H”型商标，如图所示，“H”型商标由两竖一横三个等宽的矩形组成．设计要求“H”型商标关于点O中心对称，两个竖直矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的2倍，点O到点A的距离为4cm．若记“H”型商标的面积为S，则S的最大值为 ．
【答案】
【解析】记为右侧竖直矩形，过作，垂足为，交于，
设，，
所以，，
所以，，
所以，由已知，
所以“H”型商标的面积，
所以，
所以，
所以当时，取最大值，最大值为，
此时，
故答案为：.
3．（2024·四川·模拟预测）如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则经过10分钟点Q距离地面 .米
【答案】
【解析】依题意，设距离水平地面的高度，
所以，，则，
所以，
则，
故答案为：.
4．（2024·广东佛山·二模）近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为，圆上两点A，B始终满足，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即秒时，点A位于圆心正下方：则 秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为 .
【答案】
【解析】以O为原点，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由于角速，
设点，圆上两点A、B始终保持，
则，要使A、B两点的竖直距离为0，
则，第一次为0时，，解得，
.
故答案为：；
月份
1月份
2月份
3月份
4月份
收购价格（元/斤）
8
9
8
7
养殖成本（元/斤）
5
5.58
6
6.32
t（小时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.1
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
月份
1月份
2月份
3月份
4月份
收购价格（元/斤）
6
7
6
5
养殖成本（元/斤）
3
4
4．6
5
日期
1月1日
2月28日
3月21日
4月27日
5月6日
6月21日
8月13日
9月20日
10月25日
12月21日
日期位置序号x
1
59
80
117
126
172
225
263
298
355
存活时间y小时
5.6
10.2
12.4
16.4
17.3
19.4
16.4
12.4
8.5
5.4
时刻
0
3
6
9
12
15
18
21
24
水深（m）
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.6
1.0