中考数学一轮复习过关练1.1题型突破训练：与实数有关的计算（2份，原卷版+解析版）

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题型1：实数的混合计算
典例：（2022·广西·南宁十四中九年级期中）计算：．
解：
．
巩固练习
1．（2022·重庆巴蜀中学九年级期中）______．
解： ，
故答案为：．
（2）（2022·重庆八中九年级期中）计算：___________．
解：
．
故答案为：．
2．（2022·江苏·盐城市初级中学一模）计算：．
【答案】
【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而合并得出答案．
【详解】解：
【点睛】此题主要考查了零指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值，实数的运算，正确化简各数是解题关键．
3．（2022·四川乐山·九年级期中）计算：．
【答案】
【分析】原式先化简算术平方根和绝对值，然后再合并即可．
【详解】解：

【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4．（2022·上海·青浦区实验中学九年级期中）计算：．
【答案】
【分析】根据，，，去绝对值，分母有理化，然后进行加减，即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查实数，二次根式的知识，解题的关键是，，，分母有理化．
5．（2022·江苏·连云港市新海初级中学三模）计算：．
【答案】0
【分析】根据绝对值的意义，求一个数的立方根以及零指数幂进行运算即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，求一个数的立方根以及零指数幂等知识点，灵活运用所学知识点是解本题的关键．
6．（2022·江苏·射阳县第四中学二模）计算：
【答案】
【分析】先化简二次根式和计算零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂，实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键，注意非零底数的零指数幂结果为1．
7．（2022·广西·平果市教研室九年级期末）计算：．
【答案】
【分析】分别计算负指数幂、三角函数值、根式化简、去绝对值，然后计算即可．
【详解】解：原式=
=
=
=
=
【点睛】本题考查了与负指数幂、特殊角三角函数值、二次根式化简、绝对值化简相关的实数混合运算，熟练掌握相关知识并正确运算是解题关键．
8．（2022·江苏·阳山中学九年级期中）计算：
(1)
(2) ；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
（2）根据化简二次根式，特殊角的三角函数值，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，实数的混合运算，二次根式的性质化简，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
9．（2022·山东·淄博市张店区第九中学九年级期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再根据实数混合运算法则进行计算即可；
（2）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再根据实数混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
题型2：程序计算中的实数运算
典例：（2022·河北邢台·七年级期末）按下面程序计算：
（1）当输入时，输出的结果为______
（2）若输入的值为大于1的实数，最后输出的结果为17，则符合条件的的值是______
解：（1）当时，
∴
∴输出的数是26．
（2）当第一次输出的结果为17时，
∴
解得：或
又∵
∴
当第二次输出的结果为17时，则

∴ （舍去）
解得：（舍去）
当第三次输出的数为17时，则
此时不合题意，舍去，
综上：x的值为：或4
故答案为：（1）26；（2）或4
巩固练习
1．（2022·浙江·杭州绿城育华学校一模）有一个数值转换器，原理如下：当输人的时，输出的等于
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据程序进行计算即可．
【详解】解：输入时，取算术平方根为，是有理数，
输入时，取算术平方根为，是无理数，输出，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，根据程序设计进行计算是解题的关键．
2．（2022·河北·一模）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ）
A．3+B．15+C．3+3D．15+7
【答案】D
【分析】按所示的程序将输入，结果为，小于15；再把作为n再输入，所得结果大于15，则就是输出结果，所得结果小于15，再次循环输入，直到输出结果．
【详解】解：当时，
当时，，
故选：D．
【点睛】本题以一种新的运算程序考查了实数的运算，解题关键判断结果与15的大小，要注意两方面：①新的运算程序要准确；②实数运算要准确．
3．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（ ）
A．输入值为16时，输出值为4
B．输入任意整数，都能输出一个无理数
C．输出值为时，输入值为9
D．存在正整数，输入后该生成器一直运行，但始终不能输出值
【答案】D
【分析】根据运算规则即可求解．
【详解】解∶A．输入值x为16时，，，即y=，故A错误；
B．当x=0， 1时，始终输不出y值． 因为0， 1的算术平方根是0， 1，一定是有理数，故B错误；
C．x的值不唯一． x=3或x=9或81等，故C错误；
D．当x= 1时，始终输不出y值． 因为1的算术平方根是1，一定是有理数；故D正确；
故选∶D．
【点睛】本题考查了算术平方根及无理数的概念，正确理解给出的运算方法是关键．
4．（2022·山东济宁·八年级期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的x值为，则最后输出的结果是（ ）
A．B．C．24D．
【答案】B
【分析】把x=代入代数式x（x+1）得到结果，若大于7则输出，若结果不大于7再次代入，循环后满足条件即为所求结果．
【详解】解：当x=时，x（x+1）= ，
∵4＜5＜9
∴2＜＜3，
∴＞7
∴最后输出的结果为．
故选：B．
【点睛】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序框图的意义是解本题的关键．
5．（2022·浙江·七年级专题练习）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．
其中错误的是（ ）
A．①②B．②④C．①④D．①③
【答案】D
【分析】根据运算规则即可求解．
【详解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误；
②输入值x为16时，，故②说法正确；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；
④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．
其中错误的是①③．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
6．（2022·全国·九年级专题练习）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 _____．
【答案】1
【分析】根据程序分析即可求解．
【详解】解：∵输出y的值是2，
∴上一步计算为或
解得（经检验，是原方程的解），或
当符合程序判断条件，不符合程序判断条件
故答案为：1
【点睛】本题考查了解分式方程，理解题意是解题的关键．
7．（2022·北京海淀·九年级期末）给定二元数对（p，q），其中或1，或1．三种转换器A，B，C对（p，q）的转换规则如下：
（1）在图1所示的“A—B—C”组合转换器中，若输入，则输出结果为________；
（2）在图2所示的“①—C—②”组合转换器中，若当输入和时，输出结果均为0，则该组合转换器为“____—C—____”（写出一种组合即可）．
【答案】 1 A A
【分析】（1）利用转换器C的规则即可求出答案．
（2）利用转换器A、B、C的规则，写出一组即可．
【详解】（1）解：利用转换器C的规则可得：输出结果为1．
（2）解：当输入时，若①对应A，此时经过A、C输出结果为（1，0），②对应A，输出结果恰好为0．
当输入时，若①对应A，此时经过A、C输出结果为（0，1），②对应A，输出结果恰好为0．
故答案为：1；A；A．
【点睛】本题主要是新定义题目，利用题目所给规则，进行分析判断，即可解答出该题目．
8．（2022·河北·廊坊市第十六中学七年级期末）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为2时，输出的y值是______．
（2）当输出的y值为时，请写出两个满足条件的x的值为______和______．
【答案】 3 9
【分析】（1）将x=2代入程序进行计算即可；
（2）根据算术平方根的定义进行取值．
【详解】解：（1）当x=2时，输出y=．
故答案为：；
（2）当x=3时，y=，
当x=9时，=3，3是有理数，不能输出，
是无理数，y=；
故答案为：3；9．
【点睛】此题考查了运用算术平方根解决程序计算问题的能力，关键是能准确求解算术平方根，并能辨别无理数．
9．（2022·福建厦门·七年级期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为时，输入值x为2或4；
②当输入值x为9时，输出值y为；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．
其中正确的是________．
【答案】②④##④②
【分析】根据流程图逆向分析即可判断①，把x=9代入流程图判断②；通过特殊值法排除③；当x=1时判断④．
【详解】解：①当时，，，2取算术平方根为，输出值y为，则输入值x为2或4或等，故①不符合题意；
②，取算术平方根为，输出值y为，故②符合题意；
③如x=π2时，是正无理数不是正整数，输出值y为π是正无理数，故③不符合题意；
④当x=1，1的算术平方根为1，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值，故④符合题意；
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了实数的性质，求一个数的算术平方根，无理数的定义，理解题意是解题的关键．
10．（2022·河北·邯郸市第二十三中学七年级期中）任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算．
(1)当m=1时，输出的结果为________．
(2)当实数m的一个平方根是﹣时，求输出的结果．
【答案】(1)0
(2)-2
【分析】（1）将m=1代入流程图，逐步计算即可；
（2）根据题意求出m的值，代入流程图计算即可求出值．
（1）解：当m=1时，
；
（2）根据题意得：m==3，
∴．
【点睛】此题考查了实数的运算，以及平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（2022·上海·七年级专题练习）如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
(1)当x为9时，y值为 ；
(2)如果输入0和1， （填“能”或“不能”）输出y值；
(3)当输出的y值是时，请写出满足题意的x值： ．（写出两个即可）
【答案】(1)
(2)不能
(3)5或25（答案不唯一）
【分析】（1）根据运算流程图，即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，即可判断；
（3）根据运算法则，进行逆运算即可得到满足题意的x值．
【详解】（1）解：当输入x=9时，9的算术平方根为3，不是无理数，3的算术平方根为，
即；
故答案为：
（2）解：当输入x=0或1时，因为0的算术平方根是0，始终是有理数，1的算术平方根是1，也始终是有理数，
所以不能输出y；
故答案为：不能
（3）解：当时，，此时x=5；
当时，，，此时x=25；
故答案为：5或25（答案不唯一）
【点睛】本题考查了无理数以及算术平方根，正确理解工作流程图是解题的关键．
题型3：定义新运算
典例：（2022·江苏宿迁·七年级期中）设a、b都表示有理数，规定一种新运算“※”：当时，，当时，．例如：，．
(1)_______________；
(2)求的值；
(3)若有理数x在数轴上对应点的位置如图所示，设：；，比较m、n的大小关系．
解：（1），
；
（2）
；
（3）由数轴知，
，
，
．
巩固练习
1．（2022·陕西咸阳·八年级期中）现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有，则的值为________．
【答案】8
【分析】根据新运算要求可知两个数进行新运算等于这两个数和的算术平方根，再加上这两个数的乘积与1的和的立方根，再代入计算即可．
【详解】．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的计算，理解新定义是解题的关键．
2．（2022·山东德州·九年级期中）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．若函数，求方程的解为___________．
【答案】，
【分析】根据新定义的规定先计算，再解方程．
【详解】解：，
又，
．
．
，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的直接开平方法．掌握新定义规定的运算和一元二次方程的解法是解决本题的关键．
3．（2022·山东潍坊·八年级期中）定义一种运算☆，规则为，根据这个规则，若，则x=___________．
【答案】1
【分析】根据给定的新定义，可得，进一步可得，解分式方程即可
【详解】解：根据给定的定义，
得，
∴，
去分母，得：，
解得，
经检验，是原方程的根，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了解分式方程和新定义的综合，理解新定义并熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
4．（2022·山东烟台·期中）在有理数的原有运算法则中，补充新的运算法则“”如下：当时，；当时，．则当时，______．
【答案】
【分析】根据题意，当时，；当时，，当时，，，，由此即可求解．
【详解】解：当时，，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查有理数的定义新运算，掌握有理数的加法、减法、乘法运算法则是解题的关键．
5．（2022·山东·商河县第三实验学校八年级期中）规定以下两种变换：①，如；②，如，按照以上变换有：，那么等于_____．
【答案】
【分析】直接利用新定义分别化简，进而得出答案．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】此题考查新定义的运用，仔细阅读题干，理解材料的含义是解题的关键．
6．（2022·江苏无锡·七年级期中）定义一种新运算：，则计算___________．
【答案】
【分析】根据新运算的定义代入直接计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了新运算和有理数的混合运算，理解新运算的定义是解题的关键．
7．（2022·安徽·宣城十二中七年级期中）对于实数、，定义运算：；如：​，．照此定义的运算方式计算___________ ．
【答案】1
【分析】由题中规定的运算规则，分别计算出，即可．
【详解】解：根据题意得：，，
则．
故答案为：．
【点睛】本题是新运算问题，考查了有理数的混合运算，负整数指数幂，理解题中定义的新运算规则是关键．
8．（2022·贵州六盘水·七年级期末）规定一种新运算法则：，例如：．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)5
(2)．
【分析】（1）利用已知的新定义计算即可；
（2）利用新定义计算出，再利用等式的性质得出，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，以及有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，利用已知的新的运算法则进行计算．
9．（2022·江西景德镇·八年级期中）定义：如果两个无理数的乘积等于一个有理数，即，则称a和b是关于c的共轭数例：，则称和是关于4的共轭数．
(1)已知和b是关于6的共轭数，则b=______．
(2)若和是关于3的共轭数，求m的值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】(1)根据定义，得到，计算即可．
（2）根据定义，得到，展开化简计算即可．
【详解】（1）因为和b是关于6的共轭数，
所以，
所以，
故答案为：．
（2）因为和是关于3的共轭数，
所以，
所以，
所以，
解得．
【点睛】本题考查了新定义计算，正确理解新定义是解题的关键．
10．（2022·河北石家庄·九年级期中）定义新运算“¤”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算．
如，．
据此，解答下列问题：
（1）___________；
（2）方程的解为____________；
（3）若关于的方程有一个解为，则的值为___________．
【答案】 0 2
【分析】（1）根据题目定义运算法则进行代入计算；
（2）由题意构造一元一次方程并求解；
（3）根据定义和方程解的定义代入计算．
【详解】解：（1），
故答案为：0；
（2）由题意得方程，
整理得，
解得或，
故答案为：或；
（3）由题意得方程，
将代入得，
解得，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了实数运算和解一元二次方程及新定义问题的解决能力，解题的关键是能准确理解并运用以上知识进行列式、代入并求解．
11．（2022·江苏徐州·七年级期中）[概念学习]
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如 ． 等．类比有理数的乘方，我们把记作 ，读作“2的圈3次方”， 记作 ，读作“−3的圈4次方”，一般地，
把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”．
[初步探究]
（1）直接写出计算结果：＝ ，
（2）关于除方，下列说法错误的是
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；
C． ；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
[深入思考]我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照图中的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
＝ ；＝ ；＝ ．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ；
（3）算一算：．
【答案】[初步探究]（1）（2）C [深入思考]（1）， ， （2）（3）
【分析】[初步探究]
（1）根据新定义计算；
（2）根据新定义可判断C符合题意；
[深入思考]
（1）把有理数的除方运算转化为乘方运算进行计算；
（2）利用新定义求解；
（3）先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算．
【详解】[初步探究]
（1） ，
故答案为： ；
（2）任何非零数的圈2次方都等于1，故A正确，不符合题意；
对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1，故B正确，不符合题意；
， ，故C错误，符合题意；
负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故D正确，不符合题意；
故答案为：C；
[深入思考]
（1）；； ；
故答案为： ； ； ；
（2） ；
（3）


【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，涉及新定义，解决本题的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
题型4：与实数运算相关的规律探究
典例：（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心八年级期中）观察下列等式：；
；
；……
(1)请写出第n个等式：xn=____________；
(2)根据以上规律，计算____________．
(1)解：根据规律可知，，
故答案为：；
(2)
．
故答案为：．
巩固练习
1．（2022·浙江·杭州市清河实验学校七年级期中）观察下列等式：，试利用上述规律判断算式结果的末位数字是（ ）
A．0B．1C．3D．7
【答案】A
【分析】先根据给出的已知条件得到尾数以四次循环，再得到，结合每组尾数的和，从未可得答案．
【详解】解：∵
∴尾数以四次循环，
而，，
∴的末位数字为0，
故选A．
【点睛】本题考查的是数字的规律探究，总结出尾数以四次循环是解本题的关键．
2．（2022·福建宁德·八年级期中）有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将这列数据改写成：，，，，，…，按照三步确定结果：一确定符号，二确定分子，三确定分母即可．
【详解】解：，，，，，…可写出：
，，，，，…，
∴第10个数为，
故选：D．
【点睛】本题考查数字类变化规律，解题的关键是把已知的一列数变形，找到变化规律．
3．（2022·江苏·七年级专题练习）各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出，的值分别为（ ）
A．9，10B．9，91C．10，91D．10，110
【答案】C
【分析】分析前三个图形，有：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，由此即可求出a、b、c
【详解】由前三个图形，有：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，


故选：C
【点睛】本题考查规律中的数字变换，分析前面的图形，得出：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，找出给定的数之间的关系时解题关键．
4．（2022·山东潍坊·七年级期中）观察下列各式：，，，
试运用你发现的规律计算：_____．
【答案】
【分析】通过观察所给的等式，将所求的式子变形为，再计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字的变化规律，解题的关键是通过观察所给的等式，探索出运算的一般规律，并能灵活应用该规律进行计算．
5．（2022·辽宁鞍山·七年级期中）观察下列各式：（1）；（2）；（3）；…，根据上述规律，则______．
【答案】155
【分析】根据前面几个算式的值，探究总结出规律，再计算的值．
【详解】解：因为＝5＝1×4+1，
＝11＝2×5+1，
＝19＝3×6+1，
…，
∴＝11×14+1＝155．
故答案为：155．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，解决问题的关键是根据已知算式探究规律，运用探究总结的规律解答．
6．（2022·吉林·长春市实验中学七年级期末）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，-1的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差的倒数，…，依此类推，的差倒数=_____．
【答案】
【分析】根据题目中的数据，可以写出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到a2011的值．
【详解】解：由题意可得，
，
，
，
，，
由上可得，这列数依次以循环出现，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字的变化类、新定义，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，求出相应项的值．
7．（2022·山东·广饶县乐安街道乐安中学期末）2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1的个位数字为_____
【答案】1
【分析】将2写成3-1，再采用平方差公式逐级计算，最终原式为364，再根据3的整数次幂的个位数字每4个数字为一个循环组依次循环，即可求解．
【详解】解：原式＝(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1
＝(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1
＝(34-1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1
＝(38-1)(38+1)(316+1)(332+1)+1
＝(316-1)(316+1)(332+1)+1
＝(332-1)(332+1)+1
＝364-1+1
＝364，
∵31＝3，32＝9，33＝27，24＝81，25＝243，…
∴3的整数次幂的个位数字每4个数字为一个循环组依次循环，
∵64＝16×4，
∴364的个位数字与34的个位数字相同，为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了平方差公式以及实数的运算等知识，将原式变为364是解答本题的关键．
8．（2022·山东济南·期中）已知：
；
；
；
…
(1)猜想填空：=______．
(2)计算：
① ；
②．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）从等式的序号数与平方幂底数之间的关系上去探索规律，计算即可．
（2）① 根据计算即可．②变形=，根据规律计算即可．
【详解】（1）因为；
；
；
…
所以，
故答案为：．
（2）① 根据规律，得．
②因为
=，
根据规律计算得：
=．
【点睛】本题考查了等式型数字规律探索，熟练掌握等式序号与平方幂底数之间的关系探索是解题的关键．
9．（2022·福建宁德·八年级期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：
，（是的面积）；
，（是的面积）；
，（是的面积）；
…
(1)请你直接写出______，______；
(2)请用含有（为正整数）的式子填空：______，______；
(3)在线段、、、…、中，长度为正整数的线段共有______条．
(4)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值；
【答案】(1)10，
(2)，
(3)44
(4)18
【分析】（1）认真阅读新定义，根据已知写出答案即可；
（2）认真阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可；
（3）通过分析数据不难发现当边长正好是根号下一个正整数的平方时，出现的就是正整数．分析2022最接近哪个正整数的平方．
（4）化简整理后求值即可．
【详解】（1）解：由题意可得，，，
故答案为：10，
（2）由题意可得，，
故答案为：，
（3）解：线段、、、…、的长分别是、、、、...、．
长度为正整数的数字分别是1、2、3、4、5、、a，
∵，，
∴，
∴线段、、、…、中，长度为正整数的线段共有 44条．
故答案为：44．
（4）
；
【点睛】本题考查了数学中的阅读能力，以及对新定义的理解，还有二次根式的化简，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算．
10．（2022·福建·宁德市博雅培文学校九年级期中）阅读下列解题过程：
请你参考上面的化简方法，解决如下问题：
(1)计算：；
(2)计算：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照题意求解即可；
（2）先仿照题意证明，进而将原式转变为，据此求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
∴
．
【点睛】本题主要考查了分母有理化与实数运算有关的规律，正确理解题意并且熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．
11．（2022·吉林白城·七年级期末）观察表格，回答问题：
(1)表格中________，________；
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，则________；
②已知，若，用含m的代数式表示b，则________；
(3)试比较与a的大小．
当________时，；当________时，；当________时，．
【答案】(1)0.1；10；
(2)①31.6；②；
(3)，或0，．
【分析】（1）由表格得出规律，求出与的值即可；
（2）根据得出的规律确定出所求即可；
（3）分类讨论的范围，比较大小即可．
【详解】（1）解：，．
故答案为：0.1；10；
（2）解：①根据题意得：．
②结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍，
．
故答案为：31.6；；
（3）解：当或1时，；
当时，；
当或0时，；
当时，，
故答案为：，或0，．
【点睛】本题考查了实数的比较，弄清题中的规律是解本题的关键．
题型5：与数轴有关的实数运算
典例：（2022·福建·厦门市杏南中学七年级期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
(1)实数m的值是 ；
(2)求的值；
(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求2c﹣3d的平方根．
（1）解：∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，
∴点B所表示的数为，
∴实数m的值为，
故答案为：；
（2）∵实数m的值为，
∴m＋1＝，m−1＝，
∴＝；
（3）∵与互为相反数，
∴，
∴2c＋4＝0，＝0，
∴c＝－2，d＝4或－4，
①当c＝－2，d＝4时，
则2c﹣3d＝－16，无平方根；
②当c＝－2，d＝－4时，
则2c﹣3d＝8，2c﹣3d的平方根为，
综上，2c﹣3d的平方根是．
巩固练习
1．（2022·河北石家庄·八年级期中）实数在数轴上的大致位置是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【答案】D
【分析】估算出的范围即可得出答案．
【详解】∵，
∴在数轴上位于3和4之间，即大致位置是点D．
故选D．
【点睛】本题考查无理数的估算，实数与数轴．能够掌握无理数的估算是解题的关键．
2．（2022·江苏·南京师范大学附属中学树人学校二模）如图，四个实数在数轴上的对应点分别为点M，P，N，Q．若点M，N表示的实数互为相反数，则图中表示正数的点的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据“点M，N表示的实数互为相反数”，可得原点在的中点处，从点在数轴上的位置即可判断．
【详解】∵点M，N表示的实数互为相反数，
∴原点在的中点处，
从数轴上可以看出点M点在原点的左侧，为负数，P、N、Q点在原点的右侧，为正数，
故选：C
【点睛】考查数轴、相反数的意义，掌握相反数则是位于原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，并确定原点的位置是关键．
3．（2022·广西·贺州市八步区教学研究室八年级期末）如图，数轴于A，，，以O为圆心，以OC长为半径作圆弧交数轴于点P，则点P表示的数为（ ）
A．B．2C．5D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理分别求出、的长，再由作图可得答案．
【详解】解：∵，AB⊥数轴于A，
∴，
∵且，
∴，
由作图知，
所以点P表示的数为，
故选：A．
【点睛】本题考查的是实数与数轴、勾股定理等知识，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
4．（2022·广东·育才三中七年级期中）实数，，，在数轴上对应点的位置如图所示，正确的结论是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】观察数轴，找出，，，四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．
【详解】解：根据数轴，，，，，
A．∵，，
∴，故此选项不符合题意；
B．∵，，
∴，故此选项不符合题意；
C．∵，，
∴，故此选项不符合题意；
D．∵，
∴，
又∵，
∴，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查实数与数轴，绝对值，实数的大小比较，数轴的特征．一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．观察数轴，利用所学知识逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
5．（2022·北京房山·八年级期中）如图，直径为1个单位长度的圆，在数轴上从表示的点A滚动一周到点B，则点B表示的无理数为 _____．
【答案】##
【分析】先计算圆的周长，根据题意再计算即可得出答案．
【详解】根据题意可得，圆的周长为，
则点B表示的数是从向右移动，
∴点B表示的无理数为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了无理数及实数与数轴，熟练掌握无理数及实数与数轴上的点是一一对应关系进行求解是解决本题的关键．
6．（2022·福建三明·八年级期中）如图，数轴的正半轴上有两点，表示和的对应点分别为，，点，在数轴上，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的数为．
(1)当所表示的数为且在的右边时，求出的值；
(2)当D所表示的数为时，求出x的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出之间的距离即为的值；
（2）根据题意可得，当D所表示的数为时，分点在的左边或者右边两种情况求解即可．
【详解】（1）∵点、分别表示，，
∴，
∵所表示的数为且在的右边，设点所表示的数为．
∴；
（2）解：∵，，
当D所表示的数为时，
①当在的左边， ，
②当在的右边时， ，
∴或．
【点睛】本题考查了数轴上两点距离，实数与数轴，分类讨论是解题的关键．
7．（2022·湖北省宜昌市渔峡口中学七年级期中）如图所示，数轴上点表示，点关于原点的对称点为，设点所表示的数为，求的值．
【答案】
【分析】先根据数轴上表示一对相反数的点关于原点中心对称得出，再代入，计算即可．
【详解】解：数轴上点表示，点关于原点的对称点为，
点表示的数是，即，
则
．
【点睛】此题考查了实数与数轴之间的对应关系，解题的关键是熟练掌握中心对称的定义，绝对值的定义及二次根式的运算方法．
8．（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校八年级期中）如图，纸上有五个边长为的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
(1)拼成的正方形的边长为______．
(2)如图，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是______．
(3)如图，网格中每个小正方形的边长为，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，求新的正方形的面积和边长．
【答案】(1)
(2)
(3)新的正方形的面积为，新正方形的边长为
【分析】(1)根据题意可得，5个小正方形的面积和是拼成的正方形的面积，求得面积的算术平方根即为大正方形的边长；
(2)利用勾股定理得出直角三角形的斜边长，进而根据线段的和差关系求出点A表示的数；
(3)图中阴影部分的面积相当于6个小正方形的面积，然后求面积的算术平方根即为新正方形的边长．
【详解】（1）设拼成的正方形的边长为，
则，
，
即拼成的正方形的边长为，
故答案为：；
（2）由勾股定理得：，
点表示的数为，
故答案为：；
（3）根据图形得：，即新的正方形的面积为，新正方形的边长为．
【点睛】题考查勾股定理与无理数、实数与数轴的综合应用，灵活运用图形变换对图形进行剪拼组合是解题关键．
9．（2022·北京房山·八年级期中）已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为，B表示的数为2，AB表示A，B两点之间的距离．若在数轴上存在一点C，使得，则称点C为点A，B的“n节点”．例如图1所示，若点C表示的数为0，有，则称点C为点A，B的“4节点”
(1)若点C为点A，B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为，则n=___________；
(2)若点D为点A，B的“节点，请直接写出点D在数轴上表示的数为 ___________；
(3)若点E在数轴上（不与A，B重合），满足A，E两点之间的距离是B，E两点之间的距离的倍，且点E为点A，B的 “n节点”，求n的值．
【答案】(1)6
(2)
(3)或4
【分析】（1）根据新定义求解；
（2）设未知数，根据新定义列方程求解；
（3）先求点E表示的数，再计算n的值．
【详解】（1）解：，
故答案为：6；
（2）解：设D表示的数为x，
则|，
∵，，
∴或，
当时，
，
解得：，
当时，
，
解得：，
故答案为：；
（3）解：设E点表示的数是y，
则：，
当时，
，
解得；
当时，
，
解得（舍去）；
当时，
，
解得；
∴．
当时，
，
当时，
．
∴n的值为或4．
【点睛】本题考查了新定义，数轴和实数，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键．
10．（2022·浙江杭州·七年级期中）如图两个网格都是由16个边长为1的小正方形组成．
(1)图①中的阴影正方形的顶点在网格的格点上，这个阴影正方形的面积为 ，若这个正方形的边长为a，则 ；
(2)请在图②中画出面积是5的正方形，使它的顶点在网格的格点上，若这个正方形的边长为b，则 ；
(3)请你利用以上结论，在图③的数轴上表示实数a，b和-a，-b，并将它们用“＜”号连接．
【答案】(1)10，
(2)画图见解析，
(3)数轴表示见解析，
【分析】（1）用大正方形面积减去周围四个三角形面积即可求出阴影部分的面积；根据正方形面积公式即可求出a的值；
（2）仿照题意作图，然后根据正方形面积公式求出b的值即可；
（3）根据（1）（2）所求，在数轴上表示出四个数，再根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将四个数连接起来即可
【详解】（1）解：由题意得，阴影部分面积，
∴，
∴，
故答案为：10，；
（2）解：如图所示，即为所求；
∵，
∴；
（3）解：数轴表示如下所示：
∴；
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，算术平方根，尺规作图—作线段，正方形面积的计算等知识；熟练掌握算术平方根的定义，并能进行尺规作图是解决问题的关键．
11．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级期中）如图（1），在4×4的方格中，每个小正方形的边长均为1．
(1)求图（1）中正方形的面积为 ；边长为
(2)如图（2），若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，长为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，求点E表示的数为
【答案】(1)10，
(2)
【分析】（1）用割补法求出正方形的面积，再根据算术平方根的定义即可求出边长；
（2）E表示的数比大，用加上长度即为E表示的数．
【详解】（1）解：∵正方形的面积是，
∴正方形边长为：；
（2）解：∵正方形边长为，
∴，
∴E表示的数比大，即E表示的数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根的意义，以及用数轴上的点表示实数，解题的关键是求出正方形的边长．
题型6：有理数的运算及应用
典例：（2022·江西景德镇·七年级期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，．
材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，．
(1) ______，=______；
(2)求的值：
(3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴ ，
故答案为：，；
（2）依题意，
；
（3）∵，，
∴，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
巩固练习
1．（2022·山东烟台·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)3
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用加法交换律和结合律进行计算；
（2）除法变乘法，再进行计算即可；
（3）利用乘法分配律进行计算；
（4）先乘方，去括号，再乘除，最后算减法．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握运算法则和运算律，是解题的关键．
2．（2022·广西·南宁市第四十七中学七年级期中）出租车司机小李某段时间在东西走向的大街上进行营运，规定向东为正，向西为负，他所接送的六位乘客的里程如下：（单位：千米），+6，，+3.5，，．
(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李处在第一次出发时的什么位置？
(2)若小李这段时间共耗油3升，则出租车的耗油量是每千米多少升？（精确到0.01升）
(3)小李预计每月行驶里程为0.8万千米，若每升油的价格为8.5元，那么小李每月在耗油方面需要多少元？
【答案】(1)小李处在第一次出发时的正西方向的千米处
(2)每千米的耗油量为0.07升
(3)小李每月在耗油方面需要元
【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据单位耗油量=耗油量÷行驶路程，可得答案．
（3）单位耗油量×行驶里程×每升价格可得答案．
【详解】（1）根据题意有：（千米），
根据向东为正，向西为负，
可知小李处在第一次出发时的正西方向的千米处；
（2）行驶的总里程为：（千米），
则该车的耗油量为：（升），
答：每千米的耗油量为0.07升．
（3）根据题意有：（元），
答：小李每月在耗油方面需要元．
【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的运算等知识，解题的关键是利用单位耗油量乘以行驶路程等于耗油量．
3．（2022·山东济南·七年级期中）为宣传健康知识，某社区居委会派车按照顺序为7个小区（分别记为A，B，C，D，E，F，G）分发防疫安全手册，社区工作人员乘车从服务点（原点）出发，沿东西向公路行驶，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：百米）：，，，，，，．
(1)请你在数轴上标记出D，E，F这三个小区的位置（在相应位置标记字母即可）
(2)服务车最后到达的地方距离服务点多远？若该车辆油耗为0.01升/百米，则这次分发工作共耗油多少升？
(3)为方便附近居民进行核酸检测，现居委会计划在这七个小区中选一个作为临时核酸检测点，为使七个小区所有居民步行到监测点的路程总和最小，假设各小区人数相等，那么监测点的位置应设在______小区．
【答案】(1)见解析
(2)服务车最后到达的地方距离服务点200米,共耗油升
(3)G
【分析】（1）由题意计算出D，E，F在数轴上对应的数即可；
（2）服务车最后到达的地方为G小区，计处出G点到原点的距离即可；求出所给数据的绝对值的和，得到该车辆行驶的总路程，乘以单位距离的油耗即可；
（3）根据数轴上两点间距离公式，以及绝对值的意义，可得检测点应设在最中间的小区．
【详解】（1）解：由题意，D在数轴上对应的数为，
E在数轴上对应的数为，
F在数轴上对应的数为，
因此在数轴上表示为：
（2）解：由题意知服务车最后到达的地方为G小区，G在数轴上对应的数为2，
(升),
因此服务车最后到达的地方距离服务点200米, 这次分发工作共耗油升；
（3）解：设检测点所设小区在数轴上对应的点为x,则七个小区到该检测点的距离之和为：
，
由绝对值的意义可知，当时，上面式子取最小值，
因此检测点应设在最中间的小区，即G小区．
【点睛】本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的应用，绝对值的应用等，第3问有一定难度，解题的关键是理解绝对值的意义．
4．（2022·山东烟台·期中）一辆警车某日从地出发，在一条东西方向的公路上巡逻，警察张叔叔每隔20分钟记录警车巡逻的行程情况（向东为正方向，单位：千米）：，，，，，，警车完成巡逻任务．
(1)时，警车在地的什么方向？距离地多远？
(2)张叔叔记录行程的过程中，警车在何时距离地最远？最远距离为多少？
(3)警车巡逻前油箱中有14升油，若巡逻时警车每千米耗油0.2升，请问中途是否需要加油？
【答案】(1)警车在A地的西边，距离A地2千米；
(2)距离地最远，最远距离为千米；
(3)中途需要加油．
【分析】（1）把巡逻所走路程相加，得到这辆警车司机所在的位置；
（2）把巡逻所走路程相加，再依次比较绝对值大小即可求解；
（3）巡逻各路程的绝对值与最后返回路程的绝对值的和是这辆警车行驶的总路程，根据：耗油量行驶路程每千米耗油量，计算这次巡逻耗油．
【详解】（1）解：（千米）；
答：警车在A地的西边，距离A地2千米；
（2）解：，14，
，，
，，
，，
，，
，，
其中算式结果绝对值最大的是．
故距离地最远，最远距离为千米；
（3）解：
（千米），
．
答：中途需要加油．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算及绝对值的意义，理解题意掌握耗油量的计算公式是解决本题的关键．
5．（2022·安徽芜湖·七年级期中）数学课上，李老师在黑板上写了一道题目：当n为正整数时，计算的结果．
琪琪说：因为n的值不确定，所以的结果也不能确定；
聪聪说：的结果是不变的，可以求出．
你同意谁的说法？请给出你的答案并说明理由．
【答案】同意聪聪的说法，，理由见解析
【分析】分类讨论，分别把当n为偶数时和当n为奇数时的两种情况列出来，代入式子求解即可．
【详解】解：同意聪聪的说法，，理由如下：
∵n为正整数，
∴n可能为偶数，也可能为奇数，
当n为偶数时，为奇数，此时，
当n为奇数时，为偶数，此时，
∴的结果是不变的，可以求出，
∴聪聪的说法是正确的．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，对n进行分类讨论是解题的关键．
6．（2022·山东烟台·期中）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．
(1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？
(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且，求p的值．
(3)若原点O到A、C两点距离相等，A点对应的数为a，B点对应的数为b，求的值．
【答案】(1)若以B为原点，则C表示1，A表示，，若以C为原点，
(2)
(3)2
【分析】（1）根据数轴的性质，求得对应的数，求解即可；
（2）根据题意，求得C表示，求出表示的数，即可求解；
（3）求得表示的数，代入求解即可．
【详解】（1）解：若以B为原点，则C表示1，A表示．
∴．
若以C为原点，则A表示，B表示，∴．
（2）解：若原点O在图中数轴上点C的右边，且
则C表示，B表示，A表示．
∴．
（3）解：若原点O到A、C两点距离相等，
，则
C点表示数的为，A点表示的数为，B点表示数的为，
则，，
∴
【点睛】此题考查了数轴的应用，涉及了绝对值的化简，数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点间的距离公式．
7．（2022·广东·测试·编辑教研五七年级期中）广州市教育局倡导全民阅读行动，婷婷同学坚持阅读，她每天以阅读30分钟为标准，超过的时间记作正数，不足的时间记作负数．下表是她一周阅读情况的记录（单位：分钟）：
(1)星期五婷婷读了______分钟；
(2)她读得最多的一天比最少的一天多了_____分钟；
(3)求她这周平均每天读书的时间．
【答案】(1)28
(2)25
(3)她这周平均每天读书的时间为34分钟．
【分析】（1）列出算式，再求出即可；
（2）用其中最大的正整数减去最小的负整数即可；
（3）先求出读书的总时间，再除以7即可．
【详解】（1）解：（分钟），
即星期五婷婷读了28分钟；
故答案为：28；
（2）解：（分钟），
即她读得最多的一天比最少的一天多了25分钟；
故答案为：25；
（3）解：（分钟），
（分钟），
答：她这周平均每天读书的时间为34分钟．
【点睛】本题考查了正数与负数以及有理数的混合运算，正确理解正数与负数的意义是解题的关键．
8．（2022·山东泰安·期中）如图，在一条不完整的数轴上一动点A向左移动5个单位长度到达点B，再向右移动9个单位长度到达点C．
(1)若点A表示的数为0，求点C表示的数；
(2)若点C表示的数为6，求点B、点A表示的数；
(3)如果点A、C表示的数互为相反数，求点B表示的数．
【答案】(1)4
(2)点B表示的数为，点A表示的数为2
(3)
【分析】（1）依据点A表示的数为0，利用两点间距离公式，可得点C表示的数；
（2）依据点C表示的数为6，利用两点间距离公式，可得点B、点A表示的数；
（3）依据点A、C表示的数互为相反数，利用两点间距离公式，可得点B表示的数．
【详解】（1）解：若点A表示的数为0，
∵，
∴点B表示的数为，
∵，
∴点C表示的数为4；
（2）解：若点C表示的数为6，
∵，
∴点B表示的数为，
∵，
∴点A表示的数为2；
（3）解：若点A、C表示的数互为相反数，
∵，
∴点A表示的数为，
∵，
∴点B表示的数为．
【点睛】本题主要考查了数轴和有理数的运算、数轴上两点间距离等，解题的关键是能根据题意列出算式．
9．（2022·江苏盐城·七年级期中）在学习完《有理数》后，小华对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“※”，规则如下：对于任意有理数a和b，规定．如：．
(1)求※2的值；
(2)化简：※3．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据新定义列出算式※，再进一步计算即可；
（2）根据题意列出算式※，再计算乘方、去括号、合并同类项即可．
【详解】（1）解：※2
；
（2）解：※3
．
【点睛】本题主要考查有理数混合运算和整式的加减，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．0
3
2
5
4
7
6
4
13
6
31
8
57
a
…
0.0001
0.01
1
100
10000
…
…
0.01
x
1
y
100
…
星期
一
二
三
四
五
六
日
与标准的差（分钟）
0