中考数学一轮复习过关练2.1方程（组）定义及解法知识点演练（讲练）（2份，原卷版+解析版）

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例1．（2022秋·河北邯郸·七年级校考期末）下列变形符合等式的性质的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
【答案】D
【分析】等式的基本性质：等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式；等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式；据此进行判断即可得出答案．
【详解】解：A、等式左边加上3，右边加上，不符合等式的性质，故不符合题意；
B、等式左边加上，右边加上，不符合等式的性质，故不符合题意；
C、等式左边除以，右边加上2，不符合等式的性质，故不符合题意；
D、等式两边同时除以，结果仍是等式，故符合等式性质，符合题意；
故选：D．
知识点训练
1．（2022秋·辽宁大连·七年级统考期中）在下列式子中，变形一定成立的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
【答案】B
【分析】根据等式的性质，等式两边同时加（或减）同一个数（或式子）等式仍成立；等式两边同时乘以同一个数（或式子），等式仍成立；等式两边同时除以一个不为零的数（或式子）等式仍成立，由此即可求解．
【详解】解：选项，等式两边同时加（或减）同一个数（或式子）等式仍成立，故选项错误；
选项，等式两边同时乘以，故选项正确；
选项，如果，那么，故选项错误；
选项，的值不确定，故选项错误．
故选：．
【点睛】本题主要考查等式的性质，掌握和理解等式的性质，尤其是等式两边同时除以一个不为零的数（或式子）等式仍成立是解题的关键．
2．（2022秋·天津河西·七年级统考期末）下列方程变形正确的是（ ）
A．由得B．由得
C．由得D．由得
【答案】C
【分析】等式的基本性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子）结果仍然石是等式；性质2：等式两边都乘同一个数或除以同一个不为零的数，结果仍然是等式．根据等式的基本性质，逐项判断即可．
【详解】解：A．由得， 故选项错误，不符合题意；
B．由得，故选项错误，不符合题意；
C．由得，故选项正确，符合题意；
D．由得，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，解答此题的关键是要明确等式的基本性质．
3．（2022秋·河北·七年级校联考期末）下列等式变形错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】根据等式的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、若，则，等式成立，不符合题意；
B、若，则，当时，等式不成立，选项错误，符合题意；
C、若，则，等式成立，不符合题意；
D、若，则，，等式成立，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查等式的性质．熟练掌握等式的性质，是解题的关键．
4．（2022秋·广东江门·八年级江门市第一中学校考期中）根据等式的性质，下列变形中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据等式的基本性质，逐个进行判断，即可进行解答．
【详解】解：A、若，则，故A不正确，不符合题意；
B、若，，则，故B不正确，不符合题意；
C、若，则，故C正确，符合题意；
D、若，则，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的性质一：等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立．性质二：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．
5．（2022秋·河北保定·七年级校考期末）如图，两个天平都平衡．当天平的一边放置3个苹果时，要使天平保持平衡，则另一边需要放香蕉（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【分析】通过等量关系，建立方程求解．
【详解】解：设一个苹果的重量是a，一个香蕉的重量是b，一根三角形物体的重量是c，由题意得：
，
∴，
∴，
（个），
即另一边需要放香蕉5个．
故选：D．
【点睛】本题考查等式性质，找到题中的等量关系是求解本题的关键．
6．（2022秋·江苏南通·七年级校联考期中）下列运用等式性质正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
【答案】C
【分析】根据等式的性质：等式的左、右两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式的左、右两边同时乘上或除以同一个数（0除外），等式仍然成立，由此进行判断即可．
【详解】解：A、如果，那么，不正确，本选项不符合题意；
B、如果，当 0时，那么，原说法错误，本选项不合题意；
C、如果，这时 0时，那么，原说法正确，本选项合题意；
D、如果，，那么，两边乘的数不相同，本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练运用等式的基本性质是解题的关键。
7．（2022秋·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，正确的个数（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据等式的性质依次判断即可．
【详解】解：∵等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立，
∴若，则；
∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，
∴若，则，故②正确；
∴若，则，故③正确；
∴若，当时，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是熟知：等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．
8．（2022秋·湖南郴州·七年级校联考期末）下列运用等式的性质进行的变形，错误的是（ ）
A．如果，则B．如果 ，则
C．如果 ，则D．如果 ，则
【答案】C
【分析】根据等式的性质判断即可．
【详解】解：A. 如果，则，说法正确，故不符合题意；
B. 如果 ，则，说法正确，故不符合题意；
C. 如果 ，则，只有当的时候才成立，说法错误，故符合题意；
D. 如果 ，则，说法正确，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键
考点2：方程的解
例2．（1）（2022秋·湖北武汉·七年级校考期末）如果是方程的解，则的值为______．
【答案】4
【分析】把代入原方程，即可求解．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
解得：，
故答案为：4
（2）（（2022秋·湖北黄石·七年级校考期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为_____．
【答案】
【分析】利用换元法可求得，即可求解
【详解】解：设，原方程可变为：，
∵方程的解为，
∴，
∴，
故答案为：
例3．（1）（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）若是二元一次方程的一个解，则的值为______．
【答案】
【分析】根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于，的方程，可得整体代数式的值，再代入代数式可得答案．
【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴代入得：，
∴，
故答案为：．
（2）（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）关于，的二元一次方程组，下列说法正确的是______．
当时，方程组的解为．
当时，方程组无解．
当时，无论为何值，方程组均有解．
当时，方程组有解．
【答案】
【分析】根据解二元一次方程的知识，进行求解，即可．
【详解】当时，二元一次方程组为：
令
得，，解得：
把代入式，得，解得：
∴当时，方程组的解为：；
故正确；
当时，二元一次方程组为：
解得：
∴当时，方程组的解为：；
故错误；
∵
∴
把代入中，得
∴
若，则，方程无解
当，且时，方程无解
∴错误；
当，
∴，
∴在中，，有意义，
∴当时，二元一次方程组有解，
∴正确，
∴正确的为：．
故答案为：．
例4．（1）（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）若a，b分别是方程的两根，则______________．
【答案】##
【分析】根据a，b分别是方程的两根，得出，，将变形得出，然后变形，最后代入求值即可．
【详解】解：∵a，b分别是方程的两根，
∴，，
∴，
即，
∴
．
故答案为：．
（2）（2021秋·广东东莞·九年级东莞市华侨中学校考期中）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则（ ）
A．1B．C．1或D．无法确定
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入已知方程列出关于系数的新方程，通过解方程即可求得的值．
【详解】解：关于的方程是一元二次方程，
，
．
根据题意，知满足关于的一元二次方程，
则，即，
解得，（不合题意，舍去），或．
故选：A．
例5．（1）（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知关于的方程的解大于1，则实数的取值范围是______．
【答案】，且
【分析】先解方程，再利用方程的解大于1，且求解即可．
【详解】解：方程两边乘得：，
移项得：，
系数化为1得：，
方程的解大于1，
，且，
解得，且．
故答案为：，且．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解题的关键是不要漏掉分式方程有意义的条件．
（2）（2022秋·湖南衡阳·八年级校考期中）已知关于的分式方程
(1)若方程的增根为，求的值；
(2)若方程无解，求的值．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）先把分式方程化为整式方程，再把代入整式方程，即可求解；
（2）根据方程无解可得两种情况：①时，方程无解，②方程有增根，进而即可求解．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以，
去分母并整理得，
是分式方程的增根，
，
解得：；
（2）解：由（1）知，当时，该方程无解，此时；
当时，要使原方程无解，
则，
解得：或，
即或 ，
或，
综上，的值为或 或．
例6．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知关于的分式方程．
(1)若这个方程的解是负数，求的取值范围；
(2)若这个方程无解，则______．（直接写出答案）
【答案】(1)且；
(2)3，10，．
【分析】（1）将分式方程化为整式方程，求得，由题意可得，且求解即可；
（2）将分式方程化为整式方程，求得，由题意可得或，求解即可．
【详解】（1）解：
化为整式方程可得：，
即，
由方程的解是负数可得，
则，且
解得且；
（2）解：由（1）可得方程可化为，
当时，，方程化为，无解，符合题意；
当时，，，
由题意可得：这个方程无解，则或
即或，
解得或，
综上可得：或或，
故答案为：3，10，．
知识点训练
1．（2022秋·北京东城·七年级东直门中学校考期末）关于x的方程的解是，则a的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】直接把代入到方程中得到关于a的方程，解方程即可．
【详解】解：∵关于x的方程的解是，
∴，
∴，
故选 B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟知一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
2．（2022秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期末）已知关于x的方程的解是，则m的值是（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】把代入原方程，解方程即可求解．
【详解】解：关于x的方程的解是，
把代入方程，
得，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用方程的解求参数的方法，熟练掌握和运用利用方程的解求参数的方法是解决本题的关键．
3．（2022秋·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期末）若是关于x、y的二元一次方程的解，则a的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把代入，然后解关于a的方程即可求出a的值．
【详解】解：把代入，得
，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了求二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．
4．（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）方程的一个实数根为m，则的值是（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
【答案】A
【分析】根据一元二次方程解的定义，可得，再代入，即可求解．
【详解】解：∵方程的一个实数根为m，
∴，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，求代数式的值，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
5．（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）已知是一元二次方程的根，则k的值为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】A
【分析】把代入，然后解关于k的方程即可．
【详解】把代入，得
，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，解决此题的关键是计算的正确性．
6．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）已知关于x的方程的解是负数，那么m的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
【答案】C
【分析】先解分式方程求出方程的解，再根据解是负数、求解即可得．
【详解】解：，
方程两边同乘以，得，
解得，
关于的方程的解是负数，
且，
解得且，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．
7．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】A
【分析】等式两边同时乘以公倍数：，去分母；然后根据方程无解，求出；当时，方程无解，求出，综合的值，即可．
【详解】，
解：，
等式两边同时乘以：，
∴，
∴，
∴，
∵方程无解，
∴；
当时，方程无解，
∴把代入方程，得；
∴的值为：或．
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程无解的性质．
8．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．1B．1或C．-1或D．以上都不是
【答案】B
【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可．
【详解】解：
分式方程两边同乘以得：
要使原分式方程无解，则有以下两种情况：
当时，即，整式方程无解，原分式方程无解．
当时，则，
令最简公分母为0，即
解得
∴当，即时，原分式方程产生增根，无解．
综上所述可得：或时，原分式方程无解．
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，根据分式方程无解，分两种情况进行讨论是解题的关键．
9．（2022秋·湖南株洲·八年级校考期中）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．0B．C．1D．4
【答案】D
【分析】先求解分式方程的增根，再把分式方程去分母，把增根代入去分母后的整式方程求解参数的值即可．
【详解】解：关于的分式方程有增根，
增根为：，
，
去分母得：，
，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式方程的增根问题，理解分式方程增根产生的原因是解题的关键．
10．（2022·重庆璧山·统考一模）已知的不等式组有且只有4个整数解，并且使得关于的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用不等式组的整数解和分式方程的整数解确定m的值即可．
【详解】解：不等式组的解为：．
∵关于x的不等式组有且只有四个整数解，
∴，
∴，
∴整数m的值为：．
关于y的分式方程的解为：．
∵分式方程有可能产生增根3，
∴．
∴．
∵关于y的分式方程的解为整数，
∴或．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，考虑分式方程可能产生增根的情况是解题要注意之处．
11．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）分式方程有解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．且
【答案】D
【分析】先求出m与x的关系，再根据分式方程有解的条件判断即可．
【详解】
方程两边同时乘以得：，
∴，
∵分式方程有解，
∴，
∴．
∵，
∴
∵分式方程有解，
∴且
∴且
∴
故选D
【点睛】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，解题的关键是找出增根．
12．（2023秋·吉林长春·七年级长春市实验中学校考期末）已知是方程的解，则______．
【答案】
【分析】将代入方程，得到关于的一元一次方程，解一元一次方程即可求解．
【详解】解：将代入，得
即，
解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．
13．（2022春·广东江门·七年级校联考期中）已知是二元一次方程的一组解，则a的值是___________．
【答案】
【分析】将方程的解代入方程求解即可．
【详解】解：将代入，得，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程等号两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．
14．（2022秋·全国·九年级期中）已知m为方程的一个根，那么的值为_______．
【答案】0
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，再用m表示得到，然后利用整体代入的方法计算的值．
【详解】解：∵m为方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，求代数式的值，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
15．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）若关于的分式方程无解，则的值为______．
【答案】或##1或0
【分析】分式方程无解，即有增根，此时，整理分式方程得，则由无解或者的解是分式方程的增根求得的值．
【详解】解：将变形为：
即：
方程两边同时乘以得：
移项得：
∵分式方程无解
∴无解或者的解是分式方程的增根，
∴或，
∴ 或
故答案为：或
【点睛】本题考查的是分式方程的求解以及增根问题，根据相关知识点求值是解题的关键．
16．（2023秋·江苏南通·八年级启东市长江中学校考期末）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 _______．
【答案】且
【分析】先解分式方程可得，再根据分式方程的解为非负数建立不等式组即可得到答案．
【详解】解：，
去分母得：，
整理得：，
∵关于x的分式方程的解为非负数，
∴，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解，不等式组的解法，掌握“解分式方程的步骤与方法，以及分式方程的解的含义”是解本题的关键．
17．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）关于的分式方程有增根，则的值为___________．
【答案】
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可．
【详解】解：将分式方程两边同乘，
得．
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
18．（2023秋·重庆·七年级西南大学附中校考期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则 a 4b 3 的值为（ ）
A． 1B． 6C． 10D． 12
【答案】C
【分析】先求出的解，再将解代入中求出，即可求解．
【详解】解：∵方程组与有相同的解，
∴与的解相同，
由解得，
∴，
解得，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了同解方程组，涉及到了解二元一次方程组，解题关键是理解同解方程组的含义，能利用其中系数确定的方程先求出它们的解，再求出其中字母系数的值．
考点3：方程（组）的解法
例7. （2022秋·湖北武汉·七年级统考期末）解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
．
例8.（1）（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）用代入法解一元二次方程过程中，下列变形不正确的是（ ）
A．由①得B．由①得
C．由②得D．由②得
【答案】C
【分析】根据代入消元法解方程组的方法，进行变形时要特别注意移项后符号要变号．
【详解】解：
，C选项变形不正确
故选C
（2）（2022秋·广东佛山·八年级佛山市南海石门实验中学校考期中）已知、满足方程组，则的值为（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】B
【分析】根据解二元一次方程组的方法，两个方程相加即可得出结论．
【详解】∵，
(1)+(2)，得，
∴，
故选：B．
（3）（2021春·江苏南通·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于m，n的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先将关于的方程组变形为，再根据关于的方程组的解可得，由此即可得出答案．
【详解】解：关于的方程组可变形为，
由题意得：，
解得，
故选：C．
（4）（2022秋·广东广州·八年级统考期末）解方程组：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组；
（2）先变形然后用加减消元法解二元一次方程组．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
（2）解：，
原方程组可变为：，
得：，即，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
例9. （1）（2022秋·陕西汉中·九年级统考期末）用公式法解方程：．
【答案】，
【分析】先找出a，b，c，求出的值，再代入求根公式求得答案即可．
【详解】
∵，
∴，
∴．
即，．
（2）（2022秋·河北廊坊·九年级校考期末）嘉嘉解方程的过程如图14所示．
(1)在嘉嘉解方程过程中，是用_____________（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的；从第_____________步开始出现错误；
(2)请你用不同于（1）中的方法解该方程．
【答案】(1)配方法；二
(2)，
【分析】（1）根据配方法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】（1）解：在嘉嘉解方程过程中，是用配方法来求解的；
从第二步开始出现错误；
故答案为：配方法；二
（2）解：，
∴，
∴，
解得：，．
例10. （2022秋·重庆合川·八年级校考期末）解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方程两边同乘以化成整式方程，解一元一次方程即可得；
（2）方程两边同乘以化成整式方程，解一元一次方程即可得．
【详解】（1）解：，
方程两边同乘以，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
经检验，是分式方程的解．
（2）解：，
方程两边同乘以，得，
去括号，得，即，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是分式方程的解．
知识点训练
1．（2022秋·黑龙江绥化·六年级校考期中）解方程：
【答案】
【分析】根据解方程的步骤进行求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了解方程，熟知分数的混合计算法则是解题的关键．
2．（2022秋·北京东城·七年级东直门中学校考期末）解方程：
(1)；
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）按照一元一次方程的求解步骤求解即可；
（2）按照一元一次方程的求解步骤求解即可．
【详解】（1）解：
解得；
（2）解：
可得：
解得；
【点睛】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解步骤．
3．（2022秋·黑龙江绥化·六年级校考期中）解方程：
【答案】
【分析】根据解方程的步骤进行求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了解方程，熟知等式的基本性质是解题的关键．
4．（2022秋·重庆北碚·七年级统考期末），则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先用②①得到，再将代入①得到，最后代入求值即可．
【详解】解：，
②①得，，
解得，，
把代入①得，，
则，
故选：C．
【点睛】本题考查了加减消元法，求出a、b、c之间的关系是解题的关键．
5．（2022春·河南漯河·七年级校考期末）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，利用换元法，结合题意求出，从而得出，再解关于m、n的二元一次方程组即可．
【详解】解：设，
则 ，
由题意得： ，
即，
解得 ．
故答案为：A
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能得出关于m、n的方程组是解此题的关键．
6．（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）小明在解方程组的过程中，以下说法错误的是（ ）
A．可得，再用代入消元法解
B．令，，可用换元法将原方程组化为关于、的二元一次方程组
C．由得，再代入，可得一个关于的分式方程，亦可求解
D．经检验：是方程组的一组解
【答案】B
【分析】②①得出，整理后得出，即可判断选项A；换元后得出方程组，即可判断选项B；由①求出，代入②后即可判断选项C；把代入方程组中的两个方程，看看方程的两边是否都相等，即可判断选项D．
【详解】解：，
A．②①，得，
整理得：，再用代入消元法解，故本选项不符合题意；
B．令，，则原方程组化为：
，
不能得出关于、的二元一次方程组，故本选项符合题意；
C．由①得，
把代入②得：
，得出一个关于的分式方程，即可求解，故本选项不符合题意；
D．把代入①，得
左边，右边，左边右边，
把代入②，得
左边，右边，左边右边，
所以是方程组的解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程组和方程组的解，能把分式方程组转化成方程和理解方程组的解的定义是解此题的关键．
7．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）关于，的二元一次方程组的解适合，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将方程组中上式减去下式可得，结合，可求出，的值，再代入方程组中即可求出的值．
【详解】解：关于，的二元一次方程组，上式减去下式得，
∴，解方程组得，，代入方程得，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组的值求参数，掌握解二元一次方程组的方法（代入法，加减法）是解题的关键．
8．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）解方程组
【答案】
【分析】先将第1个方程化简，再利用加减消元法消除y，求出x后再代入x的值求出y即可．
【详解】解：
由得：，
由得：，
，
把 代入③得：
∴原方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，其中牢记加减消元法或代入消元法是解题关键．
9．（2022春·湖南邵阳·七年级校考期中）对于有理数x，y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，那么 的值是多少？
【答案】
【分析】根据新运算定义先列方程组求解a，b，再根据新运算直接计算即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查新运算定义问题，解题的关键是理解新定义先列方程求解a，b．
10．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）若关于，的方程组，解为．则关于，的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】已知方程组和x和y的解，将x和y代入可得到a1、b1、c1和a2、b2、c2两个等式的关系，再将此关系列为方程组反解出x和y即可．
【详解】解：关于，的方程组，解为，
关于，的方程组中，
解得：，
即第二个方程组的解是，
故选A．
【点睛】本题考查了方程组的运算，明白通过已知条件解出第一个方程组的关系，再通过第一个方程组的关系解出答案是本题的关键．
11．（2022秋·辽宁·八年级校考期末）解方程组：．
【答案】
【分析】利用加减消元法求解即可．
【详解】解：整理得：，
，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
12．（2023秋·重庆·七年级西南大学附中校考期末）解方程（组）．
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为即可求解；
（2）先将变形为，再把去括号，合并同类项变形为，组成新的方程组，根据加减法解二元一次方程组即可求解．
【详解】（1）解：
去括号得，，
移项的，，
合并同类项得，，
系数化为得，．
∴原方程的解为：．
（2）解：，
变形为，变形为，
∴，将等式两边同时乘以得，，
∴，上式减去下式得，，
∴，将代入得，，
∴，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解二元一次方程组的综合，掌握去括号，去分母，移项，合并同类项，系数化为，加减法解方程是解题的关键．
13．（2022秋·湖南郴州·九年级校考期末）将一元二次方程化成形如的形式，则的值为（ ）
A．7B．3C．D．10
【答案】A
【分析】先把常数项移到方程右侧，两边同时加上4，利用完全平方公式得到，从而得到，，最后计算即可．
【详解】∵
∴
∴
∴
∴，
∴
故选：A
【点睛】本题考查了一元二次方程—配方法：将一元二次方程配成的形式，掌握配方法是解题的关键．
14．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期末）把方程化成的形式，则的值是（ ）
A．B．4C．D．10
【答案】D
【分析】把方程配方，根据配方后的结果可确定与的值，则可求得的值．
【详解】解：把方程配方，得
，即，
所以，，
所以；
故选：D．
【点睛】本题考查了配方法的应用及求代数式的值，关键是配方法的应用．
15．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）对于任意的实数，代数式的值是一个（ ）
A．正数B．负数C．非负数D．无法确定
【答案】B
【分析】原式配方后，利用正负数的性质判断即可．
【详解】解：原式
，
则原代数式的值是一个负数，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用：通过配方法把一个代数式变形为完全平方式，然后利用其正负性解决问题．
16．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期中）用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据配方法可以解答本题．
【详解】解：，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查解一元二次方程−配方法，解答本题的关键是解一元二次方程的方法．
17．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期中）把方程化为的形式，下列方程中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意知，要求对一元二次方程一般式进行配方，直接根据配方法即可得到答案．
【详解】解： ，
移项得，
配方得，
因式分解得，
故选：B．
【点睛】本题考查对一元二次方程一般式进行配方，熟练掌握配方法解一元二次方程步骤是解决问题的关键．
18．（2022秋·湖南永州·九年级统考期中）用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将方程常数移到右边，再配方—方程两边同时加上4即可得到答案．
【详解】解：方程，
移项得：，
配方得：，
即，
故选：A．
【点睛】此题考查了解一元二次方程的方法—配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
19．（2022秋·全国·九年级期中）先阅读材料，再解决下列问题．
例如：用配方法求代数式的最小值．
原式．
∵，
∴当时，有最小值是2．
根据上述所用方法，解决下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)若，当_______时，有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______；
(3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)3
(2)1，大，-2
(3)直角三角形，见解析
【分析】（1）凑成完全平方加一个数值的形式．
（2）和（1）类似，凑成完全平方加以一个数值的形式．
（3）先因式分解，判断字母，，三边的关系，再判定三角形的形状．
【详解】（1）解：；
∴的最小值是3．
（2），
，
，
∴当的时，有最大值．
故答案为：1，大，．
（3），
，
，
三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0．
，，，
解得，，．
∵，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得到更为简单得数量关系，再根据此关系解决问题．
20．（2022秋·江苏无锡·九年级无锡市江南中学校考期中）用适当的方法解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）移项后用直接开平方法求解即可；
（3）用配方法求解即可；
（4）整理成一般式后用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
，；
（2）解：，
，
或，
，；
（3）解：，
，
，
，
，；
（4）解：，
，
，
或，
，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
21．（2021秋·福建莆田·九年级校考期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）根据公式法求解即可；
（2）根据公式法求解即可．
【详解】（1）解：，
∵，，，
∴，
∴，
解得：，；
（2），
∵，，，
∴，
∴，
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的几种解法是关键．
22．（2022秋·河南信阳·九年级统考期中）用合适的方法解方程：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）两边开平方，用开平方法解答；
（2）配方，两边开平方，再用开平方法解答；
（3）左边提公因式分解因式，用分解因式法解答；
（4）求出根的判别式的值，用求根公式解答．
【详解】（1）解：，
，
∴，；
（2）解：，
，
，
，
∴，；
（3）解：，
，
或，
∴，；
（4）解：，
，
，
∴，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解决问题的关键是熟练掌握开平方法，配方法，分解因式法，公式法解一元二次方程．
23．（2022秋·天津红桥·九年级校考期末）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据因式分解法求解一元二次方程即可；
（2）根据公式法进行求解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
或，
∴；
（2）解：
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
24．（2022秋·天津河东·九年级校考期末）解方程
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）先移项，然后再用分解因式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，，，
，
∴，
∴，．
（2）解：，
移项得：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算．
25．（2022秋·辽宁大连·九年级校考期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）根据提公因式法将方程的左边因式分解，进而得出两个关于的一元一次方程，再分别计算，即可得解；
【详解】（1）解：
，，，
，
方程有两个不相等的实数根，
，
∴，；
（2）解：
分解因式，可得：，
于是得：或，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活运用合适的方法求解是解本题的关键．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．
26．（2022秋·北京东城·九年级北京二中校联考期末）把关于x的一元二次方程配方，得到．
(1)写出完整的配方过程，并求常数m与p的值；
(2)求此方程的解．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）把配方即可得出，；
（2）配方得出，开方得出，求出即可．
【详解】（1）解：
∴，
（2）解：∵
∴，
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，题目是一道基础题，难度适中，主要考查学生的计算能力．
27．（2022秋·河北唐山·八年级校考期末）已知关于x的方程的两个解分别为，，则方程的解是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【分析】首先观察已知方程的特点，然后把方程变形成具有已知方程的特点的形式，从而得出所求方程的根．
【详解】解：方程可以写成的形式，
∵方程的两根分别为a，，
∴方程的两根的关系式为，，即方程的根为或，
∴方程的根是a，．
故选：A．
【点睛】此题考查了分式方程的拓展应用，解题的关键是正确分析两个方程之间的关系．
28．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）把分式方程化为整式方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分式方程的左右两边同乘以最简公分母即可．
【详解】将方程两边都乘以，得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤．
29．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】两边同乘以去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
两边同乘以去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴分式方程的解为；
（2）解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴分式方程的解为．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
30．（2022秋·湖北·八年级统考期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】(1)根据解分式方程的步骤解方程，即可求解；
(2)根据解分式方程的步骤解方程，即可求解．
【详解】（1）解：去分母，得：，
去括号，得：，
解得，
经检验：当时，，
故原方程的解是；
（2）解：去分母，得：，
去括号，得：，
解得，
经检验：当时，，
故是原方程的增根，
所以原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握和运用解分式方程的步骤是解决本题的关键．
31．（2023秋·山东临沂·八年级郯城县实验中学校考期末）解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】两个分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）
去分母得：
解得：，
检验：将代入
∴是原分式方程的解；
（2）
去分母得：
解得：，
检验：将代入，
∴是原分式方程的解．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
32．（2022秋·山东烟台·八年级统考期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤求解即可．
【详解】（1）
去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
∴原方程的解为：；
（2）
去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．
考点4：一元二次方程根的判别式
例11. （2022秋·河南新乡·九年级统考期中）已知：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当取最大整数值时，求该方程的解．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围；
（2）根据的取值范围可求值，解方程即可．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得；
（2）解：，
的最大整数值为1，
原方程为，
，
，，
，．
知识点训练
1．（2022秋·陕西西安·九年级校考期末）若方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．4B．2C．1D．0
【答案】C
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的方有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故选C．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
2．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】C
【分析】根据一元二次方程有两个实数根，则，且，求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，且，
∴，且，
故选： C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当有两个实数根，则；当没有实数根，则是解题的关键．
3．（2021秋·广东东莞·九年级东莞市华侨中学校考期中）关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．不能确定
【答案】A
【分析】先求一元二次方程的判别式，由与0的大小关系来判断方程根的情况．
【详解】解：，，，
，
关于的方程有两个不相等实数根．
故选：A．
【点睛】此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．
4．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先把四个方程化为一般式，再计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义进行判断．
【详解】解：A、原方程整理得，，方程有两个相等的实数根，该选项符合题意；
B、原方程整理得，，方程有两个不相等的实数根，该选项不符合题意；
C、，，方程有两个不相等的实数根，该选项不符合题意；
D、，，方程没有实数根，该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
5．（2022秋·河北廊坊·九年级校考期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
【答案】D
【分析】先计算方程根的判别式得到，再计算方程的判别式得出，最后根据根的判别式意义判断方程根的情况．
【详解】 有两个相等的实数根，
，
一元二次方程，即，
，
使用方程没有实数根．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
6．（2022秋·湖南郴州·九年级校考期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据判别式的意义得到：，然后解关于的不等式即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
7．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，故A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．
8．（2022秋·广东东莞·九年级统考期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】C
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，且，求出的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：由题意知：，，
解得：且，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义与根的判别式，一元二次方程的二次项系数不为0，一元二次方程根的情况与判别式的关系为：时，方程无实数根，时，方程有两个不相等的实数根，时，方程有两个相等的实数根．
9．（2022秋·全国·九年级期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．且B．且C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】解：因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
所以，
即．
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，解决本题的关键是当时，方程有两个不相等的实数根．
10．（2021秋·广东东莞·九年级东莞市华侨中学校考期中）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】解：关于x的一元二次方程有两个实数根，
，
得，
解得，
故a的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键．
11．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）的取值范围是______；
（2）若是该方程的一个根，则______．
【答案】 4
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，即可求得的取值范围；
（2）设方程另一个根为，然后利用根与系数的关系有，即可得到方程的另一个根．
【详解】解：（1）∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴
解得：，
故答案为：；
（2）设方程另一个根为，则，
解得：，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的意义以及根与系数的关系．