中考数学一轮复习过关练2.1突破训练：方程（组）定义及解法类型题举例（2份，原卷版+解析版）

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类型1：解一元一次方程
典例1：（2022秋·天津河东·七年级校考期末）解下列方程：
(1)；
(2)；
方法或规律点拨
本题考查了一元一次方程的解法；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解法，从而完成求解．
巩固练习
1．（2023秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期末）如图表示3×3的数表，数表每个位置所对应的数都是1，2或3．定义为数表中第a行第b列的数，例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以．若，则x的值为（ ）
A．1，2B．1，3C．0，2D．1，0
2．（2023秋·河北唐山·七年级唐山市第十二中学校考期末）定义，若，则x的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（2023秋·四川达州·七年级校考期末）解方程：
(1)
(2)
4．（2022秋·湖北武汉·七年级校考阶段练习）解方程：
(1)
(2)
5．（2023秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期末）已知关于x的方程与的解互为相反数，求m的值．
6．（2022秋·北京西城·七年级统考期末）解下列方程：
(1)；
(2)．
7．（2022秋·北京东城·七年级统考期末）解方程：
(1)；
(2)．
8．（2022秋·湖南岳阳·八年级校考期中）解方程：
(1)
(2)
9．（2022秋·湖北武汉·七年级校考期末）解下列方程：
(1)；
(2)
10．（2022秋·辽宁大连·七年级统考期中）解下列方程：
(1)
(2)
类型2：解二元一次方程组
典例：（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
方法或规律点拨
本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，准确计算．
巩固练习
1．（2022秋·八年级单元测试）对于方程，用含x的代数式表示y的形式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·重庆·七年级西南大学附中校考期末）方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）若是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．（2022春·广东江门·九年级江门市怡福中学校考阶段练习）二元一次方程组：的解是________．
5．（2022春·广东江门·七年级校联考期中）解方程组：
6．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）解方程组：
7．（2022秋·广东广州·八年级广州市海珠中学校考期末）解方程组：
8．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）解方程组：．
9．（2022秋·山东济南·八年级校考期末）解方程组：．
10．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图，若方程组从左至右依次记作方程组1，方程组2，方程组3…方程组n
(1)将方程组1的解填入图中；
(2)请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入图中；
(3)若方程组的解是．求a，b的值，并判断该方程组及方程组的解是否属于上述集合．
类型3：二元一次方程组的特殊解法
典例： （2022秋·八年级课时练习）阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为．
请你解决以下问题
(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；
(2)已知x，y满足方程组
（i）求的值；
（ii）求出这个方程组的所有整数解．
方法或规律点拨
此题主要考查了特殊方程的解法，关键是掌握读懂题目给的材料．
巩固练习
1．（2022秋·河南新乡·七年级校联考期末）已知二元一次方程组，则的值为（ ）
A．B．0C．6D．8
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）我们知道二元一次方程组的解是．现给出另一个二元一次方程组，它的解是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）已知x，y满足方程组，则的值为_________．
4．（2022·全国·七年级专题练习）已知关于和的方程组的解是，则另一关于、的方程组的解是______．
5．（2022秋·重庆北碚·七年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足．则___________．
6．（2022秋·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校考阶段练习）若m，n满足方程组，则的值为____________．
7．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）已知方程组求与的值．
8．（2022·河南洛阳·统考二模）已知实数，满足①，②，求和的值．
本题常规的解题思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值．再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量较大．其实，仔细观察两个方程未知数，的系数与所求代数式中，的系数之间的关系，本题还可以通过适当的变形整体求得代数式的值．由①②得：，由①②得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
问题解决：
(1)已知二元一次方程组，则值为 ，的值为 ．
(2)某班组织活动购买奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元．则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
(3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，则的值为 ．
9．（2022·全国·七年级专题练习）感悟思想：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足①，②，求和的值．
思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值．
如①-②可得①+②×2可得．
这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
体会思想：
(1)已知二元一次方程组，则______，______．
(2)解方程组：
(3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
10．（2022秋·全国·八年级期末）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得．
∴原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
(1)
(2)
考点4：含有字母参数的二元一次方程组
典例：（2022春·北京西城·七年级校考期中）如果关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求m的值．
方法或规律点拨
本题考查解二元一次方程组，解题的关键是用参数分别表示出未知数．
巩固练习
1．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）关于，的二元一次方程组的解适合，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）甲乙两人同时解方程组时，甲正确解得，乙因抄错c而解得，则a，c的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·广东茂名·八年级统考期末）已知方程组的解满足，则k的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知关于x，y的方程组，以下结论正确的有( )个．
①不论k取什么实数，的值始终不变；
②存在实数k，使得；
③当时，；
④当时，方程组的解也是方程的解．
A．1B．2C．3D．4
5．（2022秋·八年级单元测试）若关于、的二元一次方程组的解、为为相反数，则__．
6．（2022春·北京·七年级校考阶段练习）若关于，的二元一次方程组的解也是的解，则的值为______．
7．（2022春·北京·七年级校考期末）已知关于x，y的方程组的解满足关系，则a的值为______．
8．（2021春·山东济南·七年级济南十四中校考期中）已知方程组的解和互为相反数，求的值．
9．（2022秋·全国·八年级专题练习）定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（a，b为常数）．
例如，当时，．
(1)当时， ；
(2)若，求a和b的值；
(3)如果组成数对的两个数x，y满足二元一次方程时，总有，求a、b的值
10．（2022秋·八年级单元测试）当m，n分别取何值时，方程组与的解相同？
考点5：配方法应用
典例1：（2022秋·北京东城·九年级北京二中校联考期末）把关于x的一元二次方程配方，得到．
(1)写出完整的配方过程，并求常数m与p的值；
(2)求此方程的解．
方法或规律点拨
本题考查了解一元二次方程的应用，题目是一道基础题，难度适中，主要考查学生的计算能力．
典例2：（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第四十三中学校考期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例如：求代数式的最小值．解答过程如下：
解：
∵
∴
∴当时，有最小值，是1
(1)仿照上述方法，求代数式的最小值；
(2)有最______（直接填“大”或“小”）值，是_______（直接填空）．
方法或规律点拨
本题主要考查了配方法，非负数的性质，掌握配方法的一般步骤和偶次方的非负性是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·江苏句容·初一期末）已知方程组的解满足，则整数k的最小值为（ ）
A．-3B．-2C．-1D．0
2．在关于，的二元一次方程组的下列说法中，错误的是（）
A．当时，方程的两根互为相反数B．当且仅当时解得为的倍
C．，满足关系式D．不存在自然数使得，均为正整数
3．（2020·南阳市实验学校初一月考）七班“奋斗组”关于，的方程组，进行小组下面是两名成员得出的结论：
小明：是方程组的解；
小东：不论取什么实数，的值始终不变．
请判断这两名组员的结论是否正确，并说明理由．
4．（2020·绍兴市文澜中学初一期中）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，求k的值．
5．（2020·河南宛城·初一月考）八年级（1）班“奋斗组”对关于的方程组进行讨论，下列是两个小组成员分别得出的结论：
小金：是方程组的解；
小蝶：不论取什么实数，的值始终不变．
请问“奋斗组”的两名成员谁的结论是正确的，谁的结论是错误的？并说明理由．
6．（2020·石家庄市第二十七中学初一期中）已知关于，的方程组
（1）请直接写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求的值；
（3）无论实数取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解．
考点5：配方法应用
典例1：（2022秋·北京东城·九年级北京二中校联考期末）把关于x的一元二次方程配方，得到．
(1)写出完整的配方过程，并求常数m与p的值；
(2)求此方程的解．
方法或规律点拨
本题考查了解一元二次方程的应用，题目是一道基础题，难度适中，主要考查学生的计算能力．
典例2：（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第四十三中学校考期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例如：求代数式的最小值．解答过程如下：
解：
∵
∴
∴当时，有最小值，是1
(1)仿照上述方法，求代数式的最小值；
(2)有最______（直接填“大”或“小”）值，是_______（直接填空）．
方法或规律点拨
本题主要考查了配方法，非负数的性质，掌握配方法的一般步骤和偶次方的非负性是解题的关键．
巩固练习
1．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则b的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）明明学完“配方法”后，总结出如下内容．其中正确的个数有（ ）个．
①配方法的基本思想是通过变形，将方程的左边配成一个含有未知数的一次式的完全平方（右边是一个非负常数），从而转化为用直接开平方法求解．
②利用配方法，可以求出代数式的最小值．
③用配方法解一般形式的一元二次方程（，），能得到一元二次方程的求根公式．
④用配方法解一元二次方程，配方时，方程两边加上的数是：一次项系数一半的平方．
A．1B．2C．3D．4
3．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）将配方成的形式，则___________．
4．（2022秋·全国·九年级专题练习）当_____时，代数式有最小值为______．
5．（2022秋·江苏南京·九年级统考阶段练习）已知实数a、b，满足，则代数式的最小值等于______．
6．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）_______=_______．
7．（2022秋·四川遂宁·九年级四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）已知，则_______．(填“”“”或“”)
8．（2022秋·全国·九年级专题练习）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：∵，
又∵，∴，∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．
9．（2022秋·广东惠州·八年级期末）阅读理解：求代数式的最小值.
解：因为，
所以当时，代数式有最小值，最小值是1.
仿照应用求值：
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大值.
考点6：一元二次方程根的判别式
典例：（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知关于的一元二次方程．
(1)当是方程的一个根时，求的值；
(2)方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围．
方法或规律点拨
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
巩固练习
1．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期中）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根
2．（2021秋·甘肃金昌·九年级校考期末）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
3．（2022秋·吉林长春·九年级统考期中）一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
4．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）一元二次方程根的判别式的值是（ ）．
A．B．C．D．
5．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无实数根
6．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）定义运算：，例如：．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
7．（2022秋·河南许昌·九年级统考期中）已知关于x的一元二次方程无实数根，则实数k的取值范围是______．
8．（2022秋·吉林白城·九年级统考期中）已知关于的一元二次方程有实数根，求实数的取值范围．
9．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）关于x的一元二次方程．
(1)判断该方程根的情况，并说明理由；
(2)若此方程的一个根为，求m的值及方程的另一个根．
10．（2022秋·辽宁锦州·九年级统考期中）（1）小明学习了一元二次方程的解法后，在已知“关于的一元二次方程有一个根为2”的条件，很快求出了k及另一个根的值，请你帮他写出解答过程．
（2）小颖对这道题提出了新的问题：她认为无论k为何值时，该方程总有两个不相等的实数根．你同意她的看法吗？并说明理由．
11．（2022秋·河南信阳·九年级统考期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若抛物线经过原点，求a的值．
12．（2022秋·吉林长春·九年级统考期中）已知：关于的方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有实数根；
(2)若方程的一个根为时，求的值．
考点7：一元二次方程根的判别式
典例：14．（2023·全国·九年级专题练习）下面是小明解方程的过程，认真阅读并回答问题．
解：方程两边同时乘以最简公分母 ，得第一步
∴第二步
∴第三步
∴第四步
∴第五步
(1)任务一：①上述解题过程中，第一步的最简公分母是 ；
②上述第二步到第三步变形的依据是 ；
(2)任务二：上述解题过程是否完整，若不完整，请补充完整．
方法或规律点拨
本题主要考查了解分式方程、实数的运算等知识点，熟练掌握分式方程的解法及运算法则是解本题的关键．
巩固练习
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）观察下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；…根据以上规律，第个方程以及它的解是（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
3．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中较小的值，如．按照这个规定，方程的解为（ ）
A．或2B．2C．D．无解
4．（北京市顺义区2022-2023学年八年级上学期数学期末试卷）解方程，去分母后正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022秋·河北·八年级校联考期末）已知（，且），，，…，．
（1）根据上述规律，可得______（用含字母的代数式表示）；
（2）当时，______；
（3）若的值为5，则的值为______．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）在有理数范围内定义一种运算☆，其规则为，根据这个规则_____；若，则____.
7．（北京市顺义区2022-2023学年八年级上学期数学期末试卷）对于两个非零的实数，，定义新运算．例如：．则______；若，则的值为______．
8．（2023秋·山西大同·八年级大同市第六中学校校考期末）请阅读下列材料回答问题：在解分式方程时，小明的解法如下：
解：方程两边同乘以，得．①
去括号，得②
解得．
检验：当时，．③
所以原分式方程无解．④
(1)你认为小明在第______步出现了错误；（只填序号）
(2)针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出条解分式方程时的注意事项；
(3)写出上述分式方程的正确解法．
9．（2023秋·广东广州·八年级广东华侨中学校考期末）解分式方程：．
10．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，若A，B两点到原点距离相等，求x的值.
11．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）解方程：
(1)；
(2)．
12．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）解分式方程
(1)；
(2)．
13．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下面解分式方程的过程，再解答问题：
解分式方程：
解：①②③④
，把代入原分式方程检验知，是原分式方程的解．
回答问题：
(1)得到①式的具体做法是___________．得到②式的具体做法是___________．得到③式的具体做法是___________．得到④式的具体做法是___________．
(2)上述解答正确吗？答：___________；如果不正确，则从___________步开始出现错误，错误原因是___________，正确结果是：___________（如果正确，后三空不填．）
考点8：分式方程的解
典例：（2022秋·山西朔州·八年级校联考期末）已知关于x的方程
(1)当时，求方程的解；
(2)当m取何值时，此方程无解；
(3)当此方程的解是正数时，求m的取值范围．
方法或规律点拨
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
巩固练习
1．（2023秋·河北唐山·八年级唐山市第十二中学校考期末）若关于的方程的解为整数，则整数的值的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022·重庆铜梁·铜梁中学校校考模拟预测）关于的方程的解为正整数，且关于的不等式组恰有4个整数解，则满足条件的所有整数值之和为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·重庆江北·八年级重庆十八中校考期末）若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组至多有五个整数解，则符合条件的所有整数的取值之和为（ ）
A．1B．0C．D．3
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为y≤1，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．15B．12C．11D．10
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）若整数a既使得关于x的分式方程有整数解，又使得关于x，y的方程组的解为正数，则____．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）若关于x的方程没有增根，则k的值不能是（ ）
A．B．1C．2D．3
7．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）解关于的方程有增根，则的值为___________
8．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）若分式方程有增根，则a的值为________．
9．（2022秋·山东滨州·八年级校考期末）若关于x的方程无解，则m的值为_____．
10．（2023秋·山东淄博·八年级校考期末）若关于的分式方程无解，则的值为 __．
又要考虑整式方程无解的情形．
11．（2022·辽宁丹东·校考二模）若关于的方程有增根，则的值是______．
12．（2022春·安徽合肥·七年级校考阶段练习）已知关于的分式方程．
（1）若该方程有增根，则增根是______．
（2）若该方程的解大于，则的取值范围是______．
13．（重庆市江津区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．4B．9C．11D．12