中考数学一轮复习过关练3.2 函数的图象和性质题型分类练（2份，原卷版+解析版）

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题型1：函数的图象和性质
一、一次函数的图象和性质
例1．（1）在平面直角坐标系中画出一次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象经过一、二、三象限的一条直线
B．函数y的值随x值的增大而减小
C．图象与x轴的交点坐标是
D．图象与坐标轴围成的三角形面积是
【答案】D
【分析】根据，可得函数图象经过一、三、四象限的一条直线，且函数y的值随x值的增大而增大，再由，可得图象与x轴的交点坐标是，再求出图象与y轴的交点坐标是，可得图象与坐标轴围成的三角形面积，即可求解．
【详解】解：∵，
∴函数图象经过一、三、四象限的一条直线，且函数y的值随x值的增大而增大，故A、B选项错误，不符合题意；
当时，，即，
∴图象与x轴的交点坐标是，故C选项错误，不符合题意；
当时，，
∴图象与y轴的交点坐标是，
∴图象与坐标轴围成的三角形面积是，故D选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
（2）（2023秋·山东青岛·八年级校考期末）已知一次函数的图象与y轴负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，可得出，由此可以得到，由此判断出一次函数的图象经过的象限，即可得出答案．
【详解】解：∵一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，
∴，
∴，
∴的图象经过一、二、四象限，
结合函数图象得到C选项符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当时，函数的图象在第一、二、四象限是解答此题的关键．
（3）（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．方程 的解是
C．当时，D．不等式 的解集是
【答案】C
【分析】根据函数的图象直接进行解答即可．
【详解】解：由函数的图象可知，
当时，，A选项错误，不符合题意；
方程 的解是，B选项错误，不符合题意；
当时，，故C正确，符合题意；
不等式 的解集是，故D错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
（4）（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象分别为直线，与y轴交于点A，过A点作x轴的平行线与交于，过作y轴的平行线与交于A1，过作x轴的平行线与交于，…，依次进行下去，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设直线与x轴交于点M，利用直线的解析式求得点A，M的坐标，进而得到线段的长度，利用直角三角形的边角关系定理求得，利用平行线的性质和直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值求得线段，…，利用计算结果的规律得到，利用规律化简运算即可得出结论．
【详解】解：设直线与x轴交于点M，如图，
令，则，
∴，
∴，
令，则，
∴．
∴．
∵，
∴，
∵轴，
∴．
∵的解析式为，
∴为第一象限的平分线，
∴，
∴．
∴，
同理： ，，
∴，
同理：，
……，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了两条直线的平行或相交问题，点的坐标的规律，一次函数图象上点的坐标的特征，特殊角的三角函数值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
例2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1．
(1)直接写出一次函数的函数解析式______；
(2)为直线上一点，过点作轴的平行线交于点，当时，直接写出点的坐标______；
(3)为直线上一点，若，点坐标是______．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到、的值，即可求出一次函数的解析式；
（2）先确定点坐标，设点的横坐标为，则，，根据列出方程，然后求出即可得到点坐标；
（3）根据三角形的面积关系，得到，根据中点的坐标求出点Q坐标即可．
【详解】（1）解：当时，，
点坐标为．
直线经过和，
则，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）由（1）可知，直线的解析式为，
当时，，
点坐标为，
．
设点的横坐标为，
则，，
，
，
，
解得．
即点坐标为，
故答案为：．
（3）在中，令，则，
∴，
∵，，
∴，
当点Q在线段BC上时，，即；
当点Q在BC的延长线上时，
点C为点Q和的中点，
∴，即，
综上：点Q的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，求出直线的解析式是解题的关键．
知识点训练
1．一次函数的图像经过（ ）
A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．一、三、四象限D．二、三、四象限
【答案】C
【分析】根据一次函数解析式中系数符号，解答即可．
【详解】解：∵中，
∴一次函数图象经过第一、三象限，
∵，
∴ 一次函数图象经过一、三、四象限，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象经过的象限，解题的关键是根据k和b的符号进行判断．
2．下列四个函数中，当时，y的值随着x值的增大而增大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的性质，二次函数的图象的性质，反比例函数的图象的性质解答即可．
【详解】解：A．∵在二次函数中，，
∴开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y的值随着x值的增大而增大，故本选项符合题意；
B．∵在反比例函数中，，
∴它的图象在第一象限，y随x的增大而减小，在第三象限，y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；
C．∵在一次函数中，，
∴当时，y的值随着x值的增大而减小，故本选项不符合题意；
D．，
∵在二次函数中，，
∴开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y的值随着x值的增大而增大，当时，y的值随着x值的增大而减小，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数的性质．掌握二次函数、一次函数、正比例函数的增减性与k和a的关系是解决问题的关键．
3．下列四个选项中，符合直线的性质的选项是（ ）
A．经过第一、三、四象限B．随的增大而增大
C．函数图象必经过点D．与轴交于点
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质即可判断A、B；求出当时的函数值即可判断C、D．
【详解】解：∵直线解析式为，，，
∴直线经过第一、二、四选项，y随x增大而减小，故A、B不符合题意；
当时，，即函数经过点，故C符合题意；
当时，，即直线与轴交于点，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数的性质，一次函数与y轴的交点，熟知一次函数的相关知识是是解题的关键．
4．已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行求解即可．
【详解】解：由题意得，
∴，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，
∴四个选项中只有选项C符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限是解题的关键．
5．已知点，在直线上，当时，，且，则在平面直角坐标系内，它的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据点，在直线上，当时，，且，可以得到、的情况，然后根据一次函数的性质，即可得到直线经过哪几个象限．
【详解】解：点，在直线上，当时，，且，
，，
直线经过二、三、四象限，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是判断、的正负．
6．已知都在直线上，则的值的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，直线下降，随着的增大而减小，进行判断即可．
【详解】解：∵ ，，
∴直线呈下降趋势，随着的增大而减小，
∵都在直线上，，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查比较一次函数的函数值．熟练掌握一次函数的图象和性质，是解题的关键．
7．如果点和都在直线上，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】B
【分析】由，利用一次函数的性质得出随的增大而减小，结合，即可得出．
【详解】∵，
∴，
又∵点和都在直线上，且，
∴，
故选：B
【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大，，随的增大而减小”是解题的关键．
8．已知一次函数，y随x的增大而减小．下列关于反比例函数的描述中正确的是（ ）
A．当时，B．y随x的增大而增大
C．y随x的增大而减小D．图象在第二、第四象限
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质先判断，再结合反比例函数的图象在二，四象限，结合增减性逐一分析即可．
【详解】解：∵一次函数，y随x的增大而减小，
∴，
关于反比例函数，
∴当时，，故选项A不合题意；
每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B不合题意；
每个象限内，y随x的增大而增大，故选项C不合题意；
图象在第二、第四象限，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的图象与性质，理解一次函数与反比例函数图象的增减性是解本题的关键．
9．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案．
【详解】解：∵直线与相交于点，
∴，
∴，
∴，
∴关于的方程的解是，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
10．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）定义符号的含义为：当时，；当时，．如：，．已知一种关于x的新函数，且，则关于y的函数下面说法错误的是（ ）
A．若，则当时，则或
B．当函数图象经过时，该函数图象的最高点的坐标为
C．，是函数图象上的两点，则
D．当时，函数y的最大值为3，则m=3或5
【答案】D
【分析】根据min的定义求出两个函数，把代入再根据函数的性质求解可判断A选项；把代入，再根据函数的性质求解可判断B选项；根据的定义分类求解可判断C选项；计算各出，据此可判断D选项．
【详解】解：当时，即时，，
当时，即时，，
∴，
A．若m=1，，
当时，，，即，解得；
当时，，，即，解得；
∴当时，则或，故选项A正确；
B．当函数图象经过时，将代入，
显然只有时，函数图象才能经过，
∴，即，，
∴，
∵当时，y随x的增大而减少，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，即时，函数取得最大值，此时，
∴该函数图象的最高点的坐标为，故选项B正确；
C．∵，∴，
∴当时，，
，∴，
∴当时，，
∵，
∴，故选项C正确；
D．当时，即时，，
此时，y随x的增大而减少，
∴在内，当时，y最大，
∴，解得，符合要求；
当时，即时，，
此时，y随x的增大而增大，
∴在内，当时，y最大，
∴，等式成立；
综上，当时，函数y的最大值为3，或，故选项D不正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，新定义，关键是对新定义的理解和掌握．
11．已知一次函数，当自变量x的取值范围是时，对应的因变量y的取值范围是，那么的值为_______．
【答案】6或10##10或6
【分析】本题分情况讨论①时，对应；②时，对应．
【详解】解：①时，由题意得：时，，
∴；
②时，由题意得：时，，
∴；
综上，的值为6或10．
故答案为：6或10．
【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，求函数解析式，注意本题需分两种情况，不要漏解．
12．已知点，点都在直线的图像上，则___________（填“>”、“=”或“