中考数学一轮复习过关练4.3 全等三角形知识点演练（讲练）（2份，原卷版+解析版）

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例1．（1）（2022秋·江苏连云港·八年级校考阶段练习）下列图标中，不是由全等图形组合成的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据全等图形的概念分析即可．
【详解】解：A、该图像是由三个全等的图形构成，故该选项不符合题意；
B、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意；
C、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意；
D、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键．
（2）（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，，且，， 则______．
【答案】
【分析】根据三角形的内角和定理计算出的度数，再根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：在中，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和，全等三角形的性质的综合，理解并掌握三角形的内角和等于，全等三角形中对应角的度数相等是解题的关键．
（3）（2022秋·湖南岳阳·八年级校考期中）如图，，点B、C、D在同一直线上，且，，则长为____________．
【答案】5
【分析】由可得出，，再根据求解即可．
【详解】解： ，
，，
，，
．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
知识点训练
1．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）与下图全等的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据全等形的定义逐个判定即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
A选项图形与题干图形形状不一样，故不符合题意；
B选项图形与题干图形形状一样，故符合题意；
C选项图形与题干图形形状不一样，故不符合题意；
D选项图形与题干图形形状不一样，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查全等形的定义：完全重合的两个图形叫全等形，即形状及大小都相同．
2．（2020秋·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）找出下列各组图中的全等图形（ ）
A．②和⑥B．②和⑦C．③和④D．⑥和⑦
【答案】C
【分析】直接根据全等图形的定义判断即可．
【详解】解：∵图形②和图形⑥不能够完全重合，
故A选项不符合题意；
∵图形②和图形⑦不能够完全重合，
故B选项不符合题意；
∵图形③和图形④能够完全重合，
故C选项符合题意；
∵图形⑥和图形⑦不能够完全重合，
故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等图形的定义，解题关键是理解并掌握“能够完全重合的两个图形叫全等图形”．
3．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期末）如图，，且与相交于点A，下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的对应角（边）相等的性质及等角对等边进行推理论证．
【详解】解：∵，
∴，，，，
∴．
可知不一定成立，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边，还考查了等角对等边．
4．（2023秋·四川自贡·八年级统考期末）如图所示，，，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，，
∴， ，，，故①④错误；故②正确；
∴，
∴，故③错误；
∴正确的个数是1个．
故选：D
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．
5．（河北省唐山市2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题）如图，，点，，在同一条直线上，且，，则的长是（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可．
【详解】解：，，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等解答．
6．（2023秋·四川南充·八年级统考期末）如图，点，，在同一直线上，，，，则的长为（ ）
A．3B．5C．8D．11
【答案】B
【分析】根据全等三角形性质得出，根据，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
7．（2023秋·天津·八年级统考期末）如图，已知，平分，与交于点G．若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质、全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
8．（2022秋·河南许昌·八年级统考期中）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中，，则（ ）
A．10.8B．9.6C．7.2D．4.8
【答案】B
【分析】由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有．
【详解】解：由题可知，图中有8个全等的梯形，
所以，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，做题的关键是找清相互重合的对应边．
9．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等B．三个角都分别相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法依次判断即可．
【详解】解：A、形状和大小完全相同的两个三角形全等，故该选项错误，不符合题意；
B、三个角都分别相等的两个三角形形状相同，但大小可能不同，故该选项错误，不符合题意；
C、完全重合的两个三角形全等，该选项正确，符合题意；
D、所有的等边三角形大小不一定相同， 因此不一定全等，故该选项错误，不符合题意；
故选：C ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是理解全等三角形的定义和牢记全等三角形的判定，其中全等三角形的定义是：能够完全重合的两个三角形全等；全等三角形的判定方法有：、、、、（仅用于对直角三角形全等的判定）．
10．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）下列说法：①角是轴对称图形；②等腰三角形有三条对称轴；③关于某直线成轴对称的两个三角形全等；④两个全等三角形一定关于某条直线成轴对称．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据轴对称图形中对称轴的定义以及角的特点，就能判断①的正误；由于等腰三角形分为一般等腰三角形和特殊等腰三角形∶等边三角形，结合对称轴的知识对②判断；根据轴对称的性质判断③④．
【详解】解∶①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，故①正确；
②等腰三角形有一条或三条对称轴，正三角形有三条对称轴，故②错误；
③关于某条直线对称的两个三角形一定可以完全重合，所以肯定全等，故③正确；
④全等三角形由于不知道其位置关系，不能正确判定一定能关于某条直线对称， 故④错误．
综上所述，说法正确的有①③共2个．
故选∶ B．
【点睛】本题侧重考查有关轴对称和轴对称图形的题目，需要明确它们的定义和性质．
11．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（ ）．
A．30°B．45°C．55°D．60°
【答案】B
【分析】根据网格特点，可得出，，，进而可求解．
【详解】解：如图，则，，，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．
12．（2023·福建南平·统考一模）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E．当点、、在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据图形旋转的性质，以及全等图形的基本性质进行逐项分析即可．
【详解】解：由旋转的性质可知，，故A选项正确；
则，且、、三点在同一直线上，
∴，
由旋转的性质知，
∴，则，
∴，故D选项正确；
∴中，，
∴，故C选项正确；
∵，
∴，
∴，故B选项不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质等，掌握基本图形的性质是解题关键．
13．（2021秋·陕西商洛·八年级统考期末）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，，．若在该坐标平面内有一点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（ ）
A．3个B．4个C．6个D．7个
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，分别以为边、根据直角三角形全等的判定定理作出符合条件的三角形即可．
【详解】解：如图：分别以为边作与全等的三角形各有4个，其中有5个是重合的，
则所有符合条件的三角形个数为7．
故选：D．
【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定，坐标与图形的性质，灵活运用分情况讨论思想、根据直角三角形全等的判定定理不重不漏的找出所有符合条件的三角形是解题的关键．
14．（2023秋·云南曲靖·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在x轴上运动（不与点A重合），点D在y轴上运动（不与点B重合），当以点C、O、D为顶点的三角形与全等时，则点D的坐标为______．
【答案】或或
【分析】根据题意可得，然后根据全等三角形的性质分两种情况解答，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
当时，，
此时点D的坐标为或（舍去）；
当时，，
∴点D的坐标为或；
综上所述，点D的坐标为或或．
故答案为：或或
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质，熟练掌握坐标与图形的性质，全等三角形的性质是解题的关键．
15．（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）如图，，，，，则______．
【答案】50
【分析】先根据得，再利用三角形内角和定理得出，进而得出，再利用角的和差关系得出，进而可求．
【详解】解： ，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差关系等，解题的关键是牢记全等三角形的对应角相等．
16．（2023秋·四川南充·八年级统考期末）如图，绕点C旋转得到，点E在边AB上，若，则的度数是_________．
【答案】
【分析】由全等三角形的性质可得，可求得 ，由三角形的内角和可求得 ，从而得解．
【详解】解：∵绕点C旋转得到，
∴ ，
∴，
∴ ，
即
∵，
∴ ，
∴ ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，旋转的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
考点2：全等三角形的判定及应用
例2．（1）（2023秋·山东威海·七年级统考期末）为了测量湖的宽度，小明同学先从点走到点处，再继续向前走相同的距离到达点（即），然后从点沿与平行的方向，走到与点，共线的点处，测量，间的距离就是湖的宽度．下列可以判断的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质得出，根据根据，证明，即可求解．
【详解】∵，
∴
在与中，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
（2）（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，已知，，请你再添加一个条件：___________，使．
【答案】（或，等，答案不唯一）
【分析】根据三角形全等的判定方法，即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴，即，
①当时，

∴，
②当时，
，
∴，
③当时，
，
∴，
故答案为：（或，等，答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理．三角形全等的判定定理有：．
（3）（2023秋·江苏徐州·八年级统考期末）根据下列条件，能确定（存在且唯一）的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系可判断A项，根据全等三角形的判定可判断B、C、D三项，进而可得答案．
【详解】解：A、由于与两边之和小于，不能作出三角形，故本选项不符合题意；
B、并不是与的夹角，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C、两边夹一角，形状固定，可作唯一三角形，故本选项符合题意；
D、三个角确定，但边不确定，可画出多个不全等的三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系和全等三角形的判定，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
（4）（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，在中，，，于点D，于点M，与交于点P，则______．
【答案】##110度
【分析】三角形内角和求出，推出，利用同角的余角相等，得到，证明，得到，进而得到，利用即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等角对等边，证明三角形全等是解题的关键．
例3（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在中，，，于点O，P是的中点，D是延长线上一点，满足．
(1)求证；
(2)探究与之间的数量关系，并给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)；见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得出，根据得出，求出，根据等腰三角形性质得出，即可证明结论；
（2）过点D作交于点E，则，证明，得出，根据等腰直角三角形的性质得出，根据三线合一性质，结合已知条件得出，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：；理由如下：
过点D作交于点E，则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵P是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角形全等的判定和性质，垂线定义理解，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
例4．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）综合与实践
【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图（1），中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图得到的理由是（ ）
A． B． C． D．
(2)求得的取值范围是___________．
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
(3)如图（2），是的中线，交于E，交于F，且．求证：．
【答案】(1)B
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据三角形全等的判定定理去选择即可；
（2）根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可；
（3）延长到，使，连接，证明，推理证明即可．
【详解】（1）解：延长到点，使，
∵，
∴在和中，
∴，
故选：B．
（2）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）证明：延长到，使，连接，
∵是中线，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
知识点训练
1．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，在中，，为斜边中点，将线段绕点逆时针旋转至，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，再证明，得，便可求得结果．
【详解】解：∵，为斜边中点，
∴，
∴，
∴，
由旋转知，
∴，
∵，，
∴（），
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，关键是证明三角形全等．
2．（2023秋·山东威海·七年级统考期末）如图，和都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，，则（ ）
A．6B．5C．8D．7
【答案】A
【分析】根据“”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等量代换，即可得出结论．
【详解】证明：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
3．（海南省海口市（部分校）2022-2023学年八年级上学期期末检测数学试题（A））如图，直线 ，且与的距离为，与的距离为，等腰直角的三个顶点、、分别在直线、、上，，则的面积为（ ）
A．10B．12C．D．25
【答案】C
【分析】，分别过点作的垂线，垂足分别为，证明得出，，根据即可求解．
【详解】解：如图所示，分别过点作的垂线，垂足分别为，
∴，
∵，
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴
∵与的距离为，与的距离为，
∴，，
∴，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线之间的距离，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
4．（2022秋·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）如图所示的网格是由个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图所示（见详解），证明可得，，在正方形中，是对角线，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
在正方形中，是对角线，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查格点三角形的知识，掌握格点三角形中顶点与边的关系，证明三角形全等，根据全等三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键．
5．（2022秋·安徽黄山·八年级统考期末）如图，已知等边和等边，点在的延长线上，的延长线交于点，连接，有下列结论：
①； ②； ③平分； ④，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】证明得到，即可判断①；由，得到，再由，推出，即可判断②；过点B作于N， 于F，证明得到，得到平分，即可判定③；在上截取 ，连接 ，先证明，即可证明得到，推出为等边三角形，则 ， ，即可判断④．
【详解】证明：①∵等边和等边，
∴，，，
在和中，
∴，
∴，故①符合题意；
②∵，
∴，
∵，
则，故②符合题意；
③过点B作于N， 于F，
∵，
∴，
在 和中，
，
∴，
∴，
∴平分，故③符合题意；
④在上截取，连接 ，
由②知，
∴，
由③知：平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和 中
∴，
∴，
∴为等边三角形，则， 故 ，
故④符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质与判定，角平分线的判定等知识，解题关键是作出合适的辅助线，熟练掌握全等三角形的性质与判定方法．
6．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，点，在线段上，，，，要根据“”证明，则还需添加的一个条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】已知，，得出，由，得出，再添加一组直角边对应相等即可证明，据此即可求解．
【详解】∵，，
∴
∵，
∴，
即，
添加，
在和中，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了证明三角形全等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
7．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点O为的内心，，，点M，N分别为，上的点，且．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：；乙：四边形的面积为定值；丙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲正确B．只有乙错误
C．乙、丙都正确D．只有丙错误
【答案】D
【分析】过点O作，于点D，E，根据三角形内心可得，然后证明，可得，进而得到，然后求出可知；根据，可得四边形的面积，根据点D的位置固定，可得四边形的面积是定值；过点O作于点F，根据，，可得，，求出的周长，可得当最小，即时，的周长最小，进而可得结论．
【详解】解：如图，连接，过点O作，于点D，E，
∵点O为的内心，
∴是的平分线，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故甲的判断正确；
∵，
∴四边形的面积四边形的面积，
∵点D的位置固定，
∴四边形的面积是定值，故乙的判断正确；
如图，过点O作于点F，
∵，，
∴，
∴，
∴的周长，
∴当最小，即当时，的周长取得最小值，
此时，不垂直于，故丙的判断错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决本题的关键是掌握三角形内心的定义．
8．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，与相交于点O，且，添加下列选项中的一个条件，不能判定和全等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】已知，由对顶角相等可得到，根据全等三角形的判定方法依次判断即可．
【详解】解：题目隐含一个条件是，已知是，
A、，根据判定三角形全等，不符合题意；
B、，根据判定三角形全等，不符合题意；
C、，无法判定三角形全等，符合题意；
D、，
∴，，根据或能判定三角形全等，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，灵活选用全等三角形的判定方法是解题关键．
9．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，射线为的平分线，点M，N分别是边，上的两个定点，且，点P在上，满足的点P的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
【答案】B
【分析】过点P作，，根据角平分线的性质及全等三角形的判定即可得出结果．
【详解】解：过点P作，，如图所示：
∵射线为的平分线，
∴，
当DM=EN时，
此时
∴满足条件的点P只有1个，
故选：B．
【点睛】题目主要考查角平分线的性质及全等三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
10．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）在和中，已知，，下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】解：已知，，
①添加，根据证明；
②添加，根据证明；
③添加，根据证明；
④添加，无法证明，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
11．（2022秋·四川广安·八年级统考期末）如图，，若要用“”证明，需要补充一个条件，这个条件是__________．
【答案】
【分析】由图形可知为公共边，则可再加一组边相等，可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴可补充，
在和中，
，
∴ ；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
12．（2022秋·福建莆田·八年级统考期末）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是___________．（填写所有正确结论的序号）
①若第3轮甲添加，则甲获胜；
②若第3轮甲添加，则甲必胜；
③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜；
④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负．
【答案】②③④
【分析】根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：①若第3轮甲添加，可根据角角边判定与全等，则乙获胜，故本说法错误；
②若第3轮甲添加，
如图，当，时，以B为圆心，为半径画弧，与射线相交于点C，
，
此时交点C是唯一的，
故甲添加时，与全等，
故甲获胜，故本说法正确；
③若第2轮乙添加条件修改为，
若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定与全等，则乙获胜，
若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定与全等，则乙获胜，
故乙必胜，故本说法正确；
④若第2轮乙添加条件修改为，
第3轮甲若添加一组边相等，满足边边边，能判定与全等，则乙获胜；
甲若添加一组角相等，满足边边角，不能判定与全等，
第4轮乙若添加一组边相等，满足边边边，能判定与全等，则乙获胜； 乙若添加一组角相等，满足角角边（或角边角），能判定与全等，则甲获胜，
此时此游戏4轮能分胜负，故本说法正确．
故答案为：②③④
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
13．（2023秋·山东淄博·七年级统考期末）如图，点C，E，B，F在同一条直线上，．说明．
【答案】见解析
【分析】先证明，再根据证明得到，由此即可证明．
【详解】说明：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的挂件，全等三角形的判定定理有等等．
14．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图相交于点．
(1)求证；
(2)求证．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】(1)根据全等三角形的判定即可得到结论；
(2)根据全等三角形的性质可知角相等，再根据全等三角形的判定可知，进而得出线段相等．
【详解】（1）解：在和中，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴，
∴在和中，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练全等三角形的判定是解题的关键．
15．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点D，E分别在，的延长线上，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据等边三角形的性质，证明，即可得证．
【详解】证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
16．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，已知点O在等边的内部，，，以为边作等边，连接．
(1)求证：；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
【答案】(1)证明见解析
(2)等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）证明，即可得证；
（2）根据，得到，进而得到，利用，求出，推出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，为等边三角形，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
17．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，在四边形中，连接BD，，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质，可得，再根据“边角边”即可证明；
（2）根据，，可得，再结合，即可解答．
【详解】（1）

在和中
（SAS）
（2） ，
是等腰三角形


【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题关键．
18．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在四边形中，P为边上的一点，．、分别是、的角平分线．
(1)若，则的度数为_______，的度数为____________；
(2)求证：；
(3)设，，过点P作一条直线，分别与，所在直线交于点E、F，若，直接写出的长（用含a的代数式表示）
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）利用平行线的性质求得，根据角平分线的定义，得到，，据此即可求解；
（2）延长交的延长线于点，证明，推出，，再证明，据此即可证明；
（3）分两种情况讨论，①将沿向右平移到，②若点F在上，，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵、分别是、的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）证明：如图1，延长交的延长线于点，
由（1）得，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：或，
分两种情况讨论，
①将沿向右平移到，且经过点P，交于点E，交的延长线与点F，则，
由（2）的证明过程，同理可证，
∴，
∴，
∵，，，
∴在中，，
解得，，
由（2）可知，，
∴；
②如图3，若点F在上，，过点P作与点N，与点M．
由角平分线性质定理可得，
在中，，
∴，
则，
在和
∵，，，
由勾股定理可得出，，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平移的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
考点3：角平分线性质定理和逆定理
例5.（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，于点E，于点F，若．
(1)求证：平分；
(2)请猜想与之间的数量关系，并给予证明．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据证明，得到，再根据角平分线的判定定理，求证即可；
（2）通过证明，得到，利用线段之间的关系，求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴平分．
（2）解：，证明如下：
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
例6.（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）如图，在中，E是中垂线上一点，于M，于N，．求证：平分．
【答案】见解析
【分析】连接、，根据垂直平分线的性质证明，根据证明，得出，最后根据角平分线的判定得出结论即可．
【详解】证明：连接、，
∵E在的中垂线上，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴平分．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线的判定，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
知识点训练
1．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B的坐标为，平分交于点C，反比例函数的图象经过点A，C．若，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过C作轴于点N，交的延长线于点M，由，可得，；可求出的长．又易得，所以，设，，由此可表达点A和点C的坐标，由反比例函数中点的坐标特征可建立等式求出n，求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而求出k的值．
【详解】解：如图，过C作轴于点N，交的延长线于点M，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵B点坐标为，
∴，
∵，
∴，
过A作轴于点P，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
设，，则，，
∴点，点，
∵点A，C都在反比例函数图象上，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，角平分线的性质．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
2．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，中，，，以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边、上截取、；然后分别以点D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，P为边上一动点，则的最小值为（ ）
A．3B．2C．1D．无法确定
【答案】B
【分析】利用勾股定理求出，，再根据角平分线的性质定理以及垂线段最短解决问题即可．
【详解】解：由尺规作图步骤可得，平分，
∵，，
∴， ，
∴，而，
∴，
解得：，
同理可得：，
∴，
∴，
当时，最短，此时根据角平分线的性质可得
故选：B．
【点睛】本题考查作图-基本作图，垂线段最短，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是读懂图形信息，属于中考常考题型．
3．（2023秋·山东淄博·七年级统考期末）如图，已知，，的垂直平分线交于点D，于点M，以下结论：①是等腰三角形；②是的角平分线；③的周长；④．正确的有（ ）
A．①③B．①②C．①②③D．③④
【答案】C
【分析】①由，，知，由垂直平分，和三角形外角可求得，所以①正确；②由①，②正确；③由①知，，③正确；④由①知是直角三角形，而为锐角三角形，所以④不正确．
【详解】解：，，
垂直平分
是等腰三角形，
①正确；
是的角平分线；
②正确；
③正确；
垂直平分，是直角三角形，
而为锐角三角形，
④错误，
故选：C
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质及等腰三角形性质的综合应用，是基础题，要熟练掌握．
4．（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③④B．①②④⑤C．①③④⑤D．①②③⑤
【答案】D
【分析】证明，证明，再利用全等三角形的性质即可判断①②；由可得，再由，证得即可判断③；分别过A作，，根据全等三角形面积相等和，证得，即可得平分，可无法得到平分，可判断④；由平分结合即可判断⑤．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵和都是等腰三角形，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，，故①②符合题意；
设与交于点G，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，故③符合题意；
分别过A作，垂足分别为M、N，
∵，
∴，
∴平分，
∴，
若平分，
∴，
∴，而，
∴，
∴，与题干条件互相矛盾，故④不符合题意；
∵平分，，
∴，故⑤符合题意．
综上，正确的是①②③⑤，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识，熟练证明三角形全等是解答本题的关键．
5．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．
B．角平分线上的点到角两边的距离相等．
C．三角形三个内角的平分线交于同一个点．
D．三角形三个内角的平分线的交点到三条边的距离相等．
【答案】A
【分析】如图，过点P作于E点，于F点，则，然后根据角平分线的性质定理的逆定理可判断平分，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：如图，过点P作于E点，于F点，
∵两把长方形直尺完全相同，
∴，
∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的性质、角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
6．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）如图，在中，，角平分线，相交于点，若，，则（ ）．
A．4B．6C．12D．24
【答案】B
【分析】过点作，，，垂足分别为，根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，，易得，即可推导为的平分线，结合，可知，再根据“直角三角形中30度的角所对的直角边等于斜边的一半”可得，然后由即可获得答案．
【详解】解：如下图，过点作，，，垂足分别为，
∵，分别为，的平分线，
∴，，
∴，
∴为的平分线，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理以及角平分线的判定定理、直角三角形中30度的角所对的直角边等于斜边的一半等知识，理解并掌握相关知识是解题关键．
7．（2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）已知，如图，中，，，点、分别在、延长线上，平分，平分，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作于点，于点，于点，利用角平分线的性质得到，进而证明平分，利用三角形外角的性质求出的度数即可得到答案．
【详解】解：作于点，于点，于点，
平分，平分，
，，
，
，，
平分，
，，
，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与判定，三角形外角的性质，证明平分是解题的关键．
8．（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，在和中，，连接，交于点，连接．甲、乙、丙三人的说法如下，下列判断正确的是（ ）
甲：；乙：；丙：平分
A．乙错，丙对B．甲和乙都对C．甲对，丙错D．甲错，丙对
【答案】A
【分析】根据已知条件可知三角形的全等，根据全等三角形的性质可知边相等，对应的高相等，再根据三角形的内角和即可求出角的大小．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴在和中
∴
∴，
∴，故甲正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，故乙错误；
如图所示：过点作，，
∵
∴，
∴平分，故丙正确；
故选
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的判定等相关知识点，熟记对应性质和判定定理是解题的关键．
9．（2023秋·重庆大足·八年级统考期末）如图，的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是三条角平分线的交点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点O作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质定理可知．再由三角形的面积公式计算，作比即可．
【详解】如图，过点O作于点D，于点E，于点F，
∵点是三条角平分线的交点，
∴．
∵，
，
，
∴．
故选A．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理．正确作出辅助线，由角平分线的性质定理得出是解题关键．
10．（2022秋·甘肃庆阳·八年级统考期中）庆阳市是传统的中药材生产区，优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．如图，三条公路把A、B、C三个盛产中药材的村庄连成一个三角形区域，此地区决定在这个三角形区域内修建一个中药材批发市场，要使批发市场到三条公路的距离相等，则这个批发市场应建在（ ）
A．三角形的三条中线的交点处B．三角形的三条角平分线的交点处
C．三角形的三条高的交点处D．以上位置都不对
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质定理，即可求解．
【详解】解∶∵角平分上的点到角两边的距离相等，且批发市场到三条公路的距离相等，
∴这个批发市场应建在三角形的三条角平分线的交点处．
故选：B
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
11．（2022秋·海南海口·八年级校联考期末）如图，在中，，平分，，，则的面积为__________．
【答案】24
【分析】过点作于点，根据角平分线的定义得出，进而根据三角形的面积即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵中，，平分，，
∴，
∵，
∴的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
12．（2023·湖南衡阳·校考一模）如图所示，点O在一块直角三角板上（其中），于点M，于点N，若，则_______度．
【答案】15
【分析】，，可知，从而可证，根据全等三角形的性质可得；或可证得平分，即可求出的度数．
【详解】解：方法一：，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
方法二：，，，
平分，
，
，
．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等特有的方法是解题的关键．
13．（2023秋·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，与都为等边三角形，连接与，延长交于点，连接．给出下面四个结论：① ； ②； ③平分； ④平分.其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①②④
【分析】证明 ，根据全等三角形的性质即可判断①，设交于点，根据三角形的外角的性质得出，即可判断②，过点，分别作的垂线，垂足分别为，证明，根据角平分线的判定得出④正确，而判断③的条件不够，进而即可求解．
【详解】解：∵与都为等边三角形，
∴，
∴,即,
∴ ，
∴，故①正确；
如图，设交于点，
∵，
∴，
∵
∴，
即，故②正确；
如图所示，过点，分别作的垂线，垂足分别为，
∴，
又，
∴
∴，
又，
∴平分，故④正确，
若平分，则，根据已知条件不能得到，
故③不正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，掌握以上知识是解题的关键．
14．（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）已知：平分，点，分别在边，上，且．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当时，作于点．求证：
①；
②请直接写出，，之间的数量关系 ．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）证明，即可得证；
（2）①作于点，证明，即可得证；
②证明，得出，根据，即可得证．
【详解】（1）证明：，且，
，
平分，
，
，
，
；
（2）证明：①如图，作于点，
于点，
，，
，，
，
在和中，
，
，
；
②结论：．
理由：在和中，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
15．（2022春·广东茂名·八年级统考期中）如图，在中，，，平分交于点，过点作交于点，若，求的长．
【答案】
【分析】根据题意，可以求得的度数，再利用平行线的性质，角平分线的定义求解，再利用含的直角三角形的性质求解，证明，求解，从而可以求得的长．
【详解】解：∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
在中，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，含角的直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
考点4：线段垂直平分线性质定理和逆定理
例7. (1)（2023秋·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校考期末）如图，中，，如果要使用尺规作图的方法在上确定一点P，使，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由和可得，点P在线段的垂直平分线上，因此这道题就转化成了作线段的垂直平分线，与的交点即为点P．
【详解】∵，而，
∴，
∴点P在线段的垂直平分线上，
即点P为线段的垂直平分线与的交点．
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线定理的逆定理以及尺规作图——作线段的垂直平分线．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
(2)（2023秋·云南曲靖·八年级统考期末）如图，在中，，是边的垂直平分线，垂足为E，交于F．是边的垂直平分线，垂足为M，交于N．连接、则的度数是（ ）
A．70B．55C．40D．30
【答案】C
【分析】根据垂直平分线的性质得，，再由等边对等角，以及三角形内角和定理求出所求角度数即可．
【详解】解：∵是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
(3)（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）电信部门要再S区修建一座手机信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B的距离必须相等，到两条高速公路，的距离也必须相等，则发射塔应建在（ ）
A．的平分线上任意某点处B．线段的垂直平分线上任意某点处
C．的平分线和线段AB的交点处D．的平分线和线段垂直平分线的交点处
【答案】D
【分析】利用线段垂直平分线的性质、角平分线的性质即可求解．
【详解】解：发射塔到两个城镇 A，B的距离必须相等，
发射塔应建在线段垂直平分线上．
发射塔到两条高速公路，的距离相等，
发射塔应建在的平分线上．
发射塔应建在的平分线和线段垂直平分线的交点处．
故选D．
【点睛】本题考查线段垂直平分线和角平分线的实际应用，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
例8. （2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在中，是的垂直平分线，于点D，且D为的中点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质可求，可得，再证明，结合三角形的外角的性质求解，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵于点D，且D为线段的中点，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键．
知识点训练
1．（2022秋·海南海口·八年级校联考期末）如图，在中，垂直平分，若，，则的周长等于（ ）
A．11B．13C．14D．16
【答案】C
【分析】根据垂直平分线的性质得出
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴的周长等于，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
2．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，等腰的底边长为6，面积是24，E为腰的垂直平分线上一动点．点D为的中点，则的周长的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．11
【答案】D
【分析】连接由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】连接，，
∵是等腰三角形，点D时边的中点，
∴
解得：，
∵是线段的垂直平分线
∴点B关于直线的对称点为点A
∴的长为的最小值
∴的周长最短
，
故选D.
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
3．（2023秋·福建泉州·八年级校联考期末）如图，根据尺规作图的痕迹，计算的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据图像，明确是线段的中垂线和的角平分线相交构成的锐角即可解题．
【详解】由图可知，是线段的中垂线和的角平分线相交构成的锐角，
∵，
∴，
∴，
故选：A
【点睛】本题考查了尺规作图，属于简单题，熟悉尺规作图的方法是解题关键．
4．（2023秋·山东东营·八年级统考期末）如图，平行四边形的对角线、交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，求得，即，即可得到；依据，，可得，进而得出平分；依据中，，即可得到；由三角形的中位线定理可得出，则可得出，则可得出结论．
【详解】解：，，平分，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，
，
，即，
，故①不符合题意；
，，
，
平分，故②符合题意；
中，，
，故③不符合题意；
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
垂直平分，故④符合题意，
所以正确的有：②④．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
5．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在中，，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点D；（2）连接，，，与交于点E，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．是等边三角形D．垂直平分
【答案】D
【分析】利用作图方法得到，，垂直平分，然后依次对四个选项进行判断．
【详解】由题中作图方法可知，，垂直平分，
∴，即和都是直角三角形．
A、在和中，∴，则该选项的结论正确，不符合题意；
B、在和中，∴，则该选项的结论正确，不符合题意；
C、∵，∴是等边三角形，则该选项的结论正确，不符合题意；
D、无法判断是否垂直平分，则该选项的结论错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了尺规作图——作线段垂直平分线的应用、垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定，等边三角形的判定等知识，解题的关键是掌握这些判断方法、性质，尤其是要正确理解垂直平分线的判定内容．
6．（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在中，，，垂直平分，交于点，交于点，若，则为______cm．
【答案】
【分析】连接，根据垂直平分，则，，根据三角形的内角和为，可求出的角度，根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，即可求出．
【详解】解：连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂直平分线、三角形内角和的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半．
7．（2023秋·重庆万州·八年级统考期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若是的角平分线，且时，则___________．
【答案】
【分析】通过垂直平分线的性质求出边等，再推出角等，通过角的数量关系列方程求解即可．
【详解】 的垂直平分线交于点D

是的角平分线




解得
那么
故答案为：
【点睛】此题考查垂直平分线的性质，以及外角定理，解题关键是找出数量关系列方程．
8．（2023秋·山东淄博·七年级统考期末）如图，已知是线段的垂直平分线，垂足为点F．E是上的一点，，．试求的周长．
【答案】
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据含30度角的直角三角形的性质得到，最后根据三角形周长公式求解即可．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的周长为12．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
9．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点E，交于点F．
(1)按要求作图：作的平分线，交于点D，交于点O，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
(2)求证：点O在的垂直平分线上；
(3)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)30°
【分析】（1）直接根据角平分线的尺规作图作法解答即可；
（2）先说明是的垂直平分线可得，同理：，最后根据到线段两端点距离相等的点即可证明结论；
（3）根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据垂直平分线的性质可得，进而得到，最后根据三角形外角的性质即可解答．
【详解】（1）解：如图所示:
（2）证明：∵，平分
∴
∴是的垂直平分线
∴
∵是的垂直平分线
∴
∴
∴点O在的垂直平分线上．
（3）解：∵、
∴
∵平分
∴
∵是的垂直平分线
∴
∴
∵
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用垂直平分线的性质是解答本题的关键．
10．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，，M，N分别是射线上的动点，平分，，则的周长的最小值为（ ）
A．9B．C．6D．27
【答案】A
【分析】作P点关于射线的对称点C点，作P点关于射线的对称点D点，连接，与射线的交点
即为M点、N点，连接，此时的周长最小，证明是等边三角形即可求解．
【详解】解：作P点关于射线的对称点C点，作P点关于射线的对称点D点，连接，与射线的
交点即为M点、N点，连接，此时的周长最小，
∵C点、P点关于射线对称，
∴射线垂直平分，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定及性质，利用对称将的周长最小值转化为两点间线段最短是关键与难点．
11．（2022秋·山东临沂·八年级校考期末）.如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】根据题意，P点既在线段的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔P的位置．
【详解】解：作出线段的垂直平分线，与的平分线交于P点，
则如图，P点为所求．
．
【点睛】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的作图，是基本作图题，需熟练掌握．
12．（2023·全国·九年级专题练习）如图，，点与点关于射线对称，连接．点为射线上任意一点，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．
(1)求证：直线是线段的垂直平分线；
(2)点是射线上一动点，请你直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)当为钝角时，；当为锐角时，．
【分析】（1）连接，，，可得为等边三角形，再利用证明，得，从而证明结论；
（2）分为钝角和为锐角两种情形，分别画出图形，即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接，，，
点与点关于射线对称，，
，，
，
，
为等边三角形，，
，
，
则，
在和中，
，
，
，
，
，
又，
垂直平分；
（2）解：解：如图，当为钝角时，由（1）知，
，
如图，当为锐角时，
，，
．
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
13．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）综合与实践
问题情境：课堂上老师展示了一张直角三角形纸片．请同学们进行折纸活动，已知在中．，点D、F分别是上的一点．连接．
(1)如图1．小红将沿直线折叠，点B恰好落在上点E处，若，则的值______．
(2)如图2，小明将沿直线DF折叠，点B落在AC上点E处，若，求证：四边形BDEF是菱形；
(3)如图3．小亮将沿直线DF折叠，点B落在AC延长线上点E处，且EF平分，若，，求CE的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1根据折叠的性质得到，证明，得到，再由，推出，则；
（2）方法一：先证明，再证明，得到，则四边形是平行四边形．再由，即可证明四边形是菱形；方法二：先证明，得到．再证明．推出，即可证明四边形是菱形；方法三：同方法一证明四边形是平行四边形．连接，证明点都在的垂直平分线上．得到，则四边形是菱形；方法四：连接，交于点，先证明，得到，再证明点都在的垂直平分线上．得到．证明，进而推出，即可证明四边形是菱形；
（3）证明得到．求出，．则．
【详解】（1）解：由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：方法一：∵，
∴．
∴．
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形．
方法二：∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
由折叠可知：．
∴．
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
方法三：∵，
∴．
∴，
∴，
∴．
由折叠可知：．
∴
∴
∴四边形是平行四边形．
连接，
∵，，
∴点都在的垂直平分线上．
∴
∴四边形是菱形．
方法四：连接，交于点，
∵，
∴．
∴，
∴，
∴
由折叠可知：
∴．点都在的垂直平分线上．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
（3）∵平分，
∴．
由折叠可知：．
∴．
又∵，
∴
∴．
∴．
∴，．
∴．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
14．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）（1）如图1，在中，，．求证．
①补全证明过程．
证明：如图2，取中点D，连接．
∴．
在中，，
∴______；
∴．
又，
∴．
∴为______三角形．
∴．
②请用文字概括①所证明的命题：____________．
（2）如图3，某市三个城镇中心D，E，F恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇D为出发点设计了三种连接方案：
方案1：；
方案2：（G为的中点）；
方案3：（O为三边的垂直平分线的交点）．
①设，通过计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短；
②不计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短，并说明理由．
【答案】（1）①；等边；②在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（2）①方案三最短，方案一最长；②方案三最短，方案一最长，理由见解析
【分析】（1）取中点D，连接．由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合，可证为等边三角形，即可证明；
（2）①方案二中，利用腰三角形三线合一的性质、勾股定理可求得；方案三中，根据垂直平分线的性质可证，利用含30度角的直角三角形的性质可证，进而可求得，分别计算出三种连接方案中铺设的光缆长度，比较大小即可；②过O作，，垂足为H，I，利用含30度角的直角三角形的性质可证，再根据可得．
【详解】解：（1）补全证明过程如下：
证明：如图2，取中点D，连接．
∴．
在中，，
∴；
∴．
又，
∴．
∴为等边三角形．
∴．
故答案为：；等边；在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
（2）①方案1：；
方案2：∵是等边三角形，
∴，．
∵G为的中点，
∴，，．
∴，
∴，
∴．
方案3：如图3，延长交于H，
∵O为三边的垂直平分线的交点，
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
在中，．
∴．
∴．
∴，
∵，
∴，
∴方案三最短，方案一最长．
②在中，，．
∴．
易证．
过O作，，垂足为H，I，
∴．
∵，，
∴E，O在的垂直平分线上．
∴．即E，O，I在一条直线上．
同理，D，O，H在一条直线上，
∴，
易证，，
∴，即．
∴．
∴方案三最短，方案一最长．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的判定与性质、角平分线的性质定理等，综合性较强，难度较大，解题的关键是正确作辅助线，综合运用上述知识点，逐步进行推导论证．
15．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连接、，将线段沿直线对称，我们发现与完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
解答下列问题：
(1)请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程．
已知：如图1，，垂足为点C，______，点P是直线上的任意一点．求证：______．
(2)证明：如图2，是线段垂直平分线，则与有何关系？请说明理由．
【答案】(1)，，证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据题意证明，然后利用全等三角形的性质求解即可；
（2）首先根据垂直平分线的性质得到，然后根据等边对等角得到，进而求解即可．
【详解】（1）填空答案为：，．
证明：∵，
∴
在和中，
∴
∴；
（2）．
理由：∵是线段垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
即．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判断，等腰三角形等边对等角性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
考点5：全等三角形的综合问题
例9. （2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，在中，， 于点，，平分交于点，的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）先根据全等三角形的判定证明得到，再根据等角的余角相等得到，进而利用平行线的性质即可证得结论；
（2）根据平行线的性质和定理证明得到，，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、勾股定理、平行线的判定与性质、等角的余角相等等知识，利用全等三角形的判定与性质证明边角相等是解答的关键．
例10. （2022秋·湖北黄冈·八年级统考期末）已知是的平分线，点P是射线上一定点，点C、D分别在射线、上，连接、．
(1)如图①，当，时，则与的数量关系是___________；
(2)如图②，点C、D在射线、上滑动，且，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由．
(3)在问题（2）中，若，则四边形的面积S是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)成立，理由见解析
(3)四边形的面积S为定值9
【分析】（1）通过证明即可得出结论；
（2）过点P作于点E，于点F，通过证明即可得出，再证明，即可得出结论；
（3）根据，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）成立，理由如下：
过点P作于点E，于点F，
∵是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
（3）由（2）可得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵．
∴四边形的面积S为定值9．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，正确画出辅助线，构造全等三角形求解．
知识点训练
1．（2022秋·河南商丘·八年级统考期中）如图，在中，，分别为边上一点，连接．已知．
(1)求证：平分；
(2)若， 求证：．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)证明过程见详解
【分析】（1）利用边边边证明和全等，根据全等三角形的性质即可求证；
（2）由（1）可求出，在四边形中，求出的度数，由此即可求证．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴平分．
（2）证明：由（1）可知，
∴，
∵，在四边形中，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查直角三角形，四边形的内角，平角知识的综合，掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形内角和，四边形内角和，平角，周角的性质是解题的关键．
2．（2023秋·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在中，，D是上一点，，E是上一点，，．
(1)求证：平分；
(2)求的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）过点E作于F，根据等腰三角形的性质得出，进而得出，再证明，得出，即可得出结论；
（2）先求出，根据等边对等角得出，再根据三角形的外角即可得出答案．
【详解】（1）解：过点E作于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角，等腰三角形的性质，正确理解题意是解题的关键．
3．（2023秋·重庆长寿·九年级统考期末）在图（1）至图（2）中，直线与线段相交于点，．
(1)如图（1），若，请写出与 的数量关系和位置关系；
(2)将图（1）中的绕点顺时针旋转得到图（2），其中．求证：，．
【答案】(1)，
(2)证明过程见详解
【分析】（1）证明是等腰直角三角形，即可求解；
（2）如图（见详解），过点作交于点，证明，可求出，，延长交的延长线于点，即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与线段相交于点，，
∴（对顶角相等），
∴，
在中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，垂足为点，，
∵，且点共线，
∴，．
（2）证明：如图，过点作交于点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
延长交的延长线于点，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，全等三角形，平行线的综合运用，掌握等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解题的关键．
4．（2023秋·重庆万州·八年级统考期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得．
(1)试说明；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)7cm
【分析】（1）证明全等后直接说明即可．
（2）利用线段的和差关系直接代值求解即可
【详解】（1）∵，
∴
又∵．
∴
∴
∴
在和中，
∴
∴
（2）∵
∴，
∴，
在中，
∴
【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定，以及勾股定理，解题思路是找准条件判定全等，解题技巧是通过勾股定理求解边长，然后通过线段和差关系求解．
5．（2022秋·海南海口·八年级校联考期末）如图1，在中，于点D，，将绕点D顺时针旋转，它的两边分别交点E、F．
(1)求证：；
(2)如图2，若，连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由已知条件和等腰直角三角形的性质得到，由，即可得到，则，即可证明；
（2）证明，即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图，
∵
∴，
∴.
∵，
∴，.
∴，
∴
（2）如图，

由（1）知，
∵，
∴
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是是解题的关键．
6．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，已知平分于点于点且
(1)求证： ；
(2)若 求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长是6
【分析】（1）根据角平分线的性质可以得出，根据HL证明即可；
（2）先证明，就可以得出，设，就可以得出求出方程的解即可．
【详解】（1）证明：∵平分于于F，
，
∵在和中，
∴，
即．
（2）解：由（1）得，
设
∵在和中，
，
即：
解得
【点睛】本题主要考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．直角三角形全等的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
7．（2023秋·广西南宁·九年级统考期末）如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点.
(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）根据矩形的性质得出，，根据旋转的性质得出，，再证明即可；
（2）根据矩形的性质得出，由全等三角形的性质得出，再计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
由旋转性质，得：，，
∴，，
∵在矩形中，，
∴，
在和中，
，
∴，
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即的度数为．
【点睛】本题考查矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出全等是解题的关键．
8．（2023秋·山东威海·七年级统考期末）在四边形中，点C是边的中点．
(1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由；
(2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由．
【答案】(1)，见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论；
（2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论；
【详解】（1），理由如下：
在上取一点F，使，连接．
∵平分，
∴，
在和中
∴．
∴ ，，
∵C是边的中点．
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中
∴．
∴ ．
∵，
∴．
（2），理由如下：
在上取，，连接，．
与（1）同理，可得，．
∴，，，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴为等边三角形．
∴．
∵，
∴．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
9．（2022秋·广西柳州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，且a，b满足，连接．
(1)求点A，B点的坐标；
(2)如图1，动点C从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接AC，过点C作，且，点D在第一象限，请用含有t的式子表示点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，如图2，连接并延长交x轴于点E，连接和，过点B作线段交x轴于点F，使得，已知此时点F的坐标为，求的面积．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据绝对值的非负性，得出，，即可得出答案；
（2）过D作轴于P，则，先证明，进而得出，求出，，则，即可得出答案；
（3）由知（2）知：，先证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求出，再证明，求出，进而得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵a，b满足，
∴，，
∴，，
∴，；
（2）解：如图所示，过D作轴于P，则，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：由知（2）知：，
∴，
而，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
又∵，
∴．
∵，
而，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确理解题意是解题的关键．
10．（2023秋·福建福州·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，点，，，点D在第四象限，其中，，，，．
(1)如图1，求证：；
(2)若，且．
①如图1，求四边形的面积；（用含a的式子表示）
②如图2，交y轴于点E，连接，当E关于的对称点K落在x轴上时，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)①；②．
【分析】（1）先得出，得出，再根据，即可得出结论；
（2）①利用绝对值的非负性，求出，，作，证明，得出，再利用即可得出答案；
②作，连接，，根据全等三角形的性质得出，进而得出，，得出，进而得出，求出的解析式为，再得出，求出，得出，最后求出．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，，
∴，，
作，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，

；
②作，连接，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵E关于的对称点K落在x轴上，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为，
，
解得：，
∴的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，坐标与图形，勾股定理，求一次函数，绝对值的非负性，正确作出辅助线是解题的关键．
轮次
行动者
添加条件
1
甲
2
乙
3
甲
…