中考数学一轮复习过关练4.4 特殊三角形知识点演练（讲练）（2份，原卷版+解析版）

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考点1：等腰三角形的性质和判定
例1．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，和都是等腰直角三角形，，点、、在同一条直线上，连结．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)过点作于点，若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)13．
【分析】（1）已知和都是等腰直角三角形，，推出，，，得到，即可证明；
（2）由题意得：，，得到，，由（1），得到，即可求得的度数；
（3）已知，得到，和都是等腰直角三角形，推出．，由（1），得到，在中，利用勾股定理即可求得线段的长．
【详解】（1）和都是等腰直角三角形，，
，，．
．
．
（2），，
．
．
，
．
．
（3），
．
，
和都是等腰直角三角形．
．
．
，
．
在中，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
例2．（2022秋·浙江金华·八年级校考期末）如图，在中， ，是边上的高线，过点作交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连结交于点，若，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得出，，根据平行线的性质得出，等量代换得到，根据等角对等边即可得到结论；
（2）作，交于，交于点，连接，则，得出，进而得出，是等腰直角三角形，得出，，证明，得出，根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质得出，利用勾股定理求得，进而求得．
【详解】（1）证明：在中，，
是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）作，交于，交于点，连接，则，
是等腰三角形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
,
又

，
又
，
是等腰直角三角形，
，，
又，
，
，
在与中，
，


，
，
，，
，
，

，
的长为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
知识点训练
1．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，D为内一点，平分，，，若，．则的长为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】延长与交于点E，由可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，，即可推出的长度．
【详解】延长与交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又 平分，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
2．（2023·陕西西安·统考一模）如图，在中，，，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】D
【分析】过点F作于G，先求出，则，设，则，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】过点F作于G，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的性质，勾股定理，能够准确作出辅助线是解题的关键．
3．（2023秋·贵州铜仁·八年级统考期末）已知，如图，在中，，，D为的中点，E，F分别是，上的点，且．判断的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．无法判断
【答案】B
【分析】连接，，，得出，求出，根据直角三角形的性质求出，，，证明，得出，，求出，即可得出结果．
【详解】解：连接，如图所示：
∵在中，，，
∴，
∴，
∵D为的中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴为等腰直角三角形，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明．
4．（2022秋·重庆·八年级统考期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
【答案】C
【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理得到，再根据线段垂直平分线的性质得到，则．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
故选C ．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题的关键．
5．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于点，的平分线交于点，交的延长线于点，与交于点，连接，下列结论错误的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质一一判断即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，同理可证，
，
，
，故C正确，
，，
，故A正确，
，
，
，
，
，同理可证，
，
，故B正确，
无法证明，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质解决问题．
6．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，中，，点D在上，于E，于F，且，则下列五个结论：①，且；②；③；④连接，垂直平分；⑤若，则．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【分析】证明，可得，，，是等腰的中线，即有，是的平分线，可判断正确；结合，，可判断正确；结合，，可得，，即可判断正确；连接，证明是等腰三角形，根据“三线合一”可知垂直平分，即正确；证明是等边三角形，即可得正确．
【详解】∵中，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴是等腰的中线，
∴，是的平分线，
即正确；
∵，，
∴，即正确；
∵，，
∴，，
∴，即正确；
连接，如图，
∵，
∴是等腰三角形，
∵是的平分线，
∴是底边的中线和高线，
∴垂直平分，即正确；
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，即正确；
即正确的有5个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键．
7．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）如图，等腰中，，，，作的平分线交于点，，，，求的长为_________________．
【答案】6
【分析】在上截取，是的平分线，即可证明，证明，然后根据列方程求解．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
设，
∴，
在上截取，如图所示：
∵是的平分线，
∴，
在和中，

∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
则 ，即，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质，正确做出辅助线，构造全等三角形，是本题的关键．
8．（2022秋·黑龙江大庆·七年级大庆市第三十六中学校考期末）如图，已知中，，，直角的顶点是的中点，两边分别交于点E、F，给出以下四个结论：
①；②是等腰直角三角形；③；④，当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有_______（填序号）．
【答案】①②③
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形的可得，判定①正确，等腰直角三角形的定义得到是等腰直角三角形，判定②正确；根据全等三角形的面积相等可得的面积等于的面积相等，然后求出四边形的面积等于的面积的一半，判定③正确，根据，只有当E与A、B重合时，．判定④错误．
【详解】如图,连接,
∵，点P是的中点，
∴，
∴，
∵是直角，
∴，
∴；
在和中，
，
∴，
∴，，故①正确；
∴是等腰直角三角形，故②正确；
∵，
∴，
∴，
故③正确，
∵，只有当E与A、B重合时，．
∴④不正确；
综上所述，正确的结论有①②③．
故答案为：①②③
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出，从而得到是解题的关键，也是本题的突破点．
9．（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）如图，在中，，且，点E是线段上一点，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据垂直得到，在利用“”即可证明；
（2）根据全等三角形的性质，得到，再利用垂直，得到，证明是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题关键．
10．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）已知：在中，，．
(1)如图，点D在边上，点E在AC边上，，BE与CD交于点F．试判断BF与CF的数量关系，并加以证明；
(2)点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且，BE与CD交于点F．若是等腰三角形，求的度数．
【答案】(1)，证明见解析
(2)或
【分析】（1）证明，得出，根据等腰三角形判定即可得出答案；
（2）先求出，由（1）得出，设，则，，，分三种情况：①当时，②当时，③当时，求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）知，，
∴，
设，
则，，
，
∵是等腰三角形，故分三种情况讨论：
①.当时，此时，
∴,得，
即；
②当时，此时，
∴,得，
即；
③当时，此时，
∴,不符题意，舍去；
综上所述，或．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，正确理解题意是解题的关键．
11．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，在中，点在上，点为的中点，连结并延长至点，使，连结．
(1)求证：．
(2)若平分，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据为的中点，得到，结合，，即可得到证明；
（2）根据可得，平分可得，即可得到证明；
【详解】（1）证明：∵点E为的中点，
∴，
∵
∴；
（2）证明：由（1）得：，
∴，
∵平分，
∴
∴
∴；
【点睛】本题考查三角形全等的性质与判定，角平分线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是找到三角形全等的条件．
12．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在中，，点D、E、F分别在，，边上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当时，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）根据等边对等角得到，利用“”证明，得到，即可证明结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得到，再根据，得到，然后利用三角形的外角性质推出，最后利用三角形内角和即可求出的度数．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
13．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级校考期末）如图，在中，的平分线分别与线段交于点F，E，与交于点G．
(1)求证：．
(2)若，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义证明，得到，即可证明；再根据平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，同理可得，则；
（2）过点C作交于K，交于点I，证明四边形是平行四边形，，得到，再证明，得到，则，同理证明，得到，求出，则．
【详解】（1）证明：在平行四边形中，，
∴．
∵分别是的平分线，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴；
（2）解：过点C作交于K，交于点I，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵D，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义等等，正确作出辅助线是解题的关键．
14．（2023秋·四川乐山·八年级统考期末）如图，在中，，，，点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接．设点运动的时间为秒．
(1)填空：______；
(2)当为何值时，线段的长最小；
(3)当为何值时，为等腰三角形．
【答案】(1)10
(2)
(3)或
【分析】（1）勾股定理即可得解；
（2）根据垂线段最短，得到当时，线段的长最小，利用等积法求出的长，进而求出的长，即可得解；
（3）分，三种情况，讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴；
故答案为：；
（2）解：根据点到直线的距离，垂线段最短，可知：当时，线段的长最小，如图，
∵，
∴，即：，
∴，
在中，，
∴；
∴当时，线段的长最小；
（3）解：①当时，如图，
∵，
∴，
∴；
②当时，如图，
则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
③当时，此种情况不存在；
综上：当或时，为等腰三角形．
【点睛】本题考查勾股定理，垂线段最短以及等腰三角形的判断和性质．熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
15．（2023秋·贵州铜仁·八年级统考期末）已知，如图，在等腰三角形中，，D是AB的中点，点E，F分别是AC，BC上的动点，且始终满足．
(1)求证：；
(2)求的大小；
(3)已知，求出四边形的面积，并直接写出四边形的面积与三角形的面积之间的关系．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)100，
【分析】（1）连接，证明即可得出结论；
（2）由可证出，再根据即可得出答案；
（3）求出，，即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接，如图，
在等腰三角形中，，D是的中点，
，，
在与中，
，
，
；
（2） ，
，

即，
在等腰三角形中，，D是的中点，
，
；
（3）在等腰三角形中，，，
，
，
，
，
四边形的面积与三角形的面积之间的关系为:．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
16．（2023秋·辽宁铁岭·九年级统考期末）如图1，在中，，点D，E分别在边上，，连接，过点C作，垂足为H，直线交直线于F．
(1)求证：；
(2)将图1中的绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；
(3)若，将绕点C逆时针旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)仍然成立，理由见解析
(3)
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得出，进而可证明，即可得出结论；
（2）作交直线于点，证明，由全等三角形的性质可得出，再证明，由全等三角形的性质可证明；
（3）分两种情况画出图形，由直角三角形的性质即勾股定理可得出答案．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）仍然成立，理由如下：
如下图，作交直线于点，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①当点在延长线上时，过点作于点，如下图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）可知，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点在线段上时，过点作于点，如下图，
同理可得 ，，，
∴，
∴．
综上所述，的长为或．
【点睛】本题是旋转变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、平行线的性质等知识，正确作出辅助线，综合运用所学知识是解题关键．
17．（2023秋·四川乐山·八年级统考期末）如图1，中，于，，，过点作于，交于．回答下列问题：
(1)求线段的长；
(2)连结，求证：；
(3)如图2，若点为的中点，点为线段延长线上一动点，连结，过点作，交线段延长线于点，则的值是否发生变化？若发生变化，请求出该值的取值范围；若不变化，请求出该值．
【答案】(1)2
(2)证明见详解
(3)不发生变化，4
【分析】（1）证，即可得出；
（2）过分别作于点，作于点，证，得出．得出平分，即可得出结论；
（3）连接，由等腰直角三角形的性质得出，，，则，证出．证，得，进而得出答案．
【详解】（1）解：，，
，
，
，
在和中，，
，
；
（2）过分别作于点，作于点，如图1所示：
在四边形中，，
．
在与中，，
，
．
，，
平分，
；
（3）的值不发生改变，等于4．理由如下：
连接，如图2所示：
，，为的中点，
，，
，，
．
，
即，
．
在和中，，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
考点2：等边三角形的性质和判定
例3．（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，是等边三角形，且点B的坐标为，点A在反比例函数的图象上．
（1）反比例函数的表达式为______；
（2）把向右平移a个单位长度，对应得到．
①若此时另一个反比例函数的图象经过点，则k和的大小关系是：k______（填“”、“”或“”）；
②当函数的图象经一边的中点时，则______．
【答案】 或
【分析】（1）如图所示，过点A作于C，利用等边三角形的性质和勾股定理求出，再利用待定系数法求解即可；
（2）求出，由，得到，则；
（3）分当函数的图象经过的中点时，当函数的图象经过的中点时，两种情况利用两点中点坐标公式和待定系数法求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点A作于C，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
故答案为：；
（2）①∵把向右平移a个单位长度，对应得到，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）当函数的图象经过的中点时，
∵，
∴函数的图象经过点，
∴，
∴；
当函数的图象经过的中点时，
∵，
∴函数的图象经过点，
∴，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，坐标与图形变化—平移，等边三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
例4．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，在中，，平分，于点M，交于点G，平分，交于点D，交于点F，．
(1)判断直线与线段之间的关系，并说明理由．
(2)若，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)垂直平分，理由见解析
(2)是等边三角形，理由见解析
【分析】（1）根据可得，根据可得，则，再根据角平分线的定义，进一步得出，则是等腰三角形，最后根据“三线合一”即可得出结论；
（2）根据得出，根据（1）中是等腰三角形，即可得出结论．
【详解】（1）解：垂直平分，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴垂直平分．
（2）是等边三角形．
理由：
∵，
∵，
∴，
由（1）知，
∴是顶角为的等腰三角形，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，熟练正确等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
知识点训练
1．（2023秋·云南楚雄·八年级统考期末）在中，若，，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】先判断为等边三角形，然后等边三角形的性质得到．
【详解】解：，，
为等边三角形，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形是解题的关键．
2．（2023秋·山东菏泽·九年级统考期末）如图，为等边边上一点，，，，则的长为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】证明，继而根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴
∴
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
3．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）在中，，的周长为12，设的长为，下列说法不正确的是（ ）
A．为等腰三角形时，B．不可能是等边三角形
C．为直角三角形时，D．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义以及三角形的三边关系分析解答即可．
【详解】解：A、当，即时，是等腰三角形，说法正确，故选项不符合题意；
B、周长为12的等边三角形，边长为4，而，故不可能是等边三角形，说法正确，故选项不符合题意；
C、是直角三角形时，根据勾股定理的逆定理可知，时，或，，都可以，原说法错误，故选项符合题意；
D、根据三角形的三边关系可知，说法正确，故选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义以及三角形的三边，解题的关键是熟练掌握各种三角形的判定方法．
4．（2023秋·山东菏泽·九年级统考期末）如图，点A，B，C是上的点，四边形是平行四边形，，交于点F，则的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到，根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，又，
∴，
∴为等边三角形，
∵，，
∴，
∴，
由圆周角定理得，
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．
5．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）如图，D为等边三角形内的一点，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论：①点D与点的距离为5；②可以由绕点A逆时针旋转60°得到；③；④点D到的距离为3；⑤．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】连接，根据旋转的性质得，可判断为等边三角形，则，可对①进行判断；由为等边三角形得到，则把逆时针旋转60°后，与重合，与重合，于是可对②进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，则可对③④进行判断；由于四边形的面积，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对⑤进行判断．
【详解】解：连接，如图所示，
∵线段以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，
∴，
∴为等边三角形，
∴，故①正确；
∵为等边三角形，
∴，
∴把逆时针旋转60°后，与重合，与重合，
∴可以由绕点A逆时针旋转60°得到，故②正确；
∴，
∵，
∴在中，，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∴点D到的距离为3，故④正确；
∵，
∴ ，故③错误；
∵四边形的面积，故⑤正确．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．
6．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图，为的外心，为正三角形，与相交于点，连接．若，，则为（ ）
A．110°B．90°C．85°D．80°
【答案】C
【分析】由三角形的外心可知，结合，先求出，再利用是正三角形以及外角的性质即可求解的度数．
【详解】解：是的外心，
是正三角形
故选C．
【点睛】本题主要考查外心的性质，等边三角形的性质及三角形外角性质，熟练掌握外心的性质及外角的性质是解决本题的关键．
7．（2023·云南昭通·校考一模）如图、等边的三个顶点都在上．若，则劣弧的长是 _____．
【答案】
【分析】如图，连接、，为等边三角形，所以，推得，又因为，根据弧长公式即可求解．
【详解】如图，连接、，
为等边三角形，
，
由圆周角定理得，
，
劣弧的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形及圆的弧长，掌握弧长公式是解题的关键．
8．（2023秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图所示：已知是等边三角形，边长为2，面积为，是边的高，若点M、N分别是线段和上的两个动点，则的最小值是______．
【答案】
【分析】过点作，交于点时，有最小值，最小值为，根据三角形的面积公式，得出，解出即可得出的长，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，进而即可得出的最小值．
【详解】解：如图，过点作，交于点时，有最小值，最小值为，
∵是等边三角形，边长为2，面积为，是边的高，
∴，即，
解得：，
又∵是等边三角形，，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：
【点睛】本题考查了垂线段最短、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解本题的关键在正确画出图形，并解答．
9．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，在中，，D，E是内的两点，平分，，若，，则的长是______．
【答案】16
【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出为等边三角形，利用含30度角的直角三角形的性质求得，从而得出的长，进而求出答案．
【详解】解：延长交于M，延长交于N，
∵，平分，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：16．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，以及含角的直角三角形的性质，能求出的长是解决问题的关键．
10．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，，绕点A旋转过程中，的最大值为___________．
【答案】
【分析】由题可知：点在以点为圆心，为半径的圆上，连接，，则：，当三点共线时，的值最大，进行求解即可．
【详解】解：连接，
∵等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，，
∴
∴，，
∵绕点A旋转，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∵，
∴当三点共线时，的值最大，
即：；
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，以及借助圆，求线段的最值．解题的关键是确定点在以点为圆心，为半径的圆上．
11．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，在三角形中，，，，与相交于点F，若，则E到的距离为___________．
【答案】
【分析】证明出是等边三角形，再结合条件证明，得出，接着证明出，得到，利用对顶角得到，过点作的垂线，交于于点，在中求解即可．
【详解】解：，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点作的垂线，交于于点，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，解题的关键是构造直角三角形进行求解．
12．（2023秋·福建福州·八年级统考期末）如图，Rt△ABC中，，，，点D在边上运动，以为边向右边作等边三角形，连接，以下结论正确的有_____________．（填序号即可）
①；
②；
③当时，；
④CE长度的最小值为1.25．
【答案】①②③④
【分析】取的中点F，连接，由含30度角的直角三角形的性质即可判断①正确；由，得出，判断②正确；当时，，得出，即可判定③正确；证明，得出，则当时，最小，得出此时，，判定④正确；
【详解】解：取的中点F，连接，
∵，，，
∴，①正确；
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，②正确；
∴，
∴，
则当时，最小，
此时，，④正确；
当时，，
∴，
∴，③正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．
13．（2023秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图所示：和都是等边三角形．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边三角形的性质及全等三角形的判定证明即可；
（2）根据全等得出，再由等量代换得出，取的中点H，连接，利用等边三角形的判定和性质得出，，再由三角形外角的定义求解即可.
【详解】（1）∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
取的中点H，连接，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴.
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等边对等角，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键.
14．（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）将绕点A逆时针旋转得到，的延长线与相交于点F，连接、．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据旋转性质得到，，即可得到是等边三角形即可的答案；
（2）根据可得，易证得到，即可得到证明；
【详解】（1）证明：∵绕点A逆时针旋转得到，
∴， ，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质及相似三角形的性质与判定，解题的关键是根据旋转等到等边三角形从而得到相似的条件．
15．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，已知，轴于B，且满足．
(1)求A点坐标；
(2)如图1所示，分别以为边作等边和等边，
①求证：
②试判定线段和的数量关系和位置关系，并说明理由．
(3)如图2所示，过A作轴于E，F，G分别为线段上的两个动点，满足，试探究与的大小关系？并说明理由．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②且，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据算术平方根的非负性和平方式的非负性求得a、b的值即可求得答案；
（2）①根据等边三角形的性质得出，求出，即可证出；②根据全等三角形的性质即可求得答案；
（3）在的延长线上截取，连接，证出，可得，求出，证出，推出即可得答案．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，
∴点坐标为．
（2）解：①∵轴于，坐标为，
∴，
∵、均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∵在和中，，
∴
②，且，理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴，．
（3）解：，理由如下：
如图，在的延长线上截取，连接，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性和平方式的非负性，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质等知识的应用，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识进行推理与计算是解题的关键．
16．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）如图1，D，E分别是中，上的两点，且，．
(1)当时，将绕点A逆时针旋转一定角度，如图2所示，连接，则与的数量关系是______，的度数是______．
(2)当时，将绕点A逆时针旋转一定角度，如图3所示，连接，请写出与的数量关系与位置关系，并说明理由．
(3)当时，将绕点A逆时针旋转，使得点C落在的延长线上，如图4所示，试判断，，之间的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)相等，
(2)，，理由见详解
(3)，证明见详解
【分析】（1）先证明，是等边三角形，再证明，即可作答；
（2）先证明，是等腰直角三角形，根据（1）可证明，问题随之得解；
（3）连接，根据（1）和（2）的方法，同理可证明，，即是等腰直角三角形，则有，在中，有：，问题随之得解．
【详解】（1）根据题意有：，
∵，，
∴，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：相等，；
（2），，理由如下：
根据题意有：，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
根据（1）中的方法，同理可证明，
∴，，
∴，，
∴；
（3），证明如下：
连接，如图，
根据题意有：，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
根据（1）和（2）的方法，同理可证明，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴在中，有：，
∵，
∴，
∴，
即：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质的知识，
17．（2022春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，和都是等边三角形，连接，与相交于点O，与相交于点M，与相交于点N．
(1)如图1，若点B、C、E在同一条直线上，猜想线段与的数量关系，以及与相交构成的锐角的度数，并说明理由；
(2)如图2，将绕点C顺时针旋转，点B、C、E不在一条直线上时，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)，，理由见解析；
(2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，确定，再由全等三角形的判定和性质即可得出结果；
（2）证明方法同（1），证明即可．
【详解】（1）解：，．
理由如下：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
即；
（2）（1）中的结论仍然成立．
理由如下：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
即．
【点睛】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
18．（2023秋·河南周口·九年级统考期末）在中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，.
(1)观察猜想
如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________．
(2)类比探究
如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．
【答案】(1)1，；
(2)，，理由见解析
【分析】(1)首先根据等边三角形的判定与性质及旋转的性质，即可证得，如图①中，设直线与直线交于点I，再利用全等三角形的性质及角的关系，即可求得结果；
(2)首先根据等腰直角三角形的性质，可证得 ，可证得，即可证得，如图②中，设直线交于G，交于点H，再利用相似三角形的性质及角的关系，即可求得结果．
【详解】（1）解：，，，，
与都是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
，，
；
设与的延长线交于点I，如图①，
，
∴直线与直线相交所成的较小角的度数为；
（2）解：，直线与直线相交所成的较小角的度数为，
理由如下：
，，
，，
同理可得：，，
，
.
，
即，
，
，，
设交于点G，交于点H，如图②，
，
，
∴直线与直线相交所成的较小角的度数为．
【点睛】本题考查的是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题．
考点3：含有30°锐角的直角三角形
例5. （1）（2023·广东·一模）已知A、B是圆O上的点，以O为圆心作弧，交、于点C、D．分别以点C和点D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E．作线段，交于点F，交于点G．若，，则的半径为______．
【答案】6
【分析】连接，根据作图得出垂直平分，根据等腰三角形的性质得出，，利用直角三角形的性质，求出即可．
【详解】解：连接，
根据作图可知，，垂直平分，
∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）（2023秋·云南楚雄·八年级统考期末）如图，在中，，D是BC上一点，连接，若．则的长为（ ）
A．8B．10C．12D．16
【答案】A
【分析】根据三角形内角和可得，进而得出，得到，中，由，可求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记这些性质是解题的关键．
例6. （2022秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，在中，．
(1)请用尺规作图法，在边上求作一点P，使（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)连接，若，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据可知点P在线段的垂直平分线上，由此只需要作出线段的垂直平分线，其与线段的交点P即为所求；
（2）根据等边对等角结合三角形外角的性质得到，则，根据含30度角的直角三角形的性质得到，由此根据线段之间的关系进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，点P就是所求的点．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，推出是解题的关键．
知识点训练
1．（2023·陕西西安·校考二模）如图是的高，，，，则的长为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由含30度角的直角三角形的性质可求出，结合勾股定理可求出．再根据正切的定义得出，即可求出，最后计算即可．
【详解】∵是的高，，
∴，
∴，
∴．
∵，即，
∴，
解得：，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形．利用数形结合的思想是解题关键．
2．（2023·广西河池·校考一模）在矩形中，过的中点作，交于E，交于F，连接、．若，，则的长为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】A
【分析】求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形是菱形，再求出，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，根据矩形的对边相等可得，然后求出，从而得解．
【详解】解：四边形是矩形
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点在于判断出是等边三角形．
3．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，在中，．将绕顶点C旋转得到，若点O是中点，点P是中点，在旋转过程中，线段的最大值等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】连接，进而得到，当三点共线时，线段的值最大，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵将绕顶点C旋转得到，点O是中点，
∴，，
连接，
∵点P是中点，
∴，
∵，
∴当三点共线时，线段的值最大．
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边上的中线，含30度的直角三角形．熟练掌握相关知识点并灵活运算，是解题的关键．
4．（2023秋·云南昆明·八年级统考期末）如图，已知中高恰好平分边，，点是延长线上一动点，点是线段上一动点，且，下面的结论：
①； ②的最小值为；
③； ④．
其中正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】连接，在上截取，证明是等边三角形，是等边三角形，进而证明即可判断①，根据当时，的值最小，此时，判断②；根据等边三角的性质以及已知条件得出，即可判断③；过点作于，则，进而得出即可判断④．
【详解】解：连接，在上截取，
，，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
故①正确；
是等边三角形，
，
∴，
∴当时，的值最小，此时；
故②错误；
是等边三角形，
，
，
，
故③正确；
过点作于，
，，
，
，
，
；
故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
5．（2023秋·山东淄博·九年级统考期末）如图，将一块含角的三角板AOB按如图所示摆放在平面直角坐标系中，，，的面积为4，BO与x轴的夹角为，若反比例函数的图象经过点A，则k的值为（ ）
A．3B．C．6D．9
【答案】C
【分析】根据直角三角板的面积可求出直角边，然后构造特殊直角三角形求出点的坐标直接代入函数求解即可．
【详解】过作轴交于点
∵将一块含角的三角板AOB按如图所示摆放
∴
∵
∴解得
∵BO与x轴的夹角为
∴
∴在中，
∴，则可将代入中，
，解得
故选：C
【点睛】此题考查反比例函数，解题关键是将面积转化为边长，进而转化为坐标，然后代入函数求解．
6．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在中，，，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径做弧，两弧相交于点和．②作直线交于点，交于点，连接．若，则__．
【答案】
【分析】根据是的垂直平分线，得出，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】由题意可得出：是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握基本作图是解题的关键．
7．（2023秋·贵州黔东南·九年级统考期末）将等腰直角三角板绕点顺时针方向旋转得到△，若，则阴影部分的面积为___________．
【答案】
【分析】设与交点为，根据等腰直角三角形的性质求出，再根据旋转的性质求出，，然后求出，再根据直角三角形角所得到直角边等于斜边的一半可得，然后利用勾股定理列式求出，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
【详解】解：是等腰直角三角形，
，，
将等腰直角三角板绕点顺时针方向旋转得到 ，
，，，
，
设，交于，
，
，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出阴影部分的两直角边的长度是解题的关键．
8．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）等腰三角形中有一个内角为，底边上的高为4，则腰长为_______
【答案】8
【分析】根据题意作出图形，进而根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：由题意可知只能为三角形的顶角，如图是符合题意的等腰三角形，
∵，
∴，
∵于，且，
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题意画出图形是解题的关键．
9．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，，平分于，已知，则_____．
【答案】
【分析】由得，由角平分线的定义和平行线的性质易得，，作于，根据角平分线的性质可得，，在中，易得，根据勾股定理得，即可求得．
【详解】解：作于，
平分，
，
，即
∵
，
，
，
，
∴在中， ，
∴在中， ，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查角平分线、平行线的性质和直角三角形中锐角所对直角边等于斜边的一半，作辅助线是关键．
10．（2022秋·湖北黄石·八年级校考期末）如图，中，，，平分交于点，，交于点，若，则长为________．
【答案】4
【分析】利用含30度角的直角三角形的性质可得，再利用平行线的性质可得，，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，然后利用角平分线的定义和平行线的性质可得是等腰三角形，从而可得，最后根据，进行计算即可解答．
【详解】，，，
，
∵，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握含30度角的直角三角形，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
11．（2023秋·贵州六盘水·九年级统考期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，交的延长线于点E．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)四边形为平行四边形；理由见解析
(2)
【分析】（1）根据矩形得出，再根据即可得出四边形为平行四边形；
（2）根据矩形的性质，结合直角三角形的性质，求出，，根据平行四边形的性质，求出，最后根据梯形面积公式求出结果即可．
【详解】（1）解：四边形为平行四边形；理由如下：
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵四边形为矩形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定方法．
12．（2023秋·山东德州·九年级统考期末）如图，在中，，AD是的角平分线，以上一点O为圆心作圆，使经过A，D两点．
(1)尺规作图：作出（不写作法与证明，保留作图痕迹）；
(2)求证：为的切线．
(3)若，，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）作的垂直平分线，交于点，然后以为半径作圆，即可得出答案；
（2）连接，根据等边对等角，得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据等量代换，得出，再根据平行线的判定定理，得出，再根据平行线的性质，得出，再根据切线的判定定理，即可得出结论；
（3）根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，得出，然后设半径，则，再根据，列出方程，解出即可得出半径，再根据圆的周长公式，计算即可．
【详解】（1）解：（1）如图所示，即为所求；
（2）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
又∵点在上，
∴是的切线．
（3）解：由（2）知，，
∴，
设半径，则，
∴，
解得：，
∴半径为，
∴的周长为．
【点睛】本题考查了尺规作图、线段的垂直平分线的应用、等边对等角、平行线的判定与性质、切线的判定定理、含角的直角三角形、圆的周长，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出图形．
考点4：直角三角形斜边上的中线
例7. （1）（2023秋·江苏连云港·八年级统考期末）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得，则M、C两点间的距离为______km．
【答案】6.5
【分析】先根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再求出答案即可．
【详解】解：公路互相垂直，
，
，
为的中点，
，
M，C两点间的距离为，
故答案为：6.5．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和勾股定理的应用．
（2）（2023秋·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考期末）如图，在菱形中，，M、N分别是边的中点，于点P．则的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】A
【分析】如图所示，延长交的延长线于点G，先根据菱形的性质得到，则，，再证明，，进而求出，证明，得到，即可证明，得到，进而推出．
【详解】解：如图所示，延长交的延长线于点G，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，，
∵，即，
∴，
∵M、N分别是边的中点，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴N为中点．
∴，
∴，
∴ ，即，
故选A．
【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，等边对等角的性质，熟记性质并且作出辅助线求出是解题的关键，也是本题的难点．
例8. 如图：、是锐角的两条高，M、N分别是、的中点，若，．
(1)证明；
(2)判断与的位置关系，并证明你的结论；
(3)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)垂直平分；见解析
(3)
【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余，即可求证；
（2）连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结论；
（3）先根据题意求出的长度，再用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵、是锐角的两条高，
∴，，
∴；
（2）垂直平分．
证明：如图，连接、，
∵、是锐角的两条高，M是的中点，
∴，
∵N是的中点，
∴垂直平分；
（3）∵，，
∴，，
由勾股定理得，．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的相关内容，解题的关键是掌握直角三角形两个锐角互余，直角三角形斜边上的中中线等于斜边的一半，以及勾股定理．
知识点训练
1．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，在一个等边三角形纸片中取三边中点，以虚线为折痕折叠纸片，若三角形纸片的面积是，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据中点和等边三角形的性质得到，，再求出，根据直角三角形斜边中线的性质和三线合一求出，从而可得结果．
【详解】解：如图，∵F分别为中点，是等边三角形，
∴，，
∵D为边中点，
∴，，
∵E为中点，
∴D，E关于对称，
∴垂直平分，
，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线，三角形面积，解题的关键是掌握基本定理，用边的关系找出面积的关系．
2．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，两点，分别在矩形的和边上，，，，且，点为的中点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】证明，得出，勾股定理得出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
又，
∴,
又，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
在中，，
∵点为的中点，，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出是解题的关键．
3．（2023秋·云南楚雄·九年级统考期末）如图，菱形的对角线交于点O，E为边的中点，若菱形的周长为24，则的长是（ ）
A．1B．20C．3D．4
【答案】C
【分析】直接利用菱形的性质得出其边长以及对角线关系，进而利用直角三角形的性质得出的长．
【详解】解：∵菱形的周长为24，
∴，，
∴，
∵E为边中点，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．
4．（2022秋·广西南宁·九年级广西大学附属中学校考期末）如图中，，，．以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点A，D为圆心，以，的长为半径作弧交于点E，连接，，若点F为的中点，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：根据作图知，，，，
，
，，
中，，，，
，
，
点F为的中点，
，
故选：B
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
5．（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）如图，在四边形中，，E为对角线的中点，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半可得，即、；再根据三角形外角的性质和角的和差可得
【详解】解：∵，为的中点；
∴
∴，；
在和中
∴
故选：D．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角的性质等知识点，掌握直角三角形的斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．
6．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）如图，在正方形中，点，为，上的点，且，与交于点，连接，点为中点，连接，若，，则的长为________．
【答案】
【分析】首先证明，由全等三角形的性质可得，从而得到确定直角三角形，为直角三角形的斜边，，再由直角三角形斜边的中线的性质和勾股定理求出的长．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴直角三角形，为直角三角形的斜边，
∵点为中点，
∴由直角三角形的性质可得，
在中，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
7．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在中，，，为边上的中线，若，则的面积为________．
【答案】1
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出，，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵，为边上的中线，
∴，，
∴
故答案为：1
【点睛】本题考查了等腰直角三角形斜边上的中线的性质以及直角三角形的面积，难度不大，结合图形熟练运用知识点即可得解．
8．（2023·上海虹口·统考一模）如图，在中，，点为的重心，过点作交于点．已知，那么的长为________．
【答案】
【分析】如图所示，连接并延长交于O，过点O作于H，先由重心的定义得到为的中点，则，得到，再由平行线的性质推出，得到，则，由重心的性质求出，解求出，则．
【详解】解：如图所示，连接并延长交于O，过点O作于H，
∵点为的重心，
∴为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由重心的性质可知，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了重心的性质与定义，直角三角形斜边上的中线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
9．（2022·广东云浮·校联考三模）如图，，动线段的端点分别在射线上，点是线段的中点．点由点开始沿方向运动，此时点向点运动，当点到达点时，运动停止．若，则中点所经过的路径与所围成图形的面积是 _____．
【答案】
【分析】根据直角三角形的性质求出半径的长度，再利用扇形的面积公式求出结果即可．
【详解】如图，以点为圆心，长为半径作弧交于点，交于点，
∵，为的中点，
∴
∴点在弧上从点运动到点
∴点所经过的路径与所围成图形是扇形
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，扇形的面积计算等相关知识点，理解扇形的运动轨迹得到扇形所在圆的半径是解题的关键．
10．（2023·浙江温州·校联考模拟预测）在中，是钝角，交的延长线于点D，E，F分别为、的中点，．连接，，设与交于点O．
(1)求证：．
(2)若，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)首先根据E，F分别为、的中点，可证得，再根据，可证得
，即可证得四边形是平行四边形的，据此即可证得结论；
(2)首先根据直角三角形斜边上的中线的性质，可求得，再由
，可求得，，再根据，即可求得的长，
最后根据勾股定理即可求得的长．
【详解】（1）证明：，F分别为、的中点，
，．
，
，
∴四边形是平行四边形，
；
（2）解：，
．
又是的中点，
．
，
设，，
，
，
解得，
，．
∵四边形是平行四边形，
，即，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，正切函数的定义，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键．
11．（2023·广东·一模）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转60°得到，连接，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】先证明，，再证明，，从而可得结论．
【详解】证明：∵，，，
∴，，
∴，为等边三角形，
∴，
由旋转可得：，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，含的直角三角形的性质，旋转的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键．
12．（2023·河南洛阳·统考一模）在中，，是边上的中线，过点作的垂线交的延长线于点，于点．
(1)求证：平分；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先根据斜边上的中线性质得到，则，再证明得到，所以，从而得到结论；
（2）先证明，则利用相似三角形的性质得到，然后利用得到结论．
【详解】（1）解：证明：
，是边上的中线，
，
，
，，
，
，
，
平分；
（2）解：，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键，也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
考点5：勾股定理及逆定理
例9. （1）（2022秋·福建三明·八年级统考期中）以下列各组数据为边长作三角形，其中不能组成直角三角形的是（ ）
A．4，6，8B．5，12，13C．6，8，10D．7，24，25
【答案】A
【分析】利用勾股定理的逆定理逐一进行判断即可得到答案．
【详解】解：A、，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，符合题意，选项正确；
B、，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，不符合题意，选项错误；
C、，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，不符合题意，选项错误；
D、，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，不符合题意，选项错误，
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握运用勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法： ①先确定最长边，②分别计算最长边平方和另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形．
（2）（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示－1，，．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点M表示点数为．
故选A．
【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出的长．
（3）（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）如图，中，，以三边为边长的三个正方形面积分别为，，．若的面积为7，，则的值等于______．
【答案】
【分析】结合正方形面积公式，平方差公式，勾股定理，三角形面积公式，可知，，，然后运用完全平方公式求解即可．
【详解】解：根据题意，，，
∴
在中，
根据勾股定理，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
即
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理与三角形、正方形的面积，完全平方公式与平方差公式的灵活应用，掌握并熟练应用勾股定理和各类公式是解题的关键．
例10.（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，在正方形中，点E是上的一点，点F是延长线上的一点，且，连接、、．
(1)求证；
(2)若，请求出的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据正方形的性质得到，，利用定理证明结论即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，，得到为等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
在与中
，
；
（2）解：，
，，
，
，即，
在中，．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
知识点训练
．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将圆柱侧面展开，如图所示，作出A点关于的对称点，连接，根据两点之间线段最短，可知即为最短距离，然后根据勾股定理求解．
【详解】解：将圆柱侧面展开，如图所示，作出A点关于的对称点，过点B作于点C，
∵形容器高为，点A处离杯上沿，点B处离杯底，
∴，，
∴，
∵底面周长为，
∴，
根据勾股定理可得：，
故选：C．
【点睛】本题考查平面展开，最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质找出最短路径是解题的关键．
2．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，已知点，点B的坐标为，则线段AB的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】由题意可知，轴，则线段的长度为．
【详解】解：点，，
轴，
，
故选D．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，坐标的距离，解题关键是掌握当两个坐标点的横坐标相等时，这两点所在的直线与y轴平行；当两个坐标点的纵坐标相等时，这两点所在直线与x轴平行．
3．（2023·吉林长春·校考一模）如图，在中，将折叠，使点 B 恰好落在边 上，与点重合， 为折痕，则的长为（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】设未知数利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】∵在中，
∴
∵将折叠，使点 B 恰好落在边 上，与点重合，
∴，
∴
设，则
∴在中，
即，解得
∴
故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是设未知数列出方程．
4．（2023·辽宁阜新·校考一模）如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形，的边长分别为3，4，H为线段的中点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12B．6C．7 D．
【答案】B
【分析】连接，根据正方形的性质可得，根据勾股定理求出，即可求出的面积，最后根据三角形中线的性质，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，，
∴，，
∴的面积，
∵H为线段的中点，
∴图中阴影部分的面积，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理以及三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分．
5．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，在中，，边，上的中线，相交于点，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，由题意可知为的中位线，即可得到，，，利用勾股定理可得，然后根据平行线分线段成比例定理可得，即可获得答案．
【详解】解：连接，如下图，
∵，分别为边，上的中线，，，
即点为的中点，
∴为的中位线，
∴，且，，
∵，
∴，
∵，
∴△DEF∽△CBF，
∴，即，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形中线、中位线、勾股定理以及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
6．（2023秋·贵州黔东南·九年级统考期末）如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转到的位置，点的对应点是点．若，则的长为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】利用证明，得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程即可解决问题．
【详解】解：将绕点顺时针旋转到的位置，点的对应点是点．
，，，
，
点、、共线，
，
，
，
，
，
，
设，
则，，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键．
7．（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为__________．
【答案】
【分析】利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据正切的定义进行求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解题的关键．
8．（2022秋·山东淄博·九年级统考期末）如图中，在中，，，
(1)求的值；
(2)若，求斜边的长．
【答案】(1)
(2)26
【分析】（1）根据题意可设，根据勾股定理可得，再由锐角三角函数，即可求解；
（2）由（1）可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴可设，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得∶ ，
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
9．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）定义：三角形一边上的点到三角形的另两条边的距离相等，称此点为这个三角形这边上的雅实心，如：
如图1，当点P在的边上时，若于点D，于点E，且，则称点P为的边上的雅实心，各边上的三个雅实心为顶点构成新三角形，叫做的雅实三角形．
(1)如图2，中，，，求边上的雅实心P到的距离．
(2)如图3，等边的边长为，求等边的雅实三角形的面积．
(3)如图4，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x，y轴上，且，，求的斜边上的雅实心P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由雅实心的定义及等腰三角形的性质可得：，再利用等面积法即可求得的长度；
（2）由题意可知，等边的雅实三角形是三角形的三条中位线构成的三角形，求面积即可；
（3）点P在斜边上，作于E点，于F点，由雅心点的性质可知，分别利用勾股定理和等面积法进行求解即可．
【详解】（1）由题意可知，平分，又，
∴由等腰三角形的性质可得：AP⊥BC，
∴在中，由等面积法可：，
又由勾股定理有：，．
∴（）．
（2）可知三角形中，雅心点实则是角平分线与该角所对的三角形边的交点，
结合等腰三角形的三线合一性质，可知等边的雅实三角形是三角形的三条中位线构成的三角形，如图，
在等边中边长为，
∴等边中边上的高为，
∴，
故等边的雅实三角形的面积：．
（3）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即：，
点P在斜边上，作于E点，于F点，
由雅心点的性质可知，
由等面积法有：，
∴,
∴．
【点睛】本题以新定义的形式考查了角平分线的性质，涉及等腰三角形的性质、勾股定理、等边三角形的性质、等面积法等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）【问题原型】如图①，与均为等腰直角三角形，，连接AD、BE．求证：
【问题延伸】如图②，，，连接 ．试问与的大小有怎样的关系？请说明理由．
【问题应用】如图③，，，，．点E在边上，且，连接，则线段的长为______．
【答案】问题原型：见解析；问题延伸：，理由见解析；问题应用：
【分析】问题原型：只需要利用证明即可证明；
问题延伸：由得到，再证明．即可证明，从而证明；
问题应用：先利用勾股定理求出，则，同理证明，利用相似三角形的性质求出，由，得到，推出四点共圆，则，即可利用勾股定理得到．
【详解】解：问题原型：∵与均为等腰直角三角形，
∴，．
∵，
∴，即．
∴．
∴．
问题延伸：，理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
∴．
问题拓展：在中，，
∴，
∵，
∴，
同理可证，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆内接四边形的性质等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
11．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）如图，中，，是边上的高，将沿所在的直线翻折，使点落在边上的点 处．
(1)若，，，求的面积：
(2)求证：．
【答案】(1)126
(2)答案见解析
【分析】（1）由是边上的高，，，得，，即有，故；
（2）根据沿所在的直线翻折得到，得，，而，即可证明．
【详解】（1）解：是边上的高，
，
在中，
，，
，
在中，
，，
，
，
；
（2）证明：沿所在的直线翻折得到，
，，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
，
，，
．
【点睛】本题考查三角形中的折叠，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握折叠的性质及勾股定理的应用．
考点6：等腰三角形的存在性问题
例11.（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）(1)如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，且，则的长为______________
(2) 如图，在平面直角坐标系中，点，点P在坐标轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有 ___________个．
【答案】 4 8
【分析】(1)首先可求得，根据直角三角形的性质可求得，再根据等边三角形的性质，即可求得的长；
(2)分别以点O、A为圆心，以的长为半径画弧，以及作线段的垂直平分线，与坐标轴的交点即为所求的点P的位置．
【详解】解：(1)是等边三角形，
，，
，
，
在中，，
，
，
平分，且，
，
，
，
故答案为：4；
(2)如图所示，以O为圆心，以长为半径，所作的圆与坐标轴有4个交点；以A为圆心，以为半径，所作的圆与坐标轴有2个交点；作的垂直平分线，与坐标轴有2个点，
故满足条件的点P有8个，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便．
例12.（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点的三角形叫做格点三角形，现有A，B两个格点，请以为边分别画出符合下列要求的格点三角形．
(1)在图甲中画一个面积为4的直角三角形；
(2)在图乙中画一个等腰（非直角）三角形，且这个等腰三角形的腰长为_______________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析；（画图3填）
【分析】（1）根据题意画出符合要求的直角三角形即可；
（2）画出符合要求的等腰三角形，根据勾股定理求出腰长即可．
【详解】（1）解：为所求作的三角形，如图所示：
（画出一种情况即可）
（2）解：为所求作的三角形，如图所示：（画出一种情况即可）
图1和图2中腰长为；
图3中腰长为．
故答案为：（画图3填）．
【点睛】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，直角三角形，解题的关键是熟练掌握勾股定理和网格特点．
知识点训练
1．（2022秋·山东日照·八年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】如果为等腰三角形的腰，有两种可能，以为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，以为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点；如果为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点；符合条件的点一共4个．
【详解】解：分情况进行讨论：
当为等腰三角形的腰时，以为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，以为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点；
当为等腰三角形的底时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点．
符合条件的点一共4个．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段在等腰三角形中的地位，分类讨论用画圆弧的方式，找与轴的交点，比较形象易懂．
2．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，在正方形的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点上确定一点，且使是等腰三角形，则点的个数为___________
．
【答案】8
【分析】根据等腰三角形的判定找出符合条件的所有点C即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
点C在、、、位置上时，；
点C在、位置时，；
点C在、位置上时，，
即满足条件的点的个数为8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合条件的所有点是解题关键，注意有两边相等的三角形是等腰三角形．
3．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）已知点和点，点在轴上，若是等腰三角形，则点的坐标是________．
【答案】或或或
【分析】利用勾股定理求出，然后分，，和四种情况，分别作出图形，利用等腰三角形的定义和性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
若是等腰三角形，
如图，当时，点的坐标是，
当时，点的坐标是，
当时，点的坐标是，
当时，可得，则点的坐标是，
综上，若是等腰三角形，则点的坐标是或或或，
故答案为：或或或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的定义和性质，正确分类讨论是解题的关键．
4．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上．
(1)请在图中作出关于直线成轴对称的．
(2)在线段上找一点（点在格点上），使得为等腰三角形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）分别找到关于直线的对称点，然后顺次连接对称点即可；
（2）与关于直线成轴对称，且，故的中点即为所求．
【详解】（1）解：如图，

（2）解：如图，
【点睛】本题考查了网格作轴对称图形、网格作等腰三角形；解题的关键是按要求找到对应点．
5．（2023秋·浙江温州·八年级统考期末）在直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，直线分别与x轴、y轴交于点．请在所给的网格区域（含边界）作图．
(1)画一个等腰，且点C为第一象限内的整点，并写出点C的坐标．
(2)画一个，使与重叠部分的面积是面积的一半，且点D为整点，并写出点D的坐标．
【答案】(1)画法不唯一，点C的坐标为，图见解析
(2)画法不唯一，点D的坐标为，图见解析
【分析】（1）利用网格根据等腰三角形的定义即可作图；
（2）利用网格根据平生的性质即可作图．
【详解】（1）解：如图，等腰即为所求；
点C的坐标为：；
（2）解：如图，即为所求．
点D的坐标：．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，坐标与图形性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和平行四边形的判定和性质是解决问题的关键．
6．（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）（1）动手尝试：如图，有甲、乙、丙、丁四张三角形纸片，甲是直角三角形纸片，乙是内角分别为的三角形纸片；丙是内角分别为x的三角形纸片；丁是的内角分别为的三角形纸片，你能把每一张三角形纸片一条剪痕剪成两个等腰三角形吗？请把能剪的用虚线画出剪痕并标出各角的度数．
（2）项目研究：综合上述尝试，请思考归纳出一张三角形纸片能剪成两个等腰三角形需具备的条件，画出相应的示意图，并标出能说明是等腰三角的相应的角．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）甲，利用直角三角形斜边中线即可求解；乙，将角分成和；是内角分别为的三角形纸片；丙，不能剪成两个等腰三角形；丁，将角分成和；
（2）根据（1）中两个三角形的分割特点，总结出规律即可．
【详解】解：（1）甲，斜边的中线能将三角形分成两个等腰三角形；
乙，将角分成和，能将三角形分成两个等腰三角形；
丙，不能剪成两个等腰三角形；
丁，将角分成和，能将三角形分成两个等腰三角形；
如图所示：
（2）当三角形是直角三角形时，斜边的中线能将三角形分成两个等腰三角形；
当三角形中一个角是另一个角的2倍时，能分成两个等腰三角形；
当三角形中有一个角是另一个角的3倍时，能分成两个等腰三角形．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的角的关系，通过实践总结出一般规律是解题的关键．
7．（2022秋·上海宝山·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，直线经过点，反比例函数的图像经过点和点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在轴上找一点，为等腰三角形，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或或或
【分析】（1）先把点代入求出，再把点的坐标代入求出即可；
（2）先求出点的坐标，设，再根据两点间的距离公式分三种情况建立方程求出即可．
【详解】（1）解：∵直线经过点，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图像经过点，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为．
（2）∵反比例函数的图像经过点，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点，
∴，，
，
当点满足以下三种情况时，为等腰三角形：
①当时，得： ，
解得：，
∴；
②当时，得： ，
解得：，，
当时，，即点此时在直线上，不符合题意，舍去，
∴；
③当时，得： ，
解得：，，
∴点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数及一次函数图像上点的坐标特征，坐标与图形的性质，两点间的距离公式，等腰三角形的定义等知识．求出反比例函数解析式是解题的关键．