中考数学一轮复习过关练6.2与圆有关的位置关系重难点题型讲练（讲练）（2份，原卷版+解析版）

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类型1-判断点圆的位置关系
4．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，长方形中，，，圆B半径为1，圆A与圆B外切，则点C、D与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外
类型2-利用点与圆的位置求半径
（2023秋·河南周口·九年级校考期末）如图，在中，，cm，cm，以C为圆心，r为半径作，若A，B两点中只有一个点在内，则半径r的取值范围是______.
综合训练
1．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）已知的半径为，如果点P到圆O的距离为，那么点P与的位置关系为（ ）
A．点在圆外B．点在圆上C．点在圆内D．不能确定
2．（2022·陕西西安·一模）如果的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（ ）
A．点在内B．点在上C．点在外D．不能确定
3．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在中，，，，点D在边上，，以点D为圆心作，其半径长为r，要使点A恰在外，点B在内，则r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考开学考试）已知的直径为5cm，线段cm，那么点A与的位置关系是（ ）
A．点A在外B．点A在上C．点A在内D．不能确定
5．（2023·辽宁抚顺·统考一模）在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（ ）
A．3B．4或6C．2或3D．6
6．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋·河北秦皇岛·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，，，以为圆心，为半径作圆，当点在上时，的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）在一平面内，若的半径为2，点P在外，则的长度可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
9．（2023秋·山东临沂·九年级临沂实验中学校考期末）已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为( )
A．0个B．1个C．2个D．无数个
10．（2021春·九年级课时练习）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）.
A．B．C．D．
11．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知点A是外一点，且，则的半径可能是（ ）
A．2B．3C．4D．1
12．（2023·安徽安庆·统考一模）在中，圆心O在坐标原点上，半径为5，点P的坐标为，则点P在________（填“圆内”，“圆外”或“圆上”）
13．（2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，某海域以点A为圆心、为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是，如果渔船始终保持的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？
题型2：直线与圆的位置关系
类型-1 直线与圆的位置关系判断
（2023·江西吉安·校考模拟预测）设的半径为，若点在直线上，且，则直线与的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相交或相切
类型-2 由直线与圆的位置关系确定半径
（2022·上海·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，点O在边AB上，且BO＝2OA．以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点，那么下列各值中，半径r不可以取的是（ ）
A．6B．10C．15D．16
类型3- 与图形平移有关的计算
（2021·江苏泰州·校考一模）如图，直角坐标系中，⊙A的半径为3，点A的坐标为(﹣3，﹣4)，若将⊙A沿y轴方向平移，平移后，使⊙A上只有3个点到x轴的距离为2，则平移后点A的坐标为_____．
综合训练
1．（2022秋·吉林四平·九年级统考期末）已知的半径为5，直线l为所在平面内的一条直线，若点O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是（ ）
A．直线l与相交B．直线l与相切
C．直线l与相离D．不能确定
2．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，圆心的坐标为，与轴相切于原点，若将圆沿轴向右移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2022秋·重庆大足·九年级统考期末）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．平行
4．（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，在中，，，，以点C为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相切或相离
5．（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）已知圆O的半径为3，点O到某条直线的距离为，则这条直线可以是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（ ）
A．与x轴相离，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离
7．（2022秋·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以3cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相切或相离
8．（2023秋·江苏扬州·九年级统考期末）在直角坐标系中，点P的坐标是，的半径为2，下列说法正确的是（ ）
A．与x轴、y轴都有两个公共点
B．与x轴、y轴都没有公共点
C．与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
D．与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
9．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）已知和直线相交，圆心到直线的距离为，则的半径可能为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022秋·河北邢台·九年级校考阶段练习）点P到直线l的距离为3，以点P为圆心、以下列长度为半径画圆，能使直线l与⊙P相交的是（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．（2021秋·山东德州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1或5B．1或3C．3或5D．1
12．（2021·湖南娄底·统考中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
13．（2022秋·江苏泰州·九年级统考阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（ ）
A．B．C．D．
14．（2022春·九年级课时练习）如图，直线与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点，圆心P的坐标为（2，0）．⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
15．（2022春·九年级课时练习）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移( )
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
16．（2022秋·湖北鄂州·九年级校联考期末）中，，，，以为圆心所作的圆与边仅一个交点，则半径为______．
17．（2022秋·河北邢台·九年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，，，，若以点C为圆心，r为半径的圆与边所在直线相离，则r的取值范围为________；若与边只有一个公共点，则r的取值范围为________．
18．（2022秋·河北秦皇岛·九年级校联考阶段练习）如图，已知，，，以为圆心，为半径作，与线段有交点时，则的取值范围是______．
19．（2022春·上海·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点O在边上，且，以点O为圆心，r为半径作圆，如果与的边共有4个公共点，那么半径r取值范围是______.
20．（2022春·九年级课时练习）已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围____．
21．（2022秋·九年级单元测试）已知，P是OA上的一点，cm，以r为半径作⊙P，若cm，则⊙P与的位置关系是_____，若⊙P与相离，则r满足的条件是_____．
22．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，在中，为边上的中线，，以点为圆心，r为半径作．如果与中线有且只有一个公共点，那么的半径r的取值范围为_______．
23．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在_____秒时相切．
24．（2022秋·贵州遵义·九年级校考期中）如图，在中，，，，点以的速度在边上沿的方向运动．以为圆心作半径为的圆，运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔为__________秒．
25．（2021春·九年级课时练习）如图，直线、相交于点，半径为1cm的⊙的圆心在直线上，且与点的距离为8cm，如果⊙以2cm/s的速度，由向的方向运动，那么_________秒后⊙与直线相切.
26．（2022秋·福建南平·九年级顺昌县第一中学校考阶段练习）如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为________ 时，与直线相切．
27．（2022春·九年级课时练习）如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移_________cm时与⊙O相切．
28．（2018秋·江苏·九年级校考期中）如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知AB=10，⊙O的半径为1，现将⊙O在正方形内部沿某一方向平移，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，设此时的平移的距离为d，则d的取值范围是_______．
29．（2022春·全国·九年级专题练习）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离．
30．（2022春·全国·九年级专题练习）已知：直线经过点.
（1）求的值；
（2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围.
题型3：切线的性质与判定
类型1-切线的性质
（2023春·重庆永川·九年级重庆市永川萱花中学校校考阶段练习）如图，是的直径，是的切线，为切点，连接交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
类型2-切线长定理
（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）我们知道：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
【问题解决】如图，现有一块边长为的正方形空地，在边取一点，以长为直径，在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游乐场，过点划出一条与这个半圆相切的分割线，正方形位于分割线右下方的部分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于（ ）
A．B．C．D．
类型3-切线的判定
例1：（2022秋·江西赣州·九年级统考期末）如图，在中，平分交于点，以点为圆心、的长为半径的与相切于点A，与相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
例2：（2023春·北京顺义·九年级校考阶段练习）如图，点P是外一点，与相切于A点，B，C是上的另外两点，连接，，
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为5，，求的长．
综合训练
1．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考模拟预测）如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数是（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
2．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，为的直径，，分别与相切于点，，过点作的垂线，垂足为，交于点．若，则长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·山东·统考一模）．如图，在中，，以点为圆心，2为半径的圆与边相切于点，与，分别交于点和点，点是优弧上一点，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，P为外一点，分别切于点A、B，是的直径，若，，则的周长为（ ）
A．8B．C．20D．
5．（2023·河北邯郸·统考一模）如图是个一不倒的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
6．（2023秋·青海西宁·九年级统考期末）如图，，为的两条切线，切点分别为，，连接交于点，交弦于点．下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．是等边三角形
7．（2023春·重庆云阳·九年级校考阶段练习）如图所示，P为外一点，、分别切于A、B两点，连接、，与交于点D，连接，若，则为（ ）度．
A．28B．30C．31D．34
8．（2022秋·广东汕尾·九年级华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）为外一点，、分别切于点、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
9．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，在中，，，它的周长为22，若与三边分别切于E，F，D三点，则的长为（ ）
A．6B．8C．4D．3
10．（2023秋·四川南充·九年级统考期末）如图，在四边形中，，以为直径作．与相切于点E，若，则的半径长为（ ）
A．B．C．8D．2
11．（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，木工用角尺的短边紧靠于点A，长边与相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知，，则的半径为 _____．
12．（2023·广西柳州·统考一模）将一把直尺，一块含有的直角三角板和一张光盘如图摆放，已知点A为三角板角与直尺的交点，点B为直尺与光盘的交点，，则光盘直径是______.
13．（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，是的直径，，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
(1)求证：平分；
(2)若，求的长．
14．（2023·北京海淀·人大附中校考一模）如图，是的外接圆，是的直径，交于点E，直线与相切于点A，与的延长线交于点F，．
(1)求证：；
(2)若，，求AF的长．
15．（2023·河北·统考模拟预测）如图，已知是半圆O的直径，，点D是线段延长线上的一个动点，直线垂直于射线于点D，在直线上选取一点C（点C在点D的上方），使，将射线绕点D逆时针旋转，旋转角为．
(1)若，求点C与点O之间距离的最小值；
(2)当射线与相切于点C时，求劣弧的长度；
16．（2023·河北石家庄·统考一模）如图，在中，，，．O为边上一点，以O为圆心，为半径作半圆，分别于与边交于点D、E，连接．
(1)______°；
(2)当时，求的长；
(3)过点E作半圆O的切线，当切线与边相交时，设交点为F．求证：．
17．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，在中，，，，是边上的一点，以为圆心，为半径作．
(1)尺规作图：求作，使得与直线相切；（保留作图痕迹）
(2)求（1）中的半径．
18．（2023春·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，已知是的直径，是延长线上一点，与相切于，过点作，垂足为．
(1)求证：是的平分线．
(2)若，的半径为3，求的长．
19．（2022·安徽滁州·校考模拟预测）如图，是的直径，弦与交于点E，过点A作的切线与的延长线交于点F，如果，，D为的中点．
(1)求证：；
(2)求的长．
20．（2023·陕西西安·高新一中校考三模）如图，已知的边所在的直线是的切线，切点为，经过圆心并与圆交于点、，为延长线上一点，连接交于点，且．
(1)求证：；
(2)若的半径是，，求的长．
21．（2023·陕西西安·校考一模）如图，是的内接三角形，为的直径，点是上一点，连接并延长交过点的切线于点，．
(1)求证：；
(2)延长交于点，，的直径为，求的长．
22．（2023春·北京丰台·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，弦于点，点在圆上，与交于点，点在的延长线上，且是的切线，延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的长．
23．（2023·安徽亳州·校考模拟预测）如图，是的弦，半径，垂足为，点在的延长线上，与相切于点，连接，交于点．
(1)若，，求的长；
(2)求证：．
24．（2023·福建福州·福建省福州屏东中学校考一模）已知：如图，是的切线，A为切点．
(1)过点P作的另一条切线，且B为切点．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的情况下，连接，的半径为2，，求的长．
25．（2023春·江西南昌·九年级南昌市第三中学校考期中）如图，是的直径，直线与相切于点A，直线与相切于点，点（异于点）在上，点在上，且，延长与相交于点，连接并延长交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：．
26．（2023秋·天津河西·九年级统考期末）如图，，是⊙O的切线，，为切点，是⊙O的直径．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求⊙O的半径．
27．（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，连接、，交于点．
求证：
(1)；
(2)．
28．（2023春·辽宁沈阳·九年级沈阳市第一三四中学校考开学考试）如图，是的直径，E为上的一点，的平分线交于点C，过点C的直线交的延长线于点P，交的延长线于点D．且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，则________．
29．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为的下半圆弧的中点，连接交于F，若．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
30．（2023·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐八一中学校考一模）如图，在中，，以的中点O为圆心，为直径的圆交于D，E是的中点，交的延长线于F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
31．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）如图，内接于，，过点A作平行线，连接并延长，交于点D，连接、．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
32．（2023·广东深圳·统考一模）如图，为的直径，点在直径上（点与A，两点不重合），，点在上满足，连接并延长到点，使．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值．
33．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)以为边的圆内接正多边形的周长等于________．
34．（2023春·江西宜春·九年级校考阶段练习）如图，已知菱形的边长为10，对角线交于点P，以边为直径画交于点F．
(1)过点P作，垂足为E，求证：是的切线；
(2)若，求弦的长．
35．（2023秋·广西防城港·九年级统考期末）如图，中，，点D为斜边的中点，以为直径作，分别与，边交于点E，F，连接，过点F作，垂足为G．
(1)求证：是的切线；
(2)已知的半径为，若，求的长．
36．（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图，内接于，，的延长线交于点．是外一点，连接，，于点．已知，，．
(1)求证：是的切线．
(2)求的长．
37．（2023·广东佛山·校联考一模）如图，在中，，，点为边上一点，且，以为直径作交的中点于，过点作于点．
(1)求证：为的切线．
(2)求的长．
38．（2023·湖南株洲·统考一模）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，求的半径和的长．
题型4：三角形的外接圆
类型1-三角形外心的确定与坐标
例1：（2022·广东深圳·校考模拟预测）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，则O也是下列哪个三角形的外心（ ）
A．△AED的外心B．△AEB的外心C．△ACD的外心D．△BCD的外心
例2：（2023春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（1，3）B．（3，1）C．（2，3）D．（3，2）
例3：（2023春·河北张家口·九年级张家口市第五中学校考期末）如图，，O为中点，点C在线段上（不与点O，B重合）．将绕点O逆时针旋转270°后得到扇形，，分别切优弧于点P，Q，且点P，Q在异侧，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求的长（结果保留π）；
(3)若的外心在扇形的内部，求的取值范围（直接写出答案）．
类型2-计算外接圆半径
（2022·河南焦作·统考一模）一个三角形的一边长为12，另外两边长是一元二次方程的两根，则这个三角形外接圆的半径是（ ）
A．B．5C．D．8
综合训练
1．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市丰潭中学校考期中）直角三角形的外心在（ ）
A．直角顶点B．直角三角形内C．直角三角形外D．斜边中点
2．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为r，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·九年级专题练习）若点P是直线上一动点，，则外接圆面积的最小值为( )
A．B．C．D．
4．（2023秋·湖北武汉·九年级校考期末）如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆半径的长为（ ）.
A．B．C．D．
5．（2023秋·河北张家口·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为 _____．
6．（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学校考期末）设为的外心，若，则的度数为______．
7．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图所示的网格由边长均为1的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F在小正方形的顶点上，则外接圆的圆心是点____________，弧的长是____________．
8．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(4，0)，C(4，﹣4)．
（1）△ABC外接圆的圆心坐标为___________，外接圆⊙P的半径是___________．
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的得到△A1B1C1，请在y轴左侧画出△A1B1C1；点P(a，b)为△ABC内的一点，则点P在△A1B1C1内部的对应点P1的坐标为___________．
9．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图为5×5的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是__________（填字母序号）
A． △ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心
10．（2023秋·江苏镇江·九年级镇江市外国语学校校考期末）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，则这个直角三角形的外接圆的半径为_____________．
11．（2022春·九年级课时练习）如图，线段，C为线段上的一个动点，以为边作等边和等边连接，外接于，则半径的最小值为______．
12．（2023秋·湖北武汉·九年级武汉第三寄宿中学校考阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，，四个格点．
(1)直接写出的度数为：____________；在平面内仅用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆；
(2)请仅用无刻度直尺作出（1）中弧的中点E和的高；
(3)请仅用无刻度直尺在上找一点，使．
13．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知在中，，，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．设．
(1)求证：；
(2)求长度的最小值；
(3)用含α的代数式表示；
(4)若的外心在该三角形的内部时，，直接写出m，n的值．
14．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上．
(1)请找出的外接圆的圆心O，并标明圆心O的位置；
(2)请以圆心O为位似中心，在点O的下方画出边放大2倍后的线段．
15．（2022秋·江苏泰州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
(1)在图中作出的外接圆；
(2)（1）中所作圆的圆心坐标为___________，位于圆上在第一象限内的横纵坐标均为整数的点有___________个；
(3)在轴的正半轴上有一点，且，则点的横坐标的取值范围是___________．
16．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上．D在边AB格点上．
(1)请找出的外心O；
(2)请用无刻度直尺在边上找出所有使得与相似的点E．
17．（2022秋·九年级课时练习）如图，四边形为圆内接四边形，对角线、交于点E，延长、交于点F，且，．
求证：
(1)；
(2)A为的外心（即外接圆的圆心）．
18．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中．
(1)外接圆的圆心坐标是 ；
(2)外接圆的半径是 ；
(3)已知与（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是 ；
(4)请在网格图中的空白处画一个格点，使，且相似比为．
19．（2022春·九年级课时练习）如图，在中，．
(1)求作的外接圆；（要求，尺规作图，不写作法．保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，的平分线交于点．连接．若，，求的长．
20．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）如图，在直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，．
(1)以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到△，请在图中画出△；
(2)在（1）的条件下，求边扫过的面积；
(3)直接写出外接圆的圆心坐标： ．
21．（2022秋·江苏苏州·九年级苏州市景范中学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为．
(1)若的外接圆的圆心为M，则圆心M的坐标为________；
(2)的外接圆与x轴的另一个交点坐标是________；
(3)的外接圆的弧的长是________．
22．（2022秋·浙江嘉兴·九年级桐乡市第七中学校考期中）如图，已知正．
(1)请用直尺与圆规作正的外接圆，并保留作图痕迹；
(2)若点P是正的外接圆上的一点（不与点B，C重合），求的度数．
23．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，已知给定等边及边上点D．
(1)作经过点B，C，D的（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹并写出结论）．
(2)若，求的长．（说明：O为（1）小题所作圆的圆心）
24．（2023秋·河北承德·九年级统考期末）如图，线段，在线段的一个动点，以、为边作等边三角形和等边三角形，外接，
(1)的外接圆的圆心是的________（外心或内心）；点的位置是否发生改变________（变或不变）．
(2)若，为直角三角形时，求的值．
(3)点在的内部，直接写出的取值范围．
(4)求半径的最小值．
25．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）在同一平面直角坐标系中有5个点．
(1)若为的外接圆，请写出圆心P的坐标，并说明点D与的位置关系．
(2)连接，，则_________．
26．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）在88的方格中，已知的各顶点都在格点上
(1)如图， 请仅用一把无刻度的直尺按要求作图 （请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图， 不要求写作法）． 找出外接圆的圆心．
(2)若， 试求的半径．
题型5：三角形的内切圆
类型1-三角形内心的确定
（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考一模）小雨同学要找到到三角形的内心，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（ ）
A．B．
C．D．
类型2-计算内切圆半径
（2023秋·陕西延安·九年级统考期末）如图，在中，，，，是的内切圆，分别切边于点D，E，F．
(1)求的半径．
(2)若Q是的外心，连接，求的长度．
类型3-三角形内心的性质
例1：（2023秋·广东广州·九年级统考期末）如图，的内切圆圆O与，，分别相切于点D，E，F，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
例2：（2022秋·贵州黔西·九年级统考期中）如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积．
类型4-三角形内心与外心的综合
56．（2022秋·广东茂名·九年级统考期末）如图，在中，，与的角平分线相交于点，的延长线交的外接圆于点，连接．
(1)求证：；
(2)证明：点、、在以点为圆心的同一个圆上；
(3)若，，求内心与外心之间的距离．
综合训练
1．（2021秋·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）根据尺规作图的痕迹，可成功确定三角形内心的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，为的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知，，，则的半径为（ ）
A．B．C．1D．2
4．（2023·安徽合肥·校考一模）如图所示，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙、丙三人有如下判断：
甲：；
乙：四边形的面积是定值；
丙：当时，的周长取得最小值．
则下列说法正确的是( )
A．只有甲正确B．只有丙错误
C．乙、丙都正确D．甲、乙、丙都正确
5．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）以下列三边长度作出的三角形中，其内切圆半径最小的是（ ）
A．8，8，8B．4，10，10C．5，9，10D．6，8，10
6．（2023秋·河北承德·九年级统考期末）如图，点I为的内心，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．6B．5.5C．5D．4
7．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，在中，，，I为的内心，过点I作，分别交于D、E，则的周长为（ ）
A．12B．14C．16D．24
8．（2023秋·河北承德·九年级统考期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），使得阴影面积尽可能大，他们的具体裁法如下：
甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为；
乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为；
丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰的直角边上，面积记为；
丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为；
则下列判断正确的是（ ）
①；②；③在，，，中，最小
A．①②B．②③C．①③D．①②③
9．（2023秋·山东聊城·九年级统考期末）如图，点O是的内心，也是的外心．若，则的度数（ ）
A．B．C．D．
10．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图，在中，点I为三角形的内心，若为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023秋·河北衡水·九年级衡水桃城中学校考期末）如图，中，，，，I为的内心，，，则的周长为（ ）
A．6B．5C．4.8D．4
12．（2023秋·河北张家口·八年级张家口市第一中学校考期末）如图所示，点为三个内角平分线的交点，度，，点，分别为，上的点，且．甲、乙、丙三位同学有如下判断：
甲：度；
乙：四边形的面积是不变的；
丙：当时，周长取得最小值．
其中正确的是（ ）
A．只有丙正确B．只有甲、乙正确C．只有乙、丙正确D．甲、乙、丙都正确
13．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）如图，截三边所得的弦长相等，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
14．（2021秋·贵州黔西·九年级校考期中）如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为______．
15．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，中，是边E上的高，分别是的内切圆，则与的面积比为_____________．
16．（2022秋·山东滨州·九年级统考期中）如图，在中，已知，，，是的内切圆，点E、F、D分别为切点，则的长为______．
17．（2022秋·山东淄博·九年级统考期末）如图，中，，圆O是的内切圆，D，E，F是切点．若，则__________．
18．（2023秋·湖北武汉·九年级校联考期末）如图，是的内切圆，，则的大小是____________．
20．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，点I为的内心，点O为的外心，若，则______．
21．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考一模）如图，在中，，，，于D，E为边上的点；再作，使得，，解答：
(1)当时，证明：；
(2)求线段的最小值；
(3)若的内心在的外部，直接写出的范围．
22．（2023·山西太原·山西实验中学校考一模）如图所示，在中，，，请你利用自己所学知识解决下列问题：
(1)请你利用尺规作出的外接圆，圆心记作O（不写作图步骤，保留作图痕迹）
(2)的外接圆半径与内切圆半径的差为__________．（不必作出内切圆，直接写出答案）
23．（2023秋·河北沧州·九年级校考期末）阅读材料：如图，的周长为，面积为，内切圆☉的半径为，探究与，之间的关系．
解：连接、、．
∵，
，
，
∴，
∴
解决问题：
(1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径．
(2)如图，若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，且面积为，各边长分别为，，，，试推导四边形的内切圆半径公式．
(3)若一个边形(为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为，各边长分别为，，，，…，，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)．
24．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格中，点，点，以坐标原点O为圆心，为半径作，点．请用无刻度直尺完成下列画图：
(1)画的平分线交于点；
(2)将弦绕点顺时针旋转，画出旋转后的线段；
(3)画的内心，并直接写出内切圆半径的长．
25．（2022秋·湖北武汉·九年级校考期末）已知如图，点为扇形弧上一动点，，，过点作，，的内心为，设，若点运动时，使得，则点的运动路径长为（ ）
A．B．C．D．