中考数学一轮复习知识梳理+考点精讲专题18 全等三角形（2份，原卷版+解析版）

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中考命题解读
全等三角形主要包括全等图形、全等三角形的概念与性质，全等三角形的判定和角平分线的性质。在中考中，全等三角形的直接考查主要以选择和填空为主，有时也会以证明的形式考查，难度一般较小；但大多数情况下，全等三角形的知识多作为工具性质与其他几何知识结合，用于辅助证明线段相等、角相等，考查面较广，难度较大，需要考生能够熟练运用全等三角形的性质和判定定理。
考标要求
1.熟悉全等三角形常考5种模型
2.掌握全等三角形性质，并运用全等三角形性质解答。
考点精讲
考点1：全等三角形的概念及性质
考点2：全等三角形的判定
模型一：平移型
模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等.
模型示例

模型二：轴对称模型
模型分析:所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等.
模型三：旋转型
模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：
①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角
②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角.

模型四：一线三垂直型
模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角
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模型五：半角模型
1、等边角形半角

作辅助线：延长FC到G，使得CG=BE，连接DG
结论：▲DEF≌▲DGF；EF=BE+CF
2、正方形含半角

作辅助线：延长CB到G，使得CG=DF，连接AG
结论：▲AEF≌▲AGE；EF=BE+DF
母题精讲
【典例1】（2021秋•余干县期中）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．
【答案】（1） 略 （2）∠E的度数为60°
【解答】证明：（1）∵EA∥FB，
∴∠A＝∠FBD，
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
在△EAC与△FBD中，
，
∴△EAC≌△FBD（SAS）；
（2）∵△EAC≌△FBD，
∴∠ECA＝∠D＝80°，
∵∠A＝40°，
∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
答：∠E的度数为60°．
【典例2】（2021•长安区一模）如图，△ABC和△EBD都是等边三角形，连接AE，CD．求证：AE＝CD．
【答案】略
【解答】证明：∵△ABC和△EBD都是等边三角形，
∴AB＝CB，BE＝BD，
∴∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，
即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD．
【典例3】（2020春•海淀区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．
（1）求证：△BCE≌△CAD；
（2）请直接写出AD，BE，DE之间的数量关系： ．
【答案】（1）略 （2）AD＝BE+DE
【解答】证明：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA，
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD（AAS）；
（2）∵△BCE≌△CAD，
∴BE＝DC，AD＝CE，
∴AD＝CE＝CD+DE＝BE+DE，
故答案为：AD＝BE+DE．
真题精选
模型1 平移型
1．（2022•柳州）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．
你选取的条件为（填写序号） （只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是 （填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
【解答】（1）解：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，
选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．
故答案为：①，SSS；（答案不唯一）．
（2）证明：∵△ABC≌△DEF．
∴∠A＝∠EDF，
∴AB∥DE．
模型2 对称型
2．（2022•长沙）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴∠B＝90°＝∠D，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）；
（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，
∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，
∴S△ABC＝AB•BC＝×4×3＝6，
∴S△ADC＝6，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，
答：四边形ABCD的面积是12．
模型3 旋转型
3．（2021•广东模拟）如图，△ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形，且AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠CAB＝90°，且线段BD、CE交于F．
（1）求证：△AEC≌△ADB．
（2）求∠BFC的度数．
【答案】（1）略 （2）∠BFC＝90°
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
（2）解：由（1）知，△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠BFC＝90°．
4．（2022•黑龙江）△ABC和△ADE都是等边三角形．
（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；
（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
【解答】解：（2）PB＝PA+PC，理由如下：
如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，
∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
即∠DAB＝∠EAC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CP，
∴△BAF≌△CAP（SAS），
∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，
∴∠BAC＝∠PAF＝60°，
∴△AFP是等边三角形，
∴PF＝PA，
∴PB＝BF+PF＝PC+PA；
（3）PC＝PA+PB，理由如下：
如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，
同理得：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，PB＝CM，
∴△AMC≌△APB（SAS），
∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，
∴∠BAC＝∠PAM＝60°，
∴△AMP是等边三角形，
∴PM＝PA，
∴PC＝PM+CM＝PA+PB．
模型4 一线三等角
等角
5．（2022•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．
【解答】证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠DEC＝∠B＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠A＝∠DCE，
在△CED和△ABC中，
，
∴△CED≌△ABC（ASA）．
概念
两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．
性质
1.两全等三角形的对应边相等，对应角相等．
2.全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．
3.全等三角形的周长、面积相等．