中考数学一轮复习知识梳理+考点精讲专题27 与圆有关的计算（2份，原卷版+解析版）

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中考命题解读
中考中主要结合圆心角和圆周角之间的关系，直接利用弧长的计算或扇形面积公式进行有关扇形面积的计算。
考标要求
掌握弧长和扇形面积计算公式；
会利用弧长和扇形面积计算公式进弧长和扇形面积的计算
考点精讲
考点1 圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在中进行，：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在中进行，.
考点2 与正多边形有关的概念
1、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
4、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
考点3 正多边形的对称性
1、正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
2、正多边形的中心对称性
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
3、正多边形的画法
先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
考点4 扇形的弧长和面积计算
扇形：（1）弧长公式：；
（2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
注意：
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
考点5 扇形与圆柱、圆锥之间联系
1、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
=
圆柱的体积：
2、圆锥侧面展开图
（1）=
（2）圆锥的体积：
注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（）
母题精讲
【典例1】（2022•广西）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（ ）
A．πB．πC．πD．π
【答案】B
【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝DB＝AB′．
∴∠AB′D＝30°，
∴α＝30°，
∵AC＝4，
∴AD＝AC•cs30°＝4×＝2，
∴，
∴的长度l＝＝π．
故选：B．
【变式1-1】（2022•甘肃）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，则这段弯路（）的长度为（ ）
A．20πmB．30πmC．40πmD．50πm
【答案】C
【解答】解：∵半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，
∴这段弯路（）的长度为：＝40π（m），
故选：C．
【变式1-2】（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A．mB．mC．mD．（+2）m
【答案】C
【解答】解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，
由题意可得，CD＝2m，AD＝2m，∠ADC＝90°，
∴tan∠DCA＝＝＝，AC＝＝4（m），
∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，
∴∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，
∴改建后门洞的圆弧长是：＝（m），
故选：C．
【典例3】（2022•山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A．3π﹣3B．3π﹣C．2π﹣3D．6π﹣
【答案】B
【解答】解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，
∴AC＝AO，BC＝BO，
∵AO＝BO，
∴四边形AOBC是菱形，
连接OC交AB于D，
∵OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO＝∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵AC＝3，
∴OC＝3，AD＝AC＝，
∴AB＝2AD＝3，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC＝﹣3×3＝3π﹣，
故选：B．
【变式3-1】（2022•毕节市）如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB，AC夹角为120°，AB的长为45cm，扇面BD的长为30cm，则扇面的面积是（ ）
A．375πcm2B．450πcm2C．600πcm2D．750πcm2
【答案】C
【解答】解：∵AB的长是45cm，扇面BD的长为30cm，
∴AD＝AB﹣BD＝15cm，
∵∠BAC＝120°，
∴扇面的面积S＝S扇形BAC﹣S扇形DAE
＝﹣
＝600π（cm2），
故选：C．
【变式3-2】（2022•荆州）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．﹣B．2﹣πC．D．﹣
【答案】D
【解答】解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，
设切点为F，连接AF，则AF⊥BC．
在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°，
∴CF＝BF＝1．
在Rt△ACF中，AF＝＝，
∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形ADE
＝×2×﹣
＝﹣，
故选：D．
【典例3】（2022•东营）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（ ）
A．4cmB．8cmC．12cmD．16cm
【答案】B
【解答】解：设半圆形铁皮的半径为rcm，
根据题意得：πr＝2π×4，
解得：r＝8，
所以围成的圆锥的母线长为8cm，
故选：B．
【变式3-1】（2022•济宁）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2
【答案】D
【解答】解：∵底面圆的直径为6cm，
∴底面圆的半径为3cm，
∴圆锥的侧面积＝×8×2π×3＝24πcm2．
故选：D．
【变式3-2】（2022•牡丹江）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90°B．100°C．120°D．150°
【答案】C
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π，
设圆心角的度数是n度．
则＝2π，
解得：n＝120．
故选：C．
【典例4】（2022•绵阳）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（ ）
A．（2﹣2，3）B．（0，1+2）C．（2﹣，3）D．（2﹣2，2+）
【答案】A
【解答】解：如图，连接BD交CF于点M，则点B（2，1），
在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM＝×120°＝60°，
∴CM＝BC＝2，BM＝BC＝2，
∴点C的横坐标为﹣（2﹣2）＝2﹣2，纵坐标为1+2＝3，
∴点C的坐标为（2﹣2，3），
故选：A．
【变式4-1】（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ）
A．3B．C．D．3
【答案】C
【解答】解：连接OC，OD，
∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，
∴∠COD＝60°，
∵OC＝OD，OG⊥CD，
∴∠COG＝30°，
∵⊙O的周长等于6π，
∴OC＝3，
∴OG＝3cs30°＝，
故选：C．
【变式4-2】（2022•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】C
【解答】解：连接OB、OC，如图：
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径OB＝OC＝＝3，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝3，
即正六边形的边长为3，
故选：C．
真题精选
命题点1 弧长、扇形面积的有关计算
1．（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为（ ）
A．6πB．2πC．πD．π
【答案】D
【解答】解：∵直径AB＝6，
∴半径OB＝3，
∵圆周角∠A＝30°，
∴圆心角∠BOC＝2∠A＝60°，
∴的长是＝π，
故选：D．
2．（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2B．3.25πm2C．3πm2D．2.25πm2
【答案】D
【解答】解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC
＝﹣
＝2.25πm2．
故选：D．
3．（2022•湖北）一个扇形的弧长是10πcm，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ）
A．30πcm2B．60πcm2C．120πcm2D．180πcm2
【答案】B
【解答】解：根据题意可得，
设扇形的半径为rcm，
则l＝，
即10π＝，
解得：r＝12，
∴S＝＝＝60π（cm2）．
故选：B．
4．（2021•柳州）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A′，则此时线段CA扫过的图形的面积为（ ）
A．4B．6C．D．
【答案】D
【解答】解：由题意，知AC＝4，BC＝4﹣2＝2，∠A′BC＝90°．
由旋转的性质，得A′C＝AC＝4．
在Rt△A′BC中，cs∠ACA′＝＝．
∴∠ACA′＝60°．
∴扇形ACA′的面积为＝π．
即线段CA扫过的图形的面积为π．
故选：D．
5．（2021•广州）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是（ ）
A．8πcmB．16πcmC．32πcmD．192πcm
【答案】B
【解答】解：由题意得：CA和CB分别与⊙O相切于点A和点B，
∴OA⊥CA，OB⊥CB，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴＝16π（cm），
故选：B．
命题点2 圆锥有关计算
6．（2022•广安）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4πm2
B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25m
D．圆锥的侧面积为5πm2
【答案】C
【解答】解：∵底面圆半径DE＝2m，
∴圆柱的底面积为4πm2，所以A选项不符合题意；
∵圆柱的高CD＝2.5m，
∴圆柱的侧面积＝2π×2×2.5＝10π（m2），所以B选项不符合题意；
∵底面圆半径DE＝2m，即BC＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，
∴圆锥的母线长AB＝＝2.5（m），所以C选项符合题意；
∴圆锥的侧面积＝×2π×2×2.5＝5π（m2），所以D选项不符合题意．
故选：C．
7．（2022•大庆）已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是（ ）
A．60πB．65πC．90πD．120π
【答案】B
【解答】解：圆锥侧面展开图扇形的半径为：＝13，其弧长为：2×π×5＝10π，
∴圆锥侧面展开图的面积为：＝65π．
故选：B．
8．（2022•无锡）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．12πB．15πC．20πD．24π
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
由已知得，母线长l＝5，半径r为4，
∴圆锥的侧面积是S＝πlr＝5×4×π＝20π．
故选：C．
命题点3 阴影面积的计算
9．（2022•遂宁）如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ）
A．cm2B．cm2C．175πcm2D．350πcm2
【答案】C
【解答】解：在Rt△AOC中，AC＝＝25（cm），
所以圆锥的侧面展开图的面积＝×2π×7×25＝175π（cm2）．
故选：C．
10．（2022•资阳）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：连接CO，直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形AOB中，OA＝2，
∴OC＝OA＝2，
∵点A与圆心O重合，
∴AD＝OD＝1，CD⊥AO，
∴OC＝AC，
∴OA＝OC＝AC＝2，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∵CD⊥OA，
∴CD＝＝＝，
∴阴影部分的面积为：＝﹣，
故选：B．
11．（2022•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2πB．2C．2π﹣4D．2π﹣2
【答案】C
【解答】解：连接OE，OC，BC，
由旋转知AC＝AD，∠CAD＝30°，
∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，
∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，
∴∠EOC＝90°，
即△EOC为等腰直角三角形，
∵CE＝4，
∴OE＝OC＝2，
∴S阴影＝S扇形OEC﹣S△OEC＝﹣×＝2π﹣4，
故选：C．
12．（2022•贺州）如图，在等腰直角△OAB中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为π﹣2，则EF的长度为（ ）
A．B．2C．2D．3
【答案】C
【解答】解：设OE＝OF＝r，
则，
∴r＝±2（舍负），
在Rt△OEF中，EF＝＝2，
故选：C．
13．（2021•兴安盟）如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心C是的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，则图中阴影面积等于（ ）
A．B．C．π﹣1D．π﹣2
【答案】D
【解答】解：两扇形的面积和为：＝π，
过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，
则四边形EMCN是矩形，
∵点C是的中点，
∴EC平分∠AEB，
∴CM＝CN，
∴矩形EMCN是正方形，
∵∠MCG+∠FCN＝90°，∠NCH+∠FCN＝90°，
∴∠MCG＝∠NCH，
在△CMG与△CNH中，
，
∴△CMG≌△CNH（ASA），
∴中间空白区域面积相当于对角线是的正方形面积，
∴空白区域的面积为：××＝1，
∴图中阴影部分的面积＝两个扇形面积和﹣2个空白区域面积的和＝π﹣2．
故选：D．
14．（2022•贵港）如图，在▱ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若AB＝3，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】 5﹣π
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，
∵AD＝AB，∠BAD＝45°，AB＝3，
∴AD＝×3＝2，
∴DF＝ADsin45°＝2×＝2，
∵AE＝AD＝2，
∴EB＝AB−AE＝，
∴S阴影＝S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC
＝3×2﹣﹣××2
＝5﹣π，
故答案为：5﹣π．