人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用达标测试

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1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题．
3．利用向量法解决长度问题的策略
向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝ eq \r(x2＋y2).
4．向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．
(3)动量mv是向量的数乘运算．
(4)功是力F与位移s的数量积．
5．用向量方法解决物理问题的“三步曲”
考点一 用向量证明线段垂直
考点二 用向量解决夹角问题
考点三 用向量解决线段长度问题
考点四 向量与几何最值
考点五 向量在物理中的应用
（一）力的合成
（二）速度、位移的合成
（三）功、动量的计算
考点一 用向量证明线段垂直
1．（2022·全国·高一专题练习）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】由已知平方可得，得出可判断.
【详解】，，
则，
，，则△ABC为直角三角形.
故选：B.
2．（2022春·辽宁沈阳·高一新民市第一高级中学校考阶段练习）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】B
【分析】由平面向量的线性运算，把给定的等式转化为用含的边的向量等式，再由模的意义即可得解.
【详解】中，
因与均为非零向量，则，即，是直角三角形.
故选：B
3．（2022春·四川·高一四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（ ）
A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形
【答案】B
【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0知对角线互相垂直可知为菱形.
【详解】，,
所以四边形ABCD为平行四边形，
, ，
所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.
故选：B
4．（2023·高一课时练习）若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（ ）
A．直角梯形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】C
【分析】首先根据向量相等判断四边形为平行四边形，再根据投影为零得到对角线互相垂直，即可判断；
【详解】解：因为，所以，所以平面四边形为平行四边形，
又，在方向上的数量投影是0，即，即，所以平行四边形为菱形；
故选：C
5．（2023·高一课时练习）利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角．
【答案】详见解析.
【分析】设为的直径，为半圆上的点，根据向量线性运算及向量数量积的运算律可得，进而即得.
【详解】如图设为的直径，为半圆上的点，
则 ，
所以，
所以，
所以，即，
所以半圆上的圆周角是直角．
6．（2023·高一课时练习）在中，，分别为边上的点，且．求证：．
【答案】证明见解析.
【分析】选择、为基向量，将和用基向量表示，再利用且，可得，则可得.
【详解】因为，
．
由且，
得，
所以.
【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量垂直问题，考查了平面向量的数量积，属于基础题.
7．（2022春·浙江温州·高一校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，．
（1）求的值；
（2）用，表示和；
（3）证明：．
【答案】（1）；（2），；（3）证明见解析
【分析】（1）利用数量积公式以及求解即可；
（2）由向量的加减法进行运算即可用，表示和；
（3）利用向量的垂直和数量积的关系证明即可.
【详解】（1）
（2）
又为中点
（3）
又

所以
【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，利用数量积求模以及利用向量证明线段垂直，属于中档题.
8．（2023·高一课时练习）如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上，联结AG、CE，AG交DC于H．
（1）证明：；
（2）当点C在BG的什么位置时，最小？
【答案】（1）证明见解析；（2）点C在BG的中点.
【分析】（1）建立直角坐标系，写出各点的坐标，利用向量法证明
（2）建立直角坐标系，利用向量几何均值不等式求解即可.
【详解】以B为原点，BE所在所在直线为x轴，以BG所在直线为y轴，建立直角坐标系．设，，且a