人教A版高中数学(必修第二册)第一次月考测试卷（二）（平面向量 复数）（2份，原卷版+解析版）

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2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．（2023·广东揭阳·统考）已知为虚数单位，若复数 ()为实数，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2022秋·广东深圳·高一校考阶段练习）已知向量，，则（ ）
A．52B．C．D．3
3．（2022春·广东东莞·高一统考期末）已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春·广东深圳·高一福田外国语高中校考期中）如图，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022春·广东广州·高一校联考期中）已知在平行四边形ABCD中，，，对角线AC与BD相交于点M，（ ）
A．B．C．D．
6．（2023秋·广东佛山·高一阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）．
A．B．C．D．
7．（2022春·广东潮州·高一饶平县第二中学校考阶段练习）已知向量，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·广东汕头·高一统考期末）若，，，点C在AB上，且，设，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2022春·广东揭阳·高一普宁市华侨中学校考阶段练习）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．的最小值为6D．若与的夹角为锐角，则
10．（2023·广东广州·统考二模）设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（ ）
A．是纯虚数B．对应的点位于第二象限
C．D．
11．（2022春·广东佛山·高一佛山一中校考期中）已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，则
C．若是锐角三角形，则
D．若，，，则的面积为或
12．（2022春·广东广州·高一广州市海珠中学校考期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（ ）
A．为的外心
B．
C．
D．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2023春·广东广州·高一广州市育才中学校考阶段练习）复数（其中是虚数单位）的虚部是___________．
14．（2022秋·广东汕头·高一金山中学校考期末）设向量，且，则向量在向量方向上的投影是_______.
15．（2022春·广东潮州·高一饶平县第二中学校考阶段练习）已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．
16．（2022秋·广东梅州·高一兴宁市第一中学校考阶段练习）中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是所在平面内的动点，满足（）．射线BP与边AC交于点D．若，，则面积的最小值为______．
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023春·广东广州·高一统考阶段练习）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，，求△ABC的面积．
18．（2022秋·广东阳江·高一阳江市第一中学校考期中）已知向量满足，且.
(1)求；
(2)记向量与向量的夹角为，求.
19．（2023秋·广东广州·高一广东番禺中学校考期末）在中，设角所对的边长分别为，且．
(1)求角；
(2)若的面积，，求的值．
20．（2022春·广东佛山·高一佛山一中校考期中）如图，在梯形，，，，，.
(1)若，求的值；
(2)若，求与的夹角的正切值.
21．（2023春·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期末）①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．
已知的三边，，所对的角分别为，，．若，______．
（1）求；
（2）求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
22．（2023秋·广东梅州·高一蕉岭县蕉岭中学校考开学考试）如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中，，.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑绿地最大化原则，要求点与点，均不重合，落在边上且不与端点，重合.
（1）设，若，求此时公共绿地的面积；
（2）为方便小区居民的行走，设计时要求，的长度最短，求此时绿地公共走道的长度.