(天津专用)中考数学二轮复习考点分类训练专题08 锐角三角函数实际问题(2份，原卷版+解析版）

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（参考数据：sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53，≈1.73）
【答案】建筑物BC的高度约为30.6m．
【分析】根据三角函数得出AC和DC，进而列出方程解答即可．
【详解】解：在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴.
∴ .
∴
∴,
∴
答：建筑物BC的高度约为30.6m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练利用三角函数的知识求解是解答本题的关键．
2．（2023下·天津和平·九年级天津市双菱中学校考开学考试）如图，为求出河对岸两棵树A，B间的距离，小坤在河岸上选取一点C，然后沿垂直于的直线前进了到达D点，测得．取的中点E，测得，，求河对岸两树间的距离．
参考数据： ，，，．

【答案】13米
【分析】根据为中点，，得到．在中，求得，在中，求得，然后利用勾股定理求得的长即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
为中点，，
．
在中，
，
在中，，
．
，
，，
．
在中，，，
．
两树间距离为13米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是正确的构造直角三角形，并选择正确的边角关系．
3．（2023·天津河西·天津市新华中学校考三模）如图所示，用测角仪测量远处建筑物的高度AD．已知测角仪的高度为1.6米，在水平线MD上点M处测得建筑物最高点A的仰角为，沿MD方向前进24米，达到点N处，测得点A的仰角为，求建筑物的高度AD．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，）
【答案】17.6米
【分析】延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝24m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝24+x，解直角三角形即可得到答案．
【详解】解：延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC＝MN＝24米，DE＝CN＝BM＝1.6米，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x米，
∴BE＝24+x，
∵∠ABE＝22°，
∴tan22°＝＝≈0.40，
解得：x＝16，
∴AD＝AE+ED＝16+1.6＝17.6（米），
答：建筑物的高度约为17.6米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
4．（2023·天津河西·天津市新华中学校考一模）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为30m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为35°测得底部C处的俯角为43°，求甲、乙两建筑物的高度AB和DC（结果取整数）．
（参考数据：tan35°≈0.70，tan43°≈0.93）
【答案】AB为28m，DC为7m.
【分析】作AE⊥CD交CD的延长线于E．则四边形ABCE是矩形，根据矩形的性质可多AE＝BC＝30，AB＝CE，在Rt△ACE中，由EC＝AE•tan43°求得EC的长，即可得AB的长；在Rt△AED中，DE＝AE•tan35°，由CD＝EC﹣DE 即可求得CD的长.
【详解】如图作AE⊥CD交CD的延长线于E．则四边形ABCE是矩形，
∴AE＝BC＝30，AB＝CE，
在Rt△ACE中，EC＝AE•tan43°≈27.9（m），
∴AB＝CE≈27.9（m），
在Rt△AED中，DE＝AE•tan35°，
∴CD＝EC﹣DE＝AE•tan43°﹣AE•tan35°＝30×0.93﹣30×0.7≈7（m），
答：甲、乙建筑物的高度AB为28m，DC为7m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键．
5．（2023·天津河西·天津市新华中学校考二模）如图，斜立于地面的木杆AB，从点C处折断后，上半部分BC倒在地上，杆的顶部B恰好接触到地面D处，测得，，折断部分CD长5.73米，求木杆AB的长度（结果保留整数）．参考数据：，，，．
【答案】9米
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，在Rt△AED和Rt△AEC中，利用三角函数解得，，，由可计算出AE的长，然后计算木杆AB的长度即可．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，
∴，
由题意可知，，，
在Rt△AED中，，
∴，
∵在Rt△AEC中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴解得，
∴m．
答：木杆AB的长度约是9米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意作辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
6．（2022·天津·天津市双菱中学校考模拟预测）如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，
【答案】（1）30°；（2）9m．
【分析】（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；
（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
【详解】解：延长PQ交直线AB于点E，
（1）∠BPQ=90°-60°=30°；
（2）设PE=x米．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE=PE=x米，
∵AB=AE-BE=6米，
则x-x=6，
解得：x=9+3．
则BE=（3+3）米．
在直角△BEQ中，QE=BE=（3+3）=（3+）米．
∴PQ=PE-QE=9+3-（3+）=6+2≈9（米）．
答：电线杆PQ的高度约9米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
7．（2019·天津和平·天津二十中校考二模）某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA=200m，一台拖拉机从O点出发，以每秒5m的速度沿北偏西53°的方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130m，则教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A受噪声污染的时间有几秒．(参考数据：sin53°≈0.80，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75)
【答案】(1) 教室A在拖拉机的噪声污染范围内；(2) 影响的时间为20s
【分析】(1)问教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内，其实就是问A到OM的距离是否大于污染半径130m，如果大于则不受影响，反正则受影响．如果过A作AB⊥OM于B，那么AB就是所求的线段．直角三角形AOB中，∠AOB的度数容易求得，又已知了OA的值，那么AB便可求出了．然后进行判断即可．
(2)如果设拖拉机从C到D教室受影响，那么要求教室受影响的时间，其实就是求CD的值，直角三角形ABC中，AB的值已经求得．又有AC的值，那么BC的值就能求出了．CD也就能求出了，然后根据时间=路程÷速度即可得出时间是多少．
【详解】解：如图，过点A作AB⊥OM于点B，
∵∠MON=53°，
∴∠AOM=90°﹣53°=37度．
在Rt△ABO中，∠ABO=90°，
∵，
∴AB=AO•sin∠AOB=200×sin37°≈120(m)．
∵120m＜130m．
∴教室A在拖拉机的噪声污染范围内．
根据题意，在OM上取C，D两点，连接AC，AD，使AC=AD=130m，
∵AB⊥OM，
∴B为CD的中点，即BC=DB，
∴，
∴CD=2BC=100(m)．
即影响的时间为．
【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．
8．（2021上·天津南开·九年级南开翔宇学校校考阶段练习）为提高城市幸福感，某市旅游局开发了风景优美的景点C，已知景点C在景点A北偏东37°方向上，景点C在景点B北偏东60°方向上，且景点B在景点A正北方向，A，B两个景点相距980米，求和的长（结果取整数）.参考数据：，，，取1.73.
【答案】的长约为2163米，的长约为1500米.
【分析】根据题意，从复杂的实际问题中整理已知条件构建方程，即可得解.
【详解】过点C作，交的延长线于点E，如图所示：
设米，则米，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，，
∴，
解得，
∴，
答：的长约为2163米，的长约为1500米.
【点睛】此题属于中等难度题，主要考查利用方位角构建方程求解距离.失分原因有3个：（1）不能正确地理解题意，从复杂的实际问题中整理已知条件；（2）没有掌握“母子型”模型的解题方法；（3）计算时出错.
9．（2022上·天津河东·九年级天津市第四十五中学校考期末）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：，，，）
【答案】51
【分析】由三角函数求出，得出，在中，由三角函数得出，即可得出答案．
【详解】解：，，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
答：炎帝塑像DE的高度约为51m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中．
10．（2023下·天津河东·九年级天津市第五十四中学校考阶段练习）如图，小明在一块平地上测山高，先在处测得山顶的仰角为，然后向山脚直行100米到达处，再测得山顶的仰角为，求山高是多少米？（结果保留整数，测角仪高忽略不计．参考数据：，，）
【答案】米
【分析】设，在中，根据正切的概念用表示出，在中，根据正切的概念列出方程求出的值即可．
【详解】解：由题意得，，，，
设，在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：山高约为251米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
11．（2023下·天津河北·九年级天津二中校考阶段练习）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端A，测得仰角为37°．再往建筑物的方向前进9m到达D处，测得建筑物顶端A的仰角为63°，求建筑物AB的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到1m）．参考数据：，，，，，．
【答案】12米
【分析】设AB=xm，Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC，再利用锐角三角函数列方程，再解方程可得．
【详解】解：设AB=xm ∵∠ADB=63°
∴在Rt△ADB中 ，tan∠ADB=
则


∴在Rt△ABC中，∠ACB=37°，


解得m，经检验符合题意.
答，建筑物AB的高度为12m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．
12．（2023·天津河东·天津市第七中学校考模拟预测）某大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索与水平桥面的夹角是，拉索与水平桥面的夹角是，两拉索底端距离米，求立柱的高．（结果保留一位小数）[参考数据：tan58°≈1.6，tan27°≈0.5]
【答案】立柱的高约为14.5米
【分析】设立柱的高为米，根据正切的定义用分别表示出，根据题意列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设立柱的高为米，
在Rt中，，
（米），
在Rt中，，
（米），
由题意得：，
解得：，
答：立柱的高约为14.5米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
13．（2023下·天津南开·九年级南开翔宇学校校考阶段练习）如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段至山谷点处，再从点处沿线段至山坡②的山顶点处．如图2所示，将直线视为水平面，山坡①的坡角，其高度为0.6千米，山坡②的坡度，于，且千米．
(1)求的度数；
(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程．
【答案】(1)105°
(2)
【分析】（1）根据山坡②的坡度，可求，即可求解；
（2）由余弦值和正弦值分别求出BC、AC即可求解；
【详解】（1）解：∵山坡②的坡度，
∴，
∴，
∵，
∴，
（2）∵，，
∴，
∴千米，
∵，，
∴，
∴，
∴该登山运动爱好者走过的路程．．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的综合应用，掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键．
14．（2023下·天津和平·九年级天津一中校考阶段练习）如图，甲乙两楼的水平距离为，自乙楼楼顶处，测得甲楼顶端处的仰角为，测得甲楼底部处的俯角为，求甲楼的高度．（结果取整数）参考数据：，取1.73．
【答案】甲楼的高度约为
【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．
【详解】解：过点作，垂足为．
在中，，，
由，
，
在中，，
由，
得，
，
，
答：甲楼的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形仰角俯角、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于基础题，中考常考题型．
15．（2020·天津·九年级天津市第四中学校考阶段练习）小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=6.5m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）
【答案】标语牌CD的长为6.3m．
【详解】分析：如图作AE⊥BD于E．分别求出BE、DE，可得BD的长，再根据CD=BD-BC计算即可；
详解：如图作AE⊥BD于E．
在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10m，
∴BE=AB=5（m），AE=5（m），
在Rt△ADE中，DE=AE•tan42°=7.79（m），
∴BD=DE+BE=12.79（m），
∴CD=BD-BC=12.79-6.5≈6.3（m），
答：标语牌CD的长为6.3m．
点睛：本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
16．（2019·天津和平·天津二十中校考一模）如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．
（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于 度；
（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．
【答案】（1）30．（2）34.6米．
【分析】（1）根据特殊角度的三角函数值即可求解；
（2）在直角△PHB中，根据三角函数即可求得PB的长，然后在直角△PBA中利用三角函数即可求解．
【详解】（1）∵山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：．
∴tan∠ABC=，
∴∠ABC=30°；
故答案为：30；
（2）设过点P的水平线为PQ，则由题意得：
45°
在Rt△PBH中，
在Rt△PBA中，
答：A、B两点间的距离约34.6米．
17．（2019下·天津·九年级天津一中阶段练习）随着航母编队的成立，我国海军日益强大，2018年4月12日，中央军委在南海海域降重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里）．
【答案】PB约为566每里
【详解】分析：通过勾股定理得到线段PC的长度，然后解直角△BPC求得线段PB的长度即可．
详解：在中， 则
∵AP=400海里，
∴由勾股定理知， 即4002=2PC2，
故海里．
又∵在直角△BPC中，∠PCB=90°，∠BPC=60°，
∴（海里）．
答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为566海里．
点睛：本题主要考查了勾股定理的应用和解直角三角形的应用．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
18．（2019下·天津南开·九年级南开翔宇学校校考开学考试）海岛A的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东67°，航行12海里到达C点，又测得海岛A在北偏东45°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由．【参考数据：；】
【答案】无触礁的危险，理由详见解析.
【详解】试题分析：作AD,利用三角函数计算AD长度，与8比较大小.
试题解析：
作AD,交BC延长线于D,
设AD=x,由三角函数知CD=AD=x,BD=ADtan67°=,
BD-CD=BC,所以x=.
8