(天津专用)中考数学二轮复习考点分类训练专题11 二次函数性质综合题(2份，原卷版+解析版）

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(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上两点之间的距离是 ；
(3)①：点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值；
(4)在①的条件下，当的面积最大时，为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，探究是否存在最小值．若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023上·天津南开·九年级南开翔宇学校校考阶段练习）已知关于x的二次函数（实数b，c为常数）.
(1)若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式及顶点坐标；
(2)若，，则该抛物线的顶点随着k的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
(3)记关于x的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，求实数m的取值范围．
3．（2023上·天津滨海新·九年级天津市滨海新区塘沽第一中学校考期中）已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为D，且过C（－4，m）．
(1)求点A，B，C，D的坐标；
(2)点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值，
②连接BD，当∠PCB＝∠CBD时，求点P的坐标．
4．（2023上·天津河东·九年级天津市第七中学校考期中）已知直线：经过点（0，7）和点（1，6）．
(1)求直线的解析式；
(2)若点P（，）在直线上，以P为顶点的抛物线G过点（0，-3），且开口向下
①求的取值范围；
②设抛物线G与直线的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单长度后得到的点Q' 也在G上时，求G在≤≤的图象的最高点的坐标．
5．（2023上·天津·九年级天津一中校考阶段练习）已知抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是抛物线上不与点，，重合的一个动点，过点作轴，垂足为，连接．
①如图，若点在第一象限，且，求点的坐标；
②直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求线段的长．
6．（2023上·天津·九年级天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；
(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．
(4)探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
7．（2023上·天津和平·九年级天津市汇文中学校考阶段练习）如图，已知抛物线经过A(，0)，B(，)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值及点P的坐标；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2023上·天津和平·九年级天津市第五十五中学校考阶段练习）已知抛物线 ，为常数，经过点，顶点为．
(1)当时，求该抛物线的顶点坐标；
(2)当时，点，若，求该抛物线的解析式；
(3)当时，点，过点作直线平行于轴，，，，是直线上的动点．当为何值时，的最小值为，并求此时点，的坐标．
9．（2023上·天津和平·九年级天津市双菱中学校考阶段练习）如图，已知抛物线经过点和点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上的一动点（点在直线的下方），过点作轴，交直线于点．设点的横坐标为，求线段的长（用含的代数式表示）；
(3)在（2）的条件下，连接、，求面积的最大值，并求出此时点的坐标．
10．（2023·天津河西·天津市新华中学校考一模）已知：抛物线（b，c为常数），经过点A（－2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
(3)设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值．
11．（2023·天津河西·天津市新华中学校考二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a>0）经过A(-1，0)和B(3，0)两点，点C(0，-3)，连接BC，点Q为线段BC上的动点．
(1)若抛物线经过点C；
①求抛物线的解析式和顶点坐标；
②连接AC，过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，AQ，△PAQ与△PBQ面积记为S1，S2，若S=S1+S2，当S最大时，求点P坐标；
(2)若抛物线与y轴交点为点H，线段AB上有一个动点G，AG=BQ，连接HG，AQ，当AQ+HG最小值为时，求抛物线解析式．
12．（2022·天津·天津市双菱中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，点．

(1)求此二次函数的解析式；
(2)若，是二次函数图像上两点，求证：；
(3)当时，函数的最大值与最小值之差为，直接写出的值．
13．（2023下·天津南开·九年级南开翔宇学校校考阶段练习）如图，点A，B，C都在抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC＝135°，且AB＝4．
（1）当m＝1时，求抛物线的顶点坐标；
（2）求点C到直线AB的距离（用含a的式子表示）；
（3）若点C到直线AB的距离为1，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．
14．（2023下·天津和平·九年级天津一中校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，，分别是线段，上的动点（点，不与点，，重合）．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；
(3)连接．
①如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标；
②如图3，连接，当时，求的最小值．
15．（2023下·天津滨海新·九年级天津经济技术开发区第一中学校考开学考试）已知，抛物线经过点三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）过点C作直线轴，动点在直线l上．
①连接，当点P在线段上时，过点P作轴，与x轴交于点E，连接，把沿直线翻折，点P的对应点为，与y轴交于点G，求的长；
②点N在抛物线上，且在第四象限，满足．动点在x轴上，连接，，，当t为何值时，的值最小，并求出的最小值．
16．（2023下·天津和平·九年级天津市双菱中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，点是第一象限的抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点作于点．
①若，求点坐标；
②过点作轴于点，交于点，连接，当的周长取得最大值时，抛物线上是否存在一点，使，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
17．（2023上·天津河西·九年级天津实验中学校考阶段练习）已知抛物线（为常数），点A（-1，-1），B（3，7）．
（1）当抛物线经过点A时，求抛物线解析式和顶点坐标；
（2）抛物线的顶点随着的变化而移动，当顶点移动到最高处时，
①求抛物线的解析式；
②在直线AB下方的抛物线上有一点E，过点E作EF⊥轴，交直线AB于点F，求线段EF取最大值时的点E的坐标；
（3）若抛物线与线段AB只有一个交点，求的取值范围．
18．（2023·天津河西·天津市新华中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，在y轴正半轴上有一点C，．点D，E分别是线段，上的动点，且均不与端点重合．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如图①，连接，将沿x轴翻折得到，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；
(3)如图②，连接，当时，求的最小值．
19．（2023·天津河东·天津市第七中学校考模拟预测）如图，已知点在二次函数的图像上，且．
(1)若二次函数的图像经过点．
①求这个二次函数的表达式；
②若，求顶点到的距离；
(2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
20．（2023下·天津河北·九年级天津二中校考阶段练习）已知抛物线交x轴于A、B两点，其中点A坐标为，与y轴交于点C，且对称轴在y轴的左侧，抛物线的顶点为P.
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；
（2）当时，求b的值；
（3）在（1）的条件下，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
21．（2023下·天津河东·九年级天津市第五十四中学校考阶段练习）如图1，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝-x2+bx+c经过B、C两点，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线y＝﹣x+2于点D．设点P的横坐标为m．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；
（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，求当PE取得最大值时点P的坐标，并求PE的最大值．
22．（2023上·天津和平·九年级天津二十中校考期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与轴交于点C，过动点H（0, ）作平行于轴的直线，直线与二次函数的图像相交于点D，E．
(1)写出点A,点B的坐标；
(2)若，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与轴相切时，求的值；
(3)直线上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
23．（2022上·天津和平·九年级天津二十中校考期末）如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．
24．（2023上·天津南开·九年级南开中学校考期末）已知：如图，二次函数的图象交轴于点和点（点在点左则），交轴于点，作直线是直线上方抛物线上的一个动点．过点作 直线平行于直线是直线 上的任意点，是直线上的任意点，连接，始终保持为，以和边，作矩形．
（1）在点移动过程中，求出当的面积最大时点的坐标；在的面积最大 时，求矩形的面积的最小值．
（2）在的面积最大时，线段交直线于点，当点四个点组成平行 四边形时，求此时线段与抛物线的交点坐标．
25．（2023上·天津河北·九年级天津十四中校考期末）已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，，设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，当的面积最大时，求出的最大面积和点D的坐标；
(3)当时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2022上·天津南开·九年级天津育贤中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．
①求DF＋HF的最大值；
②连接EG，是否存在点D，使△EFG是等腰三角形．若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．
27．（2022上·天津和平·九年级天津一中校考期末）如图，已知抛物线的解析式为，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C．
(1)请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；
(2)连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；
(3)若点为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使最大时点的坐标，并请直接写出的最大值．
28．（2022上·天津南开·九年级南开翔宇学校校考期末）已知抛物线过点，，．
(1)求此抛物线的解析式（直接写出结果即可）；
(2)若点是该抛物线第三象限的任意一点，求四边形的最大面积；
(3)若点在轴上，点为该抛物线的顶点，且．求点的坐标（直接写出结果即可）
29．（2022上·天津河西·九年级天津市第四十二中学校考期末）已知抛物线（，为常数，）经过点，顶点为D．
(1)当时，求该抛物线顶点D的坐标；
(2)当时，点，若，求该抛物线的解析式．
30．（2022上·天津河西·九年级天津市海河中学校考期末）已知点A(2，－3)是二次函数图象上的点．
(1)求二次函数图象的顶点坐标：
(2)当时，求函数的最大值与最小值的差：
(3)当时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t的值．
31．（2022上·天津和平·九年级天津市第二十一中学校考期末）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
32．（2023上·天津和平·九年级天津市第五十五中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点C的坐标是，将线段绕着点C逆时针旋转得到线段．
①若点E在此抛物线上，求出m的值；
②若点P是y轴上的任一点，当取最小值时，求点P的坐标．
33．（2022上·天津·九年级天津十四中校考阶段练习）已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，，设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)连接，，当的面积最大时，求出的最大面积和点D的坐标；
(3)当时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
34．（2023上·天津河北·九年级天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且，直线AB与抛物线在第一象限交于点．
(1)求抛物线的解析式：
(2)直线的函数解析式为______，点M的坐标为______，连接，若过点O的直线交线段于点P，将的面积分成的两部分，则点P的坐标为______；
(3)在y轴上找一点Q，使得的周长最小，则点Q的坐标为______
35．（2022上·天津河东·九年级天津市第四十五中学校考期末）如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．
36．（2021上·天津·九年级天津一中校考期中）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a．
(1)求该二次函数图象的对称轴以及抛物线与x轴的交点坐标；
(2)若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，函数图象的最高点为点P，最低点为点Q，求△OPQ的面积；
(3)若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请直接写出t的最大值．
37．（2021上·天津·九年级天津一中校考期中）已知抛物线（是常数）与轴交于两点，与轴交于点.
（Ⅰ）当时，求抛物线的解析式及顶点坐标；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，为抛物线上的一个动点.
①求当关于原点的对称点落在直线上时，求的值；
②当关于原点的对称点落在第一象限内，取得最小值时，求的值及这个最小值.
38．（2021上·天津河北·九年级汇森中学校考期中）已知：抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线经过点A，与x轴的另一个交点为，交y轴于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)P为抛物线的对称轴上一动点，连接，当时，求点P的坐标；
(3)M为抛物线上一动点，过点M作直线轴，交抛物线于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段长度的最大值．
39．（2021上·天津和平·九年级耀华中学校考期中）如图，直线AB与抛物线y＝x2+bx+c交于点A（﹣4，0），B（2，6），与y轴交于点C，且OA＝OC，点D为线段AB上的一点，连结OD，OB．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若OD将△AOB的面积分成1：2的两部分，求点D的坐标；
(3)在坐标平面内是否存在点P，使以点A，O，B，P为顶点四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
40．（2021上·天津·九年级天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A(﹣1，0)，B(0，﹣3)．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，判断△CBD的形状；
（3）直线BN∥x轴，交抛物线于另一点N，点P是直线BN下方的抛物线上的一个动点（点P不与点B和点N重合），过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，当四边形BPNQ的面积最大时，求出点P的坐标．
41．（天津市翔宇力仁学校2022-2023学年九年级上学期练习（一）数学试题）如图，抛物线与轴交于，两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．
42．（2022上·天津·九年级天津经济技术开发区第一中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．
43．（湖北省武汉市2021-2022学年九年级上学期1月月考数学试题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．
(1)求抛物线的解析式与直线l的解析式；
(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；
(3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标．
44．（2022上·天津滨海新·九年级塘沽二中校考期中）如图，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，直线y＝kx＋m，经过点B，C．
（1）求k的值；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，求四边形ACPB面积最大时点P的坐标；
（3）若M是抛物线上一点，且∠MCB＝∠ABC，请直接写出点M的坐标．
45．（2022年广东省佛山市南海区狮山镇初中毕业生一模数学试题）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A在x轴正半轴上，且满足BC=BA，
(1)求抛物线的解析式：
(2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
(3)如图②所示，在抛物线上一点D（在对称轴AC的右侧），有∠ACD=30°，求出D点的坐标：并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD=60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
46．（2020上·天津·九年级天津二十五中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点.已知抛物线（是常数），顶点为.
（Ⅰ）当抛物线经过点时，求顶点的坐标；
（Ⅱ）若点在轴下方，当时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ） 无论取何值，该抛物线都经过定点.当时，求抛物线的解析式.
47．（2020上·天津·九年级耀华中学校考期中）已知抛物线．
（1）求它的对称轴与轴交点的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴的交点为，，与轴的交点为，若=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）若点（，）在抛物线上，则称点为抛物线的不动点．将抛物线进行平移，使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线上，请说明理由．
48．（2021上·天津南开·九年级南开翔宇学校校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线(k为常数）．
（1）若抛物线经过点(1,k2)，求k的值；
（2）若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2)，且y1>y2，求k的取值范围；
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值，求k的值．
49．（2021上·天津河北·九年级天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）如图，抛物线的图像经过点，，其对称轴为直线
（1）求这个抛物线的解析式
（2）抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为判断的形状并说明理由
（3）直线轴，交抛物线于另一点，点是直线下方的抛物线上的一个动点（点不与点和点重合），点作轴的垂线，交直线于点，当四边形的面积最大时，求出点的坐标
50．（2019上·天津·九年级天津市第四十二中学校考阶段练习）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（-3，0）、B（1，0），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．
（1）求b、c的值；
（2）求∠DAO的度数和线段AD的长；
（3）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′，若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．
51．（2021上·天津河东·九年级天津市第七中学校考期中）二次函数的图象经过点，与轴分别交于点，点.点是直线上方的抛物线上一动点.
(Ⅰ)求该二次函数的解析式；
(Ⅱ)连接，，将沿轴翻折，得到.当四边形为菱形时，求点的坐标；
(Ⅲ)当四边形的面积最大时，求点的坐标.
52．（2023上·天津和平·九年级天津一中校考阶段练习）已知抛物线（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于，两点，与y轴交于点N，其顶点为D
(1)求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；
(2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)点为抛物线上的一个动点，H关于y轴的对称点为，当点落在第二象限内，且取得最小值时，求n的值
53．（2022上·天津·九年级天津二十五中校考期末）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、C（3，0），点B为抛物线顶点，直线BD为抛物线的对称轴，点D在x轴上，连接AB、BC，∠ABC＝90°，AB与y轴交于点E，连接CE．
（1）求顶点B的坐标并求出这条抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC的面积为S，点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系武，并求出S的最大值；
（3）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
54．（2022上·天津·九年级天津市第五十五中学校考期末）在平面直角坐标系中，抛物线：的对称轴为．
(1)求的值；
(2)若当时，抛物线与轴有且只有一个交点，求c的取值范围；
(3)将抛物线向左平移个单位长度得到抛物线，抛物线的顶点在直线上，求抛物线与轴交点的纵坐标的最小值．
55．（2022上·天津·九年级天津市第二南开中学校考期末）已知抛物线与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式（结果化成一般形式）及顶点坐标；
(2)设抛物线与轴的正半轴的交点为点
①若点是抛物线上一点，它的横坐标是5，在抛物线的对称轴上有一点，使最小，请求出此时点的坐标．
②点为轴上一动点，点在抛物线上．点满足，．求点的坐标．
56．（2023·天津·统考中考真题）已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为．
(1)若．
①求点和点的坐标；
②当时，求点的坐标；
(2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标．