【陕青宁】2025届高三八省联考数学真题答案

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1 ．C
【分析】 由交集的运算求解即可； 【详解】 由题意可得 A∩ B = {0, 1} . 故选： C.
2 ．D
【分析】根据三角函数最小正周期的求法求得正确答案.
【详解】依题意， f (x) 的最小正周期 .
故选：D
3 ．C
【分析】根据复数模的概念直接求解. 【详解】 由题意22+42 = 2 故选： C
4 ．B
【分析】利用向量的坐标运算求解.
【详解】Q = (0, 1) ，
= (1, 0) ，
故选：B.
5 ．C
【分析】根据双曲线的标准方程 ，结合渐近线方程 ，可得答案.
【详解】 由方程 = 1 ，则 a = 1, b = 3 ，所以渐近线 x = ±3x .
故选： C.
6 ．A
【分析】 由勾股定理先求出圆锥的高 ，进而利用圆锥体积公式求解即可.
【详解】 由题可知圆锥的底面半径 R = 1 ，母线长 l = 2 ，高 h = l2—R2 = 22—12 =
∴圆锥的体积为兀R2 h =
故选：A.
7 ．C
【分析】先根据余弦定理求出 AB 边的长度 ，再利用三角形面积公式求出三角形面积即可. 【详解】设 AB = x ，根据余弦定理 BC2 = AC2 + AB2 — 2AC . AB . cs 上BAC ，
已知BC = 8 ， AC = 10 ， cs 上BAC = 代入可得：
82 = 102 + x2 — 2× 10× x × , 即 x2 —12x + 36 = 0 ，解得 x = 6 ，
由于 BC2 + AB2 = 64 + 36 = 100 = AC2 ，则V ABC 为直角三角形， 则 × 6 × 8 = 24 .
故选： C.
8 ．B
【分析】分类讨论 ，去掉绝对值 ，结合一元二次不等式的求解即可得解.
当 a > 2 ， x > 2 时， f — 2a2 = x < a ，
当 2 < x < a 时， f (x) = —x2 + ax — 2a2 ，此时 Δ = a2 — 4× 2a2 = —7a2 < 0 ， 所以 f (x) < 0 ，不满足当 x > 2 时， f(x) > 0 ，故 a > 2 不符合题意；
当 0 < a ≤ 2 ， x > 2 时， f(x) = x x — a
— 2a2 = x2 — ax — 2a2 = (x — 2a)(x + a) > 0 ，解得 x > 2a ，
由于 x > 2 时， f(x) > 0 ，故 2a≤2 ，解得 0 < a ≤ 1 ； 当 a = 0 ， x > 2 时， f(x) = x2 > 0 恒成立，符合题意；
当 a < 0 ， x > 2 时， f(x) = x x — a — 2a 2 = x2 — ax — 2a2 = (x — 2a)(x + a) > 0 ，解得 x > —a ， 由于 x > 2 时， f(x) > 0 ，故 —a ≤ 2 ，解得 —2 ≤ a < 0 .
综上 —2 ≤ a ≤ 1 .
故选：B
【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是对a 分类讨论 ，结合因式分解方法有针对性求解 x > 2 时的 f (x) = x x — a — 2a 2 = x2 — ax — 2a2 = (x — 2a)(x + a) > 0 的解集，从而可求解.
9 ．ABC
【分析】根据焦点坐标求出 p = 4 判断 A ，根据抛物线定义判断 B ，C ，应用已知联立方程 求出点的坐标计算判断三角形的面积判断 D.
【详解】 因为F(2, 0) 是抛物线C : y2 = 2px 的焦点，所以 = 2 ， 即得 p = 4 ，A 选项正确；
设M(x0, y0 ) 在 y2 = 8x 上，所以 x0 ≥ 0 ，
所以 = x0 + 选项正确；
因为以 M 为圆心且过 F 的圆半径为MF = x0 + 2 等于 M 与 C 的准线的距离，所以以 M 为圆 心且过 F 的圆与 C 的准线相切，C 选项正确；
当 上OFM = 120O 时, x0 > 2,
= tan60O = = 8x0 ， y0 > 0 ，
所以 — 8y0 —163 = 0 , y0 = 4 或 y0 = — 舍
所以△OFM 的面积为 S△OFM = 选项错误.
故选：ABC.
10 ．ACD
【分析】对 A 、B： 借助导数求导后即可得； 对 C： 借助双曲正弦函数与双曲余弦函数将双 曲正切函数化简后 ，结合指数函数性质即可得； 对 D： 借助双曲正弦函数与双曲余弦函数， 分别将等式左右两边化简即可得.
对 A： 令 f = sinhx =
则 f 恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故 A 正确； 对 B： 令 g = cshx =
则 g ， 由 A 知， g 为增函数 ，又 g
故当x ∈(—∞, 0) 时， g (x) < 0 ， 当x ∈(0, +∞) 时， g (x) > 0 ，
故g(x )在(—∞, 0) 上单调递减，在 (0, +∞) 上单调递增，故 B 错误；
由 y = e2x +1在 R 上单调递增，且 y = e2x +1 > 1，
故tanh x = 1 — 是增函数 ，故 C 正确；
对 D： 由 C 知 tanh x = ，则 tanh
e2x+2 y + e2x —e2 y —1 +e2x+2 y —e2x +e2 y —1 2e2x+2 y —2 e2x+2 y —1
= = = ，
e2x+2 y + e2x +e2 y +1 +e2x+2 y —e2x —e2 y +1 2e2x+2 y +2 e2x+2 y +1
故 tanh ，故 D 正确.
故选：ACD.
11．ABD
【分析】对 A ，原图中的圆环无法解开，对 BC 转化为三叶结问题即可；对 D 通过绳数即可 判断.
【详解】对于 A 选项： 原图中的圆环不可解开，则无法无损变为一个圆 ， :无法得到 A 选 项；
对于 D 选项： 为三个圆，不是一根绳， :无法得到 D 选项；
对于 B,C 选项：根据左手三叶结和右手三叶结不能无损转换，而 BC 情形为三叶结变体 ，则 BC 至少有一个无法无损伤得到，
两者为手性， 即镜像（即只能在镜子中相互重叠） ，再通过考场身边道具（如鞋带 ，头发） 进行实验可知： 可以得到 C 选项 ，无法得到 B 选项.
故选：ABD .
12 ． e
【分析】根据条件 ，利用指数和对数的运算求得答案. 【详解】 由 f (ln 2)f (ln 4) = 8 ，可得 a ln 2 . a ln 4 = 8 ，
即 aln 2+ln 4 = a3ln 2 = 8 ，也即 (aln 2 )3 = 23 ，
: a > 0且 a ≠ 1 ， : a ln 2 = 2 ，
两边取对数得： ln 2. ln a = ln 2 ，解得 a = e . 故答案为： e .
13 .
【分析】先写出基本事件总数C ，再求出所有卡片上的数字之和 ，得到抽出的 3 张卡片上
的数字之和应为18 ，列举出和为18 的 3 张卡片即可求解.
【详解】从 8 张卡片中随机抽出 3 张，则样本空间中总的样本点数为 ，
因为1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 ，
所以要使抽出的 3 张卡片上的数字之和与其余 5 张卡片上的数字之和相等， 则抽出的 3 张卡片上的数字之和应为18 ，
则抽出的 3 张卡片上的数字的组合有8, 7, 3 或8, 6, 4 或7, 6, 5 共 3 种， 所以符合抽出的 3 张卡片上的数字之和为18 的样本点个数共 3 个，
所以抽出的 3 张卡片上的数字之和与其余 5 张卡片上的数字之和相等的概率为 . 故答案为： .
14 ． 2 2
【分析】根据对称性，结合图象来求得正确答案.
【详解】 由于(x, y) 和 (—x, —y) 都符合 y = x3 — ,x ≠ 0 ，
所以曲线C 的图象关于原点对称， 当 x > 0 时， 函数 y = x3 一 单调递增，
由此画出曲线C 的大致图象如下图所示，
两条直线l1 、 l2 均过坐标原点 O ，所以 M、N 两点关于原点对称 ，P、Q 两点关于原点对称， 根据对称性，不妨设M , N, P, Q 位置如图，
可知OP = OQ , OM = ON ， 上POM = 上QON ， 所以△OPM 三 △OQN ，所以S△OQN = S△OPM =
而 △OQM 和△OQN 等底等高 ，面积相同，所以S△OQM = ·2 ，
所以S△MNQ = 2
故答案为： 2 ·2
【点睛】方法点睛：利用曲线对称性：充分利用曲线关于原点对称的性质 ，确定点的对称关 系，这是解决本题的基础.通过对称关系 ，能够推导出相关线段和三角形之间的等量关系，
为后续的面积计算提供依据.
15 ．(1) s = 180 ， t = 150
(3)能认为药物A 对预防疾病B 有效 【分析】（1）根据列联表求和即可；
（2）用频率估计概率 ，计算即可；
（3）根据公式计算 x2 ，然后根据临界值表分析判断即可.
【详解】（1） 由列联表知 s = 100 + 80 = 180 ， t = 80 + 70 = 150；
（2） 由列联表知 ，未服用药物A 的动物有 s = 180（只）， 未服用药物A 且患疾病B 的动物有80（只），
所以未服用药物A 的动物患疾病B 的频率为 = ，
所以未服用药物A 的动物患疾病B 的概率的估计值为 P = ；
（3）零假设为H0 ： 药物A 对预防疾病B 无效，
由列联表得到≈ 6.734> 6.635 ，
根据小概率值α = 0.01的独立性检验 ，推断H0 不成立，
即认为药物A 对预防疾病B 有效 ，该推断犯错误的概率不超过0.01 ，
所以根据小概率值α = 0.01的独立性检验 ，能认为药物 A 对预防疾病B 有效.
16 ．(1)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据题设条件化简，结合等比数列的定义即可证明；
（2） 由（1）求得数列的通项公式，再求 an 即得；
（3）将（2）中得到的{an } 的通项代入bn = 求得bn ，化简后利用数列的单调性即可得证.
n
由 an+1 = 得
〔 1 ) 1 2 2
所以数列 {l1一 an ,} 是首项为1 一 a1 = 3 ，公比为 3 的等比数列.
由 得1一 n一1 = 解得： an =
因为 f (n) = 3 . (|( ),In 一 2 在n ∈[1, +∞) 上单调递增，则
所以数列 在 n ∈ N* 上单调递减，从而数列{bn }在 n ∈ N* 上单调递增，且bn 0 ，
化简得3x2 一 x 一 2 = (x 一1)(3x + 2) = 0 ，解得 x = 1（负值舍去），
又此时 f(1) = 一3 ，则切线方程过点(1, 一3) ，结合切线方程斜率为 2， 则切线方程为 y + 3 = 2 (x 一1) ， 即2x 一 y 一 5 = 0 .
（2） 由题可得 f(x) 定义域为 一
因 x = 1 是 f(x) 的极小值点，则 f’(1) = 一1+ a 一 b = 0 → a = b +1，
若b ≤ 0 ，令 f’(x) > 0 → x ∈(0, 1) ，令 f ’(x) < 0 → x ∈ (1, +∞ )，
则 f(x) 在(0, 1) 上单调递增，在(1, +∞) 上单调递减， 得 x =1是 f(x) 的极大值点，不满足题意；
若0 < b < 1 ，令 f (x) > 0 → x ∈(b, 1) ，令 f (x) < 0 → x ∈(0, b)u (1, +∞)，
则 f(x) 在(b, 1) 上单调递增，在 (0, b), (1, +∞) 上单调递减， 得 x =1是 f(x) 的极大值点，不满足题意；
若b = 1 ，则 f = 一 < 0 ， f 在 上单调递减，无极值，不满足题意；
若b > 1 ，令 f (x) > 0 → x ∈(1, b) ，令 f (x) < 0 → x ∈(0, 1)u (b, +∞)， 则 f(x) 在(1, b)上单调递增，在 (0, 1), (b, +∞) 上单调递减，
得 x =1是 f(x) 的极小值点，满足题意； 综上 ， x = 1是 f(x) 的极小值点时 ， b > 1 .
(2)证明见解析
(3)点 M 的轨迹是圆，该圆的方程为(x 一1)2 + y2 = 16
【分析】(1)根据椭圆焦点坐标得 c = 1 ，离心率为 ，得 a = 2 ，从而求出b ，得出椭圆方程；
(2)写出中垂线方程，联立椭圆方程 ，判别式等于零， 即可证明恰一个公共点；
(3)解法一： 利用设直线方程联立椭圆方程的方法 ，根据判别式等于 0 ， 即可求解.
MF2
解法二： 利用椭圆定义和线段垂直平分线的性质结合光学性质，得到
= 4 ，从而得到
点 M 的轨迹和轨迹方程.
【详解】（1） 因为椭圆左、右焦点分别为F1 (−1,0) ，F2 1,0 ，所以 c = 1 ，又因为椭圆 C 的
离心率为 ，
得 a = 2, :b2 = 3 ，所以椭圆方程为
（2） 由M0 (1, 4) ，F1 −1,0得直线M0F1 斜率为 k = 2 ， 中点坐标为0,2，
所以线段F1M0 的垂直平分线方程为 x + 2 ，
联立垂直平分线方程和椭圆方程
Q Δ = 4 - 4 = 0 ，所以直线与椭圆相切，
( 3 )
线段F1M0 的垂直平分线与 C 恰有一个公共点|(1, 2 , ；
（3）解法一： 设M(x0, y0 ) ，
当 y0 = 0 时， F1M 的垂直平分线方程为 x = ， 此时 = ±2, x0 = 5 或 -3；
x +1( x -1) y x +1 x2 + y2 -1
当 y0 ≠ 0 时， F1M 的垂直平分线方程为 y = - x - + = - x + ，
联立
即「|3 + 4 (x0 1)2 7| x2 - 4 (x0 +1)( + y -1) x + (x + y -1)2 - 12 = 0
|L y0 」| y0 y0
因为线段F1M 的垂直平分线与 C 恰有一个公共点，
y0 |L y0 」||L y0 」|
故Δ = 16(x0 + 1)2 ( + y -1)2 -4 |「3 +4 (x0 1)2 7|「|( x + y - 2 -127| =0，
2
2 2 2
0 0
- 36 - = 0 ， 2 2
即 3 (x + y -1) 48(x0 +1)
y0 y0
则 y + (2x -14)y + x -18x - 32x0 -15 = 0 ，
即 y + (2x -14)y + (x0 +1)2 (x0 + 3)(x0 - 5) = 0 ， y + (2x -14)y + (x + 2x0 +1)(x - 2x0 -15) = 0 ， 即 (y + x + 2x0 +1)(y + x - 2x0 -15) = 0 ，
: x + y + 2x0 +1 = (x0 +1)2 + y > 0, :x + y - 2x0 -15 = 0 ，
而 (5, 0) ， (-3, 0) 也满足该式，
故点 M 的轨迹是圆，该圆的方程为 x2 + y2 - 2x -15 = 0 ， 即 (x -1)2 + y2 = 16 .
解法二： 设线段F1M 的垂直平分线l 与 C 恰有一个公共点为 P，
则当点 P 不在长轴时，线段F1M 的垂直平分线 l 即为点 P 处的切线， 也为上F1PM 的角平分线，
作上F1PF2 的角平分线 PH ，根据椭圆的光学性质得 PH 丄 l ，
:上F1PE + 上F1PH = 90 ，则 上F2PH + 上EPM = 90 ， 故上F2PF1 + 上F1PM = 180 ，
所以M , P, F2 三点共线 ，所以
= 4 ，
MF2
=
MP
+
PF2
=
PF1
+
PF2
所以点 M 的轨迹是以F2 为圆心，4 为半径的圆，
当 P 在椭圆长轴上时，M 点为(5, 0)或 (-3, 0) 也满足MF2 = 4 ， 故点 M 的轨迹是圆，该圆的方程为(x -1)2 + y2 = 16 .
【点睛】方法点睛： 判断直线与椭圆公共点的个数问题的方法是：
(1)首先根据题意得到直线和椭圆方程；
(2)联立直线和椭圆方程，消元得到一元二次方程；
(3)计算 Δ , 根据Δ > 0, Δ < 0, Δ = 0 ，判断直线与椭圆公共点的个数.
19 ．(1)（i）证明见解析；（ii）球 O 的半径为 ；
【分析】（1）（i） 由题设求证 AB 丄AC ， 即可由线面垂直的判定定理得 AB 丄 平面 PAC ，
再由面面垂直判定定理得证；（ii）建立以 A 为原点空间直角坐标系 A - xyz ， 设球心O(a, b, c) ，半径R ， 由 AO = BO = CO = PO = R 列方程组即可计算求解.
（2）过 P 作 PG 丄 AC 于 G，在平面 ABC 中，过 G 作GM 丄 AC ，设上PGM = θ, θ∈ (0, 180。)， 以 G 为原点建立适当的空间直角坐标系G - xyz ，求出平面 PAC 和平面 PBC 的一个法向量, 即可由向量夹角公式，通过换元 ，利用二次函数的性质即可求得.
【详解】（1）在 △ACD 中， 由 AC = CD = 1 ， 上ADC = 30O 得 上CAD = 上ADC = 30O ，
所以AD = 2AC cs 上DAC = 2 × 1 × cs 30。= · , 且上BAC = 上DAB - 上CAD = 120O - 30O = 90O ， 即 AB 丄AC ，
（i）证明： 因为 AB 丄AC ， PC 丄 AB ， PC ∩ AC = C ， PC、AC 平面 PAC ，
所以 AB 丄 平面 PAC ，又 AB 平面 ABC ， 所以平面 PAC 丄 平面 ABC；
（ii）以 A 为原点， AB, AC 分别为 x 轴和 y 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系 A - xyz ，
则 A(0, 0, 0), B 设球心O(a, b, c) ，半径 R ，
则 AO = BO = CO = PO = R ，
所以 a2 + b2 + c2 = 2 + b2 + c2 = a2 + 2 + c2 = a2 2 = R， 解得 所以球 O 的半径为
（2）在平面 PAC 中，过 P 作 PG 丄 AC 于 G ，在平面 ABC 中，过 G 作GM 丄 AC ， 因GM ∩ PG = G, GM, PG 平面PGM ,则 AC 丄 平面PGM .
则由 3 cs 30。= , PG = 3 sin 30。=
设上PGM = θ,θ∈ (0, 180。) ， 以 G 为原点， GM , CG 分别为 x 轴和 y 轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系G - xyz ，则点P 在平面 xGz 内，
则G (0, 0, 0), A|((0, - , 0), , B |((1, - , 0), , C |((0, - , 0), , P ((| csθ, 0, sinθ,) ，
所以 –A = (0, -1, 0),
设平面 PAC 一个法向量分别为 = (x1, y1, z1 ) ，则 {l〔 ，
即 sθ+ 3 z1 sinθ= 0 ，取 x1 = sin 则得 平面 PBC 的一个法向量为 ，则
即 sinθ = 0，取 x2 = 1 ，则得
令 t = csθ+ ，则由θ∈ (0, 180)得 t ∈( -1, +1) ，则 ∈ (|( , ), ，
–→ → t t
于是 cs m, n = -3(t - i3 )2 + 2 ·3 (t - 3 )+ 7 = -3t2 + 8 i3t - 8
1 1 1 3
= = ≥ =
- + - 3 -8(|( - ,) 2 + 3 3 3 ，
答案第 13页，共 14页
当且仅当 即 时等号成立， 所以二面角 A - CP - B 的余弦值的最小值为 .
【点睛】方法点睛： 求空间二面角常用方法：
（1）定义法： 根据定义作出二面角的平面角；
（2）垂面法： 作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的两条交线所成的角就是二面角 所成角的平面角；
（3） 向量坐标法： 作几何体的空间直角坐标系，求出二面角的法向量，直接由公式计算即 可；
（4）射影面积法： 求出斜面面积和它在有关平面的射影的面积 ，再由射影面积公式计算求 解.