2024-2025学年人教A版2019高一数学同步精品试题第三章函数的概念与性质单元综合测试卷（Word版附解析）

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第三章 函数的概念与性质 单元综合测试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的定义域是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，，解得，所以函数的定义域为.故选：A2．下列函数图象中，可以表示偶函数的有（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据偶函数图象关于y轴对称，结合函数图象可知符合题意是A选项，B，C，D不合题意.故选：A.3．下列各组函数是同一个函数的是（    ）A．与 B．与C．与 D．与【答案】A【解析】对于A，易知两函数定义域均为R，且，故A正确；对于B，的定义域为，而的定义域为，两函数定义域不同，故B错误；对于C，的定义域为R，的定义域为，两函数定义域不同，故C错误；对于D，易知两函数定义域均为R，但，故D错误.故选：A4．若函数是奇函数，函数是偶函数，则（    ）A．函数是奇函数B．函数是奇函数C．函数是奇函数D．函数是奇函数【答案】C【解析】依题意，函数是奇函数，函数是偶函数，A选项，，所以是偶函数，A选项错误.B选项，，所以函数是偶函数，B选项错误.C选项，，所以函数是奇函数，C选项正确.D选项，，所以函数是非奇非偶函数，D选项错误.故选：C5．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，的对称轴为，故在上单调递增.函数在处连续，又是定义域为R的奇函数，故在R上单调递增.因为f-x=-fx，由，可得，又因为在R上单调递增，所以，解得.故选：D6．已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】函数的对称轴为若函数在上是单调递增函数，则若函数在上是单调递减函数，解得或故的取值范围是故选：C．7．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）A． B．-1,0 C． D．【答案】B【解析】函数在上单调递增，当时，单调递增，当时，也需要单调递增，所以，解得，故B正确.故选：B.8．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论不正确的是（ ）A．函数存在跟随区间B．若为的跟随区间，则C．函数存在跟随区间D．二次函数存在“2倍跟随区间”【答案】C【解析】对于A，因为在R上单调递增，所以对于，其值域为，由“跟随区间”的定义可知函数存在无数个跟随区间，故A正确；对于B，若为的跟随区间，且的对称轴为，所以，解得或（舍），故B正确；对于C，假设存在“跟随区间”，因为在单调区间上均单调递减，则有，解得，此时在内包含0，时函数无意义，故不存在跟随区间，故C错误；对于D，若函数存在2倍跟随区间，设定义域为 ，值域为，当时，函数在定义域上单调递增，则，则是方程的两个不相等的实数根，解得或 ，故存在定义域为 使得值域为，D正确.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．函数的定义域为B．函数的值域为C．函数与函数是同一个函数D．函数满足【答案】AD【解析】对于A，函数有意义，即，即，故A正确；对于B，因当 时，，即函数的值域为，故B错误；对于C，由A分析知，函数的定义域为，而的定义域为，故C错误； 对于D，由，可得D正确.故选：AD.10．已知函数，若，则x的取值可以是（    ）A．3 B．20 C． D．5【答案】CD【解析】当时，，解得（舍去）或，当时，，解得，符合，综上，或5.故选：CD.11．已知函数，若，记，则（    ）A．的最小值为1 B．的最大值为C．的最大值为5 D．的最小值为3【答案】ABD【解析】依题意，函数在上递减，在上递减，其图象如图：当，时，，由，得 ，且，因此，，对于AB，，当时，，当时，，AB正确；对于CD，，函数在上单调递增，当时，，无最大值，C错误，D正确.故选：ABD第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．【答案】【解析】由，得，所以函数的定义域为．故答案为：13．若函数在区间0,1上是减函数，则实数的取值范围是 ．【答案】【解析】由题意，解得．故答案为：.14．定义在上的函数，，对，，使得，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】因为，当时，所以；当时，则在上单调递增，所以；综上可得；因为对，，使得，所以函数在上的值域是函数在上的值域的子集，又，，当时，，则有，解得，当时，，不符合题意；当时，，则有，解得．综上所述，可得的取值范围为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知，．(1)求，的值；(2)求的值．【解析】（1）因为，所以，．（2）因为，所以，所以．16．（15分）已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)解不等式.【解析】（1））函数是定义在上的奇函数，，解得：，∴，而，解得，∴，.（2）函数在上为减函数；证明如下：任意且，则，因为，所以，，所以，即，所以函数在上为减函数.（3）由题意，不等式可化为，所以，解得，所以该不等式的解集为.17．（15分）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元.(1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？(2)该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？【解析】（1）设利润为，则，由整理得，解得，由于，所以，所以第3年首次盈利.（2）首先，由（1）得平均利润万元，当且仅当，万元时等号成立，综上，第7年，平均利润最大，为12万元.18．（17分）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，.(1)求的解集和的解集.(2)若，恒成立，求取值范围.(3)若的解集为，求的范围.【解析】（1）由题意得，且，由，即，所以，故的解集为；由，即，，则，所以.所以的解集为.（2），恒成立，即，恒成立，又，当且仅当时，即时等号成立.故的最小值为，所以要使恒成立，则. 故的取值范围为.（3）不等式，即，由方程可得或.①若，不等式为，即，所以，显然不符合题意；②若，，由，解得，因为不等式的解集为，所以，解得③若，，由，解得，因为不等式解集为，所以，解得.综上所述， 或.故的范围为.19．（17分）“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，．(1)求的值；(2)设函数．（ⅰ）证明：函数的图像关于点对称；（ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．【解析】（1）因为函数的图像关于点对称，则，令，可得．（2）（ⅰ）证明：由，得，所以函数的图像关于对称．（ⅱ），则在上单调递增，所以的值域为，设在上的值域为A，对任意，总存在，使得成立，则，当时，，函数图象开口向上，对称轴为，且，当，即，函数在上单调递增，由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增，因为，，所以，所以，由，可得，解得．当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，由对称性可知在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，结合对称性可得或，因为，所以，，又，，所以，，所以当时，成立．当，即时，函数在上单调递减，由对称性可知在上单调递减，因为，，所以，所以，由，可得，解得．综上所述，实数a的取值范围为．