2024-2025学年人教A版2019高一数学同步精品试题第三章函数的概念与性质章末题型归纳总结（Word版附解析）

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第三章 函数的概念与性质 章末题型归纳总结 目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：求具体函数与抽象函数的定义域经典题型二：求函数的解析式经典题型三：求函数的值域经典题型四：函数的单调性经典题型五：函数的奇偶性经典题型六：函数性质的综合应用经典题型七：幂函数经典题型八：函数的实际应用模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：求具体函数与抽象函数的定义域【典例1-1】（2024·高三·北京·阶段练习）函数的定义域为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题设，∴，∴.故选：D【典例1-2】（2024·高一·江西宜春·阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为的定义域为，所以不等式对任意的恒成立，当时，恒成立，满足题意；当时，则，解得；综上，，即的取值范围是.故选：D.【变式1-1】（2024·高一·安徽宿州·阶段练习）函数的定义域是（   ）A．且 B．且C． D．【答案】C【解析】因为，则，解得且，所以函数的定义域是.故选：C.【变式1-2】（2024·高一·浙江丽水·阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为的定义域是，所以要使得有意义，需满足，解得．则函数的定义域为是故选：B【变式1-3】（2024·高一·浙江·阶段练习）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【解析】因为函数的定义域为，则，即，所以函数的定义域为.又函数的值域为，所以的值域为.故选：D.【变式1-4】（2024·高一·山东枣庄·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数的定义域为，则，则且，则函数的定义域为.故选：D.【变式1-5】（2024·高三·福建宁德·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（   ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由函数的定义域是，得，因此在函数中，，解得，所以所示函数的定义域为.故选：A经典题型二：求函数的解析式【典例2-1】（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；（2）已知函数，求的解析式；（3）已知函数满足，求函数的解析式；【解析】（1）设，则.，解得，或，或.（2）令，则，，即.（3）在已知等式中，将换成，得，与已知方程联立，得，解得.【典例2-2】（2024·高一·天津宝坻·阶段练习）（1）已知是二次函数，且满足，求的表达式；（2）已知，求的表达式.【解析】（1）令，因为，所以，则．由题意可知：即，可得，解得，所以；（2）因为，所以．【变式2-1】（2024·高三·黑龙江佳木斯·开学考试）求下列函数解析式(1)函数满足， 求函数的解析式;(2)函数满足，求函数的解析式.【解析】（1）令，则(R)，又，所以，所以函数的解析式为.（2）∵，∴用替换上式中的，得到，解方程组，得.【变式2-2】（2024·高三·海南·开学考试）（1）已知，求函数的解析式；（2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；（3）已知，求的解析式.【解析】（1）设，则，，即，所以，所以．（2）因为是二次函数，所以设.由，得．由，得，整理得，所以，所以，所以．（3）用替换中的x，得，由，解得.【变式2-3】（2024·高一·全国·课堂例题）（1）已知，求；（2）已知为二次函数，且，求；（3）已知函数对于任意的x都有，求．【解析】（1）方法一  （换元法）：令，则，，所以，所以的解析式为．方法二  （配凑法）：．因为，所以的解析式为．（2）设，则，所以，解得，所以．（3），令，得，于是得到关于与的方程组，解得．【变式2-4】（2024·高一·上海·课堂例题）（1）已知是一次函数，且，求的表达式；（2）已知，求的表达式；（3）已知，求的表达式；（4）已知，求的表达式．【解析】（1）设．∵，，解得或，∴或．（2）令则．∵，∴．（3）令，，则，即．∵，∴，∴．（4）∵，①∴．②得，∴．经典题型三：求函数的值域【典例3-1】（2024·高一·全国·课堂例题）求下列函数的值域：(1)，；(2)；(3)，；(4)．【解析】（1），且，则．所以函数的值域为.（2）函数的定义域为，由，得，所以的值域为.（3）函数图象的对称轴为，而，当时，，当时，，所以函数的值域为．（4）函数的定义域为，，所以函数的值域为．【典例3-2】（2024·高一·上海·随堂练习）求下列函数的值域：(1)，；(2)；(3)．【解析】（1）因为，，所以在上单调递增，又，，∴函数，的值域为．（2）令，即，解得，所以的定义域为，又∵，∴，故，∴的值域为．（3）因为，又，所以，∴函数的值域为．【变式3-1】（2024·高一·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域.（2）已知，求函数 的最小值.【解析】（1），当且仅当时等号成立，则函数值域为.（2）因为，，当且仅当时，即时，等号成立，所以函数的最小值为，此时.【变式3-2】（2024·高一·上海·课堂例题）求函数的最小值．【解析】因为，，所以，等号当且仅当,即时成立，所以函数最小值为4．【变式3-3】（2024·高一·浙江杭州·期中）求下列函数的值域：(1)(2)(3)【解析】（1）因为，则，可得，当且仅当，即x=2时，等号成立，所以函数的值域为.（2）令，则，可得，当时，等号成立，所以函数的值域为.（3）因为，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，即，所以函数的值域为.【变式3-4】（2024·高一·上海·专题练习）已知函数的值域为[1，3]，求的值【解析】由题意定义域为，则在上有解，当符合题意，当，即 的解集为[1，3]，故1和3为关于y的二次方程的两个根所以 解得【变式3-5】（2024·高一·全国·课后作业）求下列函数的值域．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)（）．【解析】（1）因为，所以．故值域为．（2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为．（3）令，则，且，所以（）．故函数的值域．（4），其中，，当时，．又因为，所以．故函数的值域为．（5）因为，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8．故函数的值域为．【变式3-6】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）完成下列各小题:(1)若正数，满足，求的最小值.(2)已知，求的最小值.(3)已知定义在的函数，求函数的值域【解析】（1）由题得，正数，满足，因为，所以，所以；当且仅当，得，即时，等号成立；所以的最小值为.（2）因为，所以，令，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立；所以时，的最小值为.（3）因为,所以所以因此当且仅当时,取等号,即时取等号，因为，所以所以，即所以函数的值域为经典题型四：函数的单调性【典例4-1】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）已知函数．(1)若，求在或上的值域；(2)证明：当时，函数在区间上单调递增．【解析】（1）当，若，则，等号当且仅当时成立；若，则，等号当且仅当时成立．所以在或上的值域为：．（2），且，有．由得：．所以，又由，得．于是：，即．所以，函数在区间上单调递增．【典例4-2】（2024·高一·湖南邵阳·开学考试）已知定义在上的函数满足：①；②，均有，函数，若曲线与恰有一个交点且交点横坐标为1，令.(1)求实数的值及；(2)判断函数在区间上的单调性，不用说明理由；(3)已知，且，证明：.【解析】（1）由，均有且，令，可得，令，可得.因为曲线与hx恰有一个交点且交点横坐标为，所以，又因为曲线与hx恰有一个交点，所以有两个相等的实数根，则，因为，可得，解得，所以，则.（2）函数在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减.设且，则，其中当时，，则，即，此时函数在0,1上单调递增；当时，，则，即，此时函数在1,+∞上单调递减，所以函数在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减.（3）证明：因为，由，可得，即，所以，整理得，又因为，由基本不等式，可得.【变式4-1】（2024·高一·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为对任意，都有成立，可得在上是单调递减的，则，解得.故选：A【变式4-2】（2024·高一·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由任意，都有，知在单调递减，要使 在单调递减，则或，即或.故选：A.【变式4-3】（2024·高一·全国·课后作业）函数的单调增区间是（    ）.A． B．C． D．，【答案】D【解析】函数的定义域为，又的图象是由向右平移个单位而来，的单调递增区间为，，所以的单调递增区间为，.故选：D【变式4-4】（2024·高一·吉林·阶段练习）如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】开口向上，对称轴为，要想函数在区间上单调递增，则需，解得，故实数的取值范围是故选：A【变式4-5】（2024·高一·天津滨海新·阶段练习）已知函数满足对任意，当时都有成立，则a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】对任意，当时都有成立，所以函数在上是增函数，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.经典题型五：函数的奇偶性【典例5-1】（2024·高一·北京·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当x∈0,+∞时， .【答案】【解析】当x∈0,+∞时，可得，因为函数是定义在上的偶函数，且时，，可得，即当x∈0,+∞时，.故答案为：.【典例5-2】（2024·高一·吉林·阶段练习）若函数是R上的奇函数，且在上是增函数，又，则的解集是 .【答案】【解析】因为为R上的奇函数，则，在上是增函数，则在0,+∞上也单调递增，又，故，当或时，，当或时，，故当时，，满足，当时，，满足，综上，的解集为.故答案为：【变式5-1】（2024·高一·吉林·阶段练习）已知函数，，则 .【答案】【解析】设，则，且为奇函数，即.又；所以，所以.故答案为：【变式5-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知函数若，则实数a的取值范围是 ．【答案】【解析】因为开口向上的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减；当时，，，,所以.又当时，，，所以.又 ，所以为奇函数，且在R上单调递增，则可得：，即，解得，故答案为：【变式5-3】（2024·高一·全国·课堂例题）函数是奇函数，则满足条件的一组值可以是 ， ．【答案】 1（不唯一）； 0【解析】因为函数是奇函数，所以，得，当时，，满足，为奇函数.故答案为：1（不唯一）； 0【变式5-4】（2024·高一·天津·阶段练习）（1）解关于的不等式：；（2）设定义在上的偶函数在区间上单调递增，若，求实数的取值范围.【解析】（1）原不等式化为：，解得或，当，即时，原不等式的解集为；当，即时，原不等式的解集为；当，即时，原不等式的解集为；综上得：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.（2）因为，是偶函数，所以，又fx在，所以，所以，解得.所以a的取值范围是.【变式5-5】（2024·高一·天津·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)解不等式.【解析】（1））函数是定义在上的奇函数，，解得：，∴，而，解得，∴，.（2）函数在上为减函数；证明如下：任意且，则，因为，所以，，所以，即，所以函数在上为减函数.（3）由题意，不等式可化为，所以，解得，所以该不等式的解集为.经典题型六：函数性质的综合应用【典例6-1】（2024·高一·北京·阶段练习）已知函数.(1)证明：函数是奇函数；(2)用定义证明：函数在上是增函数；(3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称，又由，所以函数为定义域上的奇函数.（2）证明：当时，，任取，且，可得因为，且，可得，，所以，即，所以函数在0,+∞上是增函数.（3）因为函数为定义域上的奇函数，且在0,+∞上是增函数，所以函数在上也是增函数，又因为，所以函数在上是增函数，又由，可得，因为不等式对于任意实数恒成立，即不等式对于任意实数恒成立，可得不等式对于任意实数恒成立，即不等式对于任意实数恒成立，当时，不等式即为恒成立，符合题意；当时，则满足，解得，综上可得，，即实数的取值范围0,1.【典例6-2】（2024·高一·河南南阳·阶段练习）已知函数.(1)若在上单调递减，求的取值范围；(2)设函数在区间上的最小值为，求的表达式；(3)对（2）中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围.【解析】（1）函数开口向上，对称轴为，若在上单调递减，则，即的取值范围为；（2）因为，，当时，在上单调递增，所以；当时，在上单调递减，所以；当时，；所以；（3）当时，则，因为当，时，恒有成立，所以当，恒有成立，令，，则，当，即时，，解得，所以；当，即时，，解得，所以；综上可得.【变式6-1】（2024·高一·浙江嘉兴·阶段练习）若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”.(1)函数①②，哪个函数是在上的“美好函数”，并说明理由；(2)已知函数.①函数是在上的“美好函数”，求的值；②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值.【解析】（1）在上的最大值为3，最小值为2，最大值与最小值的差为1，是在上的“美好函数”；在上递增，最大值为4，最小值是1，最大值与最小值的差为3，不是在上的“美好函数”；（2）①，(i)时，在上递增，时，，时，，所以；(ii)时，在上递减，时，，时，，所以得，综上，；②当时，函数为，(i)当时，函数在上单调递增，，解得；(ii)当即时，函数在上单调递减，，解得；(iii)当时，函数在上递减，在上递增，因此，若，则，由得或，均舍去；若，则，由，得，均舍去，综上，或．【变式6-2】（2024·高一·四川内江·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的且时，有成立.(1)证明：在上单调递增；(2)解不等式：；(3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）取任意，且；由是定义在上的奇函数，可得，又因为对任意的且时，有成立，所以，且；因此可得，即.所以在上单调递增；（2）由于是定义在上的奇函数，将不等式变形可得；由（1）可知函数在上单调递增，所以不等式需满足，解不等式可得；解不等式可得或；解不等式可得或；综合可得；即不等式的解集为（3）由（1）可知，在上的最大值为，因为对所有的恒成立，所以对所有的恒成立，即对所有的恒成立，令，即对所有的恒成立，所以，即，解得或或.所以实数的取值范围为或或【变式6-3】（2024·高一·云南红河·开学考试）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．(1)求函数图象的对称中心；(2)根据第（1）问的结论，求的值．【解析】（1）由题意设函数图象的对称中心为，由于函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．即函数为奇函数，而，由于，即，因为，故，解得，即函数图象的对称中心为；（2）由（1）的结论可知，则，而，故.【变式6-4】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）如果函数满足：对定义域内的所有x，存在常数a，b，都有，那么称是“中心对称函数”，对称中心是点．已知函数的图象经过点．(1)求实数m的值；(2)试探究的值并根据该关系式写出函数的对称中心；(3)设，若函数的图象和函数的图象有且仅有两个交点，且其横坐标分别为，求．【解析】（1）因为函数的图象经过点，所以，解得；（2）由（1）知，所以，所以函数的对称中心为；（3）因为，它是由函数先向右平移1个单位，再向上平移2 个单位得到的，因为关于原点对称，所以关于对称，且对称点不在的图象上，由（2）知函数的对称中心也为，若函数的图象和函数的图象有且仅有两个交点，则两个交点关于对称，所以.【变式6-5】（2024·高一·四川德阳·期末）对称美在日常生活中随处可见，在数学中也非常常见．高一某同学通过自主探究发现：①当时：若恒有，则函数关于直线对称；若恒有，则函数关于点对称；②函数关于直线对称，必为偶函数；若函数关于点对称，则必为奇函数；③三次函数一定有对称中心；四次函数不一定有与轴垂直的对称轴.请您对上诉结论作进一步探究，结合自己的实际，解答以下问题：(1)求三次函数的对称中心；(2)若四次函数有垂直于轴的对称轴，求的值；(3)若，求的值.【解析】（1）法一：，可由奇函数右移1个单位，再上移3个单位得到，故三次函数的对称中心为.法二：令，则，解得：，即，可由奇函数右移1个单位，再上移3个单位得到，故三次函数的对称中心为.（2）若函数关于直线对称，则，所以，解得.（3）令，由（1）知，由奇函数平移得到，其对称中心为，又在R上单调递增，故在R上单调递增，所以，可化为，所以，故.【变式6-6】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期末）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.(1)求函数图象的对称中心；(2)根据第（1）问的结论，求 的值；(3)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.【解析】（1）设的对称中心为点，，则为奇函数，即，，，即，，整理得，，，解得，即，函数图象的对称中心为；（2）由（1）知， ，，且，；（3）推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.经典题型七：幂函数【典例7-1】（2024·高二·湖南·开学考试）已知幂函数在0,+∞上单调递减，则 .【答案】【解析】由题意可得为幂函数，则，解得或.当时，为增函数，不符合题意；当时，在0,+∞单调递减，符合题意.故答案为:.【典例7-2】（2024·高一·天津·期中）若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ．【答案】【解析】因为幂函数在上单调递减，所以，解得，又，所以或，当时，幂函数为，图象关于y轴对称，满足题意；当时，幂函数为，图象不关于y轴对称，舍去，所以，不等式为，因为函数在和上单调递减，所以或或，解得或.故答案为：.【变式7-1】（2024·高一·四川内江·阶段练习）若幂函数过，则满足不等式的实数的取值范围是 .【答案】【解析】设，由题意可得：，解得，即，可知为定义在上的偶函数，且在内单调递减，在内单调递增，若，可得，整理可得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.【变式7-2】（2024·高一·江苏镇江·期中）写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ．①；②对于任意两个不同的正数，都有恒成立；③对于任意两个不同的实数，都有．【答案】（答案不唯一）【解析】当时，对于①，，故满足①；对于②，由对于任意两个不同的正数，都有恒成立，得函数在0,+∞上单调递增，而函数在0,+∞上单调递增，故满足②；对于③，任取，则，因为，所以，即，所以，故满足③.故答案为：（答案不唯一）.【变式7-3】（2024·高一·上海·随堂练习）若，且函数与的图象若有1个交点，则写出一个符合条件的集合 ；若有两个交点，则满足条件的不同集合A有 个．【答案】 （答案不唯一） 4【解析】作出五个函数图象，如图：由图可知：图像与、、、的图象有1个、1个，2个、2个交点；图像与、、的图像有1个、1个，1个交点；图像与、的图像有2个、2个交点；图像与的图像有3个交点.综上可得，函数与的图象若有1个交点，则，，，，；满足函数与的图像恰有两个交点的集合有4个：，，，．故答案为：（答案不唯一）；4.【变式7-4】（2024·高一·上海·随堂练习）幂函数的图像经过点，则该幂函数的定义域为 ．【答案】【解析】设，因为幂函数的图像经过点，所以，即，所以该幂函数的定义域为，故答案为：.【变式7-5】（2024·高一·湖北武汉·期末）若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 .【答案】【解析】因为为幂函数，则，解得，或，当时，，为奇函数，不符合题意；当时，，为偶函数，符合题意，且在上单调递减，在上单调递增，若，则，解得或，即不等式的解集为.故答案为：.【变式7-6】（2024·高一·广东梅州·期末）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是 .【答案】【解析】由幂函数的图象过点得，解得，则，定义域为.由可得为偶函数，又幂函数的单调性可知，函数在上单调递减.于是等价于，解得或.所以的取值范围是.故答案为：.【变式7-7】（2024·高一·四川南充·期末）若，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】考虑函数.因为函数的单调递减区间为和.所以不等式等价于或者或者，解得：或.所以实数的取值范围为：.故答案为：经典题型八：函数的实际应用【典例8-1】（2024·高一·河南新乡·阶段练习）某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06.(1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式；(2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值.【解析】（1）由题意，，因为时，，所以，所以，.（2）因为，所以，所以，当且仅当，即时取“”，所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为.【典例8-2】（2024·高一·湖北·阶段练习）学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元．(1)写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【解析】（1）因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元，所以，解得，当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元，所以，解得，当时，，当时，，综上．（2）①当时，单调递增，所以；②当时，，由于，当且仅当，即时取等号，所以此时的最大值为，综合①②知，当时，取得最大值为3680万元．【变式8-1】（2024·高一·贵州·阶段练习）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）年产量（吨）之间的函数关系可近似的表示为已知此工厂的年产量最小为吨，最大为吨．(1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本；(2)若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润．【解析】（1）由题意可得，， 因为，当且仅当时，即时等号成立，符合题意.所以当年产量为吨时，平均成本最低为万元．（2）设利润为，则，又， 当时，．所以当年产量为吨时，最大利润为万元．【变式8-2】（2024·高一·辽宁·开学考试）如图，在矩形中，，.动点P，Q从A同时出发，且速度均为，点P，Q分别沿折线，向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为.(1)当点P与点B重合时，x的值为______.(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围.(3)当PQ长度不变时，直接写出x的取值范围及PQ的长度.【解析】（1）当点P与点B重合时，，且点P速度为，所以点P的运动时间.（2）分类讨论：当时，如图，所以，所以；当时，如图，∴，的高即为长，∴；当时，如图，所以，，，∴.综上可知：.（3）由题意可知当点在上运动或点在上运动时长度一定发生变化，所以讨论 即可，此时点在上运动，点在上运动，如图，过点作于.所以，，，所以，，所以当长度不变时，，且.【变式8-3】（2024·高一·上海·阶段练习）如图，正方形的边长为2，E为边上的一点，．F为线段上的一点，，垂足为G，，垂足为H．  (1)设，求：矩形的面积关于x的函数解析式及其定义域.(2)求：矩形的面积的最大值．【解析】（1）如图，作，交于，交于，因为，，所以，，由得到，所以，所以，故，解得，所以，（2）设，由二次函数性质得当时，在上单调递增，在上单调递减，所以当时，，当时，在上单调递减，当时，，综上当时，，当时，.【变式8-4】（2024·高一·上海·期中）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150％”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，求该公司最大月利润．【解析】由题意知，且.每件产品售价定为，设该公司的月利润为y万元， 则，当且仅当时，即时取等号，答：该公司最大月利润为37.5万元．模块三：数学思想方法①分类讨论思想【典例9-1】设函数，用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（    ）A．1 B．3 C．0 D．【答案】A 【解析】令，解得或，则，当或时，，当时，函数没有最小值，综上：函数的最小值为1，故选：【典例9-2】已知幂函数满足，则函数的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】A 【解析】由幂函数的概念可知，，所以，解得或，当时，，则，不满足题意，当时，，则，满足题意，则，其定义域为令，则，所以，，所以当时，取得最小值，故函数的值域为故选【变式9-1】若定义在R的奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C 【解析】定义在R的奇函数在单调递增，且，所以在上也是单调递增，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或，解得或或，所以满足的x的取值范围是故选：【变式9-2】已知函数的最小值为，则a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A 【解析】当时，，当且仅当时取等号，故此时的最小值为，当时，，对称轴为，当时，在单调递减，此时最小值为，要使的最小值为，则，当时，在单调递减，在单调递增，此时最小值为，不满足的最小值为综上可得故选【变式9-3】已知函数，当时，的最大值为，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B 【解析】因为函数，对称轴，当，即时，在递增，故，，即时，的最大值是或，令，解得：，故时，，时，，，，故，故时，最小，最小值是，故选②转化与化归思想【典例10-1】定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C 【解析】因为定义在R上的奇函数在上单调递减，所以在上也是单调递减，所以函数在上单调递减，，于是等价于，，故选【典例10-2】已知函数，若，且，设，则t的最大值为（    ）A．  1 B． C． D．【答案】C 【解析】函数，若，且，令，解得或，即有，，可得，可得，则，，对称轴为，当时，t取最大值故选【变式10-1】若定义在R的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D 【解析】由已知画出的大致图象，如下图，当时，，所以或，解得；当时，结论成立；当时，，所以或，解得综上x的取值范围是故选【变式10-2】设，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B 【解析】，，，函数在单调递增，，故选B【变式10-3】已知函数在区间上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是   A． B．C． D．【答案】C 【解析】函数在区间上既没有最大值也没有最小值，根据二次函数的性质可知，函数在区间上是单调函数，又函数的对称轴为，或，或故选：【变式10-4】函数的单调递增区间是（    ）A． B． C． D．【答案】D 【解析】设，则，由，解得，由于在递增，在递减，又在递增，可得的单调递增区间为故选：③ 数形结合思想【典例11-1】已知函数为奇函数，时为增函数且，则（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A 【解析】由于函数为奇函数，时为增函数且，可得函数在上单调递增，且，故函数的单调性示意图如图所示，由函数的图象可知，，即，或，解得或故或故本题选【典例11-2】已知定义在R上的偶函数满足：①对任意的，且，都有成立；②则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】A 【解析】由题意得，偶函数在上单调递增，在上单调递减，且，作出函数的大致图像如下：不等式等价于或，数形结合可知不等式的解集为：故选：A【变式11-1】已知函数的值域是，则实数m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C 【解析】二次函数的图象是开口向下的抛物线，当时，函数取得最大值为4，而当或时，由于函数的值域是，结合函数图象可知m的取值范围是故选【变式11-2】奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是．（    ）A． B．C． D．【答案】A 【解析】因为奇函数在上单调递减，根据奇函数的性质，得到在上仍是减函数，由，可画出函数在上的大致图象，根据对称性可画出在上的大致图象．如下图， 根据图象得到的解集是：故选【变式11-3】如图，直线l和圆C，当l从开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到转到角不超过时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是（    ）A． B．C． D．【答案】D 【解析】观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求．故选：【变式11-4】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，函数的图像如图所示，则不等式的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】A 【解析】当时，由得，由函数图像可知，；由函数是定义在上的奇函数，所以当时，，此时也满足，综上，不等式的解集为故选