2024-2025学年人教A版2019高一数学同步精品试题第四章指数函数与对数函数单元综合测试卷（Word版附解析）

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第四章 指数函数与对数函数 单元综合测试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知则等于（    ）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】根据题意，得，所以.故选：.2．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，，又函数在上单调递增，所以，所以函数在12,1存在零点.故选：B.3．（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故选：C.4．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩，已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花爆裂的高度是（   ）A．56.6米 B．57.6米C．58.6米 D．59.6米【答案】B【解析】依题意，，当且仅当时取等号，所以烟花爆裂的高度是57.6米.故选：B5．已知，若，则（   ）A．-2 B． C． D．【答案】B【解析】由题可得：，即，所以，解得：.所以.故选：B.6．若关于的方程，有一个正实数根和一个负实数根，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，，设关于的方程有一个正实数根和一个负实数根，故有两个根，其中，，令，则，解得，故实数的取值范围是.故选：A7．若二次函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．或【答案】A【解析】由题意可得方程在上存在一个根，，由函数，则其对称轴为直线，当时，，可得，解得；当时，，可得，显然无解.综上所述，.故选：A.8．已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ）A． B．C． D．或【答案】A【解析】令，则，令；当时，因为，所以，且在定义域上单调递减，要使在上单调递增，则在上单调递减，则，解得；当时，因为，所以，且在定义域上单调递增，要使在上单调递增，则在上单调递增，则，；综上可得.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列各式正确的是（   ）A．设，则B．已知，则C．若D．，则【答案】BD【解析】对于A，因为，所以，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，由，两边平方得，两边再平方可得，故C错误；对于D，，故D正确.故选：BD.10．已知函数，则下列结论正确的是（    ）A．函数的定义域为B．函数的值域为C．D．函数为减函数【答案】ABC【解析】对于A，因为，所以恒成立，则函数的定义域为，故A正确；对于B，，由，得，则，所以，则，所以函数的值域为，故B正确；对于C，函数定义域为，且，所以，故C正确；对于D，由B知，，函数是增函数，且，所以函数是减函数，则函数是增函数，故是增函数，故D错误．故选：ABC.11．定义域和值域均为-a,a的函数y=fx和y=gx的图象如图所示，其中，则（    ）A．方程有且仅有3个解 B．方程有且仅有3个解C．方程有且仅有5个解 D．方程有且仅有1个解【答案】ABD【解析】对于选项A：由数形结合可知：令, 或或;令,,因为，所以，由数形结合可知：,都有一个根，故方程有且仅有3个解，故选项A正确;对于选项B：由数形结合可知：令gx=0, ;令，因为，由数形结合可知：都有3个根，方程有且仅有3个解，故选项B正确;对于选项C: 由数形结合可知：令, 或或;令,,由题可知：，，由数形结合可知，,各有三解，故方程有且仅有9个解,故选项C错误；对于选项D：由数形结合可知：令gx=0, ;令，因为，所以只有1解，故方程有且仅有1个解,故选项D正确.故选：ABD.第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．函数的图像恒过定点 .【答案】【解析】由函数解析式可得当且仅当时，函数值与无关且为，故函数图象恒过定点，故答案为：13．甲、 乙两人同时解关于的方程：.甲写错了常数，得两根为及；乙写错了常数，得两根及，则这个方程的真正的根为 【答案】或【解析】原方程可变形为：甲写错了，得到根为及，；又乙写错了常数，得到根为及，；原方程为，即，或，或.故答案为：或.14．函数，定义使为整数的数叫做“企盼数”，则在区间上这样的“企盼数”共有 个．【答案】9【解析】令，利用对数的换底公式可得,得到．要使成为“企盼数”，则，．由于，即，因为，，，可取．因此在区间上这样的“企盼数”共有9个．故答案为：9四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）计算:(1)(2)(3).【解析】（1）；（2）；（3）.16．（15分）某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示：其函数解析式为，其中，，，均为常数，且.(1)求出关于的函数解析式；(2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，计算+-的值.【解析】（1）由表中数据知，时间每增加1个月，浮萍的面积增加量逐渐变大，，当依次取1，2，3得，解得，即；（2）由（1）知，，则有，理出如下：依题意，得，，，即，，，于是，则，所以，则+-=117．（15分）已知函数，记集合为的定义域．(1)求集合；(2)判断函数的奇偶性；(3)当时，求函数的值域．【解析】（1）由真数大于0可知，，.（2）可知定义域关于原点对称，，故为奇函数．（3）令，对称轴，在上，，又在上递减，故的值域是：．18．（17分）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，(1)求的表达式；(2)若函数的图象与直线有四个不同的交点，求实数的取值范围；(3)在（2）的条件下，设四个交点的横坐标分别为，，，，若恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）时，，，为奇函数，则，所以；（2）作出的大致图象，如图，要满足题意，则，解得，所以实数的取值范围是；（3）由得，，同理，因为，所以，所以，恒成立，则．19．（17分）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”．若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”(1)已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”，并说明理由；(2)若幂函数使得在上是“伪奇函数”，是“伪偶函数”，求实数m的取值范围；(3)若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求m的取值集合．【解析】（1）因为，其定义域为，则，，因为恒成立，从而，故在函数定义域内不存在使得，即不存在使得f-x=-fx，所以不是“伪奇函数”．若，则，则，且，解得，故在函数定义域内不存在非零实数满足，所以不是“伪偶函数”．（2）因是幂函数，则，所以，，所以，，因为在上是“伪奇函数”，所以在上存在非零实数解，所以在上存在非零实数解，则，且，令，则，且，令，且，，当且时，，则，当且时，，则，可得函数在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以，当且时，，即，故，因为是“伪偶函数”，所以存在非零实数解，即存在非零实数解，显然，综上，实数的取值范围为．（3）由定义可得，在上存在非零实数解，则在上存在非零实数解，即在上存在非零实数解，所以(在上存在非零实数解，令，∵，当且仅当，即时取等号，又，∴，则方程在上有实数解，令，对称轴为，当时，则，所以，故；当时，则，即，故，综上，，又为整数，则，所以的取值集合为．时间月123浮萍的面积359