2024-2025学年人教A版2019高一数学同步精品试题第四章指数函数与对数函数章末题型归纳总结（Word版附解析）

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第四章 指数函数与对数函数 章末题型归纳总结 目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：指数、对数的运算经典题型二：指数函数的图象及其应用经典题型三：对数函数的图象及其应用经典题型四：指数函数的性质及其应用经典题型五：对数函数的性质及其应用经典题型六：指对幂比较大小经典题型七：函数的零点与方程的根模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：指数、对数的运算【典例1-1】（2024·高一·浙江宁波·期中）计算：(1)；(2)．【解析】（1）原式；（2）原式.【典例1-2】（2024·高一·江苏扬州·期中）求值：(1)；(2).【解析】（1）；（2）.【变式1-1】（2024·高一·上海闵行·期中）（1）已知，求的值；（2）已知，，用表示.【解析】（1）由题设有可得，故.（2）因为，故，故.【变式1-2】（2024·高一·云南昆明·期中）计算下列各式：(1)；(2).【解析】（1）原式；（2）原式.【变式1-3】（2024·高一·浙江杭州·期中）求下列各式的值：(1)；(2)已知，求．【解析】（1）.（2），因为，所以，所以..【变式1-4】（2024·高一·广东广州·期中）计算:(1)(2)(3).【解析】（1）；（2）；（3）.经典题型二：指数函数的图象及其应用【典例2-1】（2024·高一·上海·期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ）A．   B．   C．   D．  【答案】C【解析】A选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，A选项错误；B选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，B选项错误；C选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，C选项正确；D选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，D选项错误；故选：C.【典例2-2】（2024·高一·上海·课堂例题）若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（　　）A．且 B．且C．且 D．且【答案】D【解析】由指数函数图像的特征可知当时，函数（且）的图像必经过第二象限，故排除选项B、C．又函数（且）的图像不经过第二象限，则其图像与轴的交点不在轴上方，所以当时，，即，故选：D．【变式2-1】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）已知定义在R上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】函数的图象有对称轴，定义在R上的偶函数满足，则函数有对称轴，又当时，，在同一坐标系在内作出与的图象，由图象可得，与的图象有4个交点，又与的图象均有对称轴，则两函数所有交点的横坐标之和为4.故选：B【变式2-2】（2024·高一·广西柳州·期中）要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的图象与轴的交点坐标为，且为减函数，要使图象不经过第一象限，则，解得.故选：B.【变式2-3】（2024·高一·贵州黔西·期中）已知函数，且的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】，,则设，则，解得，则，故选：A.【变式2-4】（2024·高一·江苏无锡·期中）函数的部分图象大致为（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】定义域为，且，则原函数为奇函数.排除B.再取特殊值，且为正数.排除D.当时，，越大函数值越接近1，排除C.故选：A.经典题型三：对数函数的图象及其应用【典例3-1】（2024·高三·广西贵港·开学考试）已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】当时，函数单调递增，图象经过第一象限，不合题意；当时，函数单调递减，图象不经过第一象限，合题意；显然此时，则函数为单调递增，又恒过点，因此函数的图象不过第四象限.故选：D【典例3-2】（2024·高一·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，是单调递增函数，图象恒过0,1点，是单调递减函数，图象恒过12,0点；当时，是单调递减函数，图象恒过0,1点，是单调递增函数，图象恒过12,0点；所以满足条件的图象为D.故选：D.【变式3-1】（2024·高一·山东威海·期末）已知函数，若，且 ，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题可得：，作出的图像如下：由，且，则，，即，解得：， 所以由，则，所以，故当，即时，取最小值为.故选：B【变式3-2】（2024·高一·河北沧州·阶段练习）已知，是方程的两个不等实根，则的最小值是（    ）A．2 B． C． D．3【答案】B【解析】由题意知，其中，，则，所以，当且仅当，即，时取等号，故B正确.故选：B.【变式3-3】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数，直线与这三个函数图象的交点的横坐标分别为，则的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，根据对数函数的图象与性质，可知当底数大于1时，在x轴上方，底数越大，函数图象越靠近x轴，作出的大致图象，如图所示，可知直线与的图象交点的横坐标的大小关系是：，故选：B．【变式3-4】（2024·高三·山东潍坊·期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由图象可得，指数函数为减函数，对数函数为增函数，所以，即.故选：B【变式3-5】（2024·高三·河南·阶段练习）已知函数，若，且a，b是的图象与直线的两个交点对应的横坐标，则的最小值为（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】根据题意画出图象如下图所示：易知，又，可知，所以，即，∴，所以，当且仅当时，等号成立，即的最小值为4.故选：经典题型四：指数函数的性质及其应用【典例4-1】（2024·高一·天津津南·期中）已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若函数，求在[1,3]的最小值；(3)若使得不等式成立，求实数的取值范围．【解析】（1）因为，且函数在上为减函数，所以不等式的解集为；（2）因为，所以，则，当且仅当，则，即时取等号，取得最小值为1．（3）因为，所以，令，∴，所以当时，．因为，则只需，所以，解得或．【典例4-2】（2024·高一·天津·期中）已知指数函数且的图像经过点(1)求函数的单调递减区间；(2)求函数，,的值域.【解析】（1）函数且的图像经过点，，得，（舍，，，在上单调递减，在区间,上单调递减，在区间,上单调递增，根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调递减区间是,．（2），令，,，则，则，所以在上单调递减，故当时，，当时，，故当,时，的值域为．【变式4-1】（2024·高一·宁夏银川·期中）给定函数.，用表示fx,gx中的较大者，记为.(1)求的值；(2)分别用图象法和解析法表示函数；(3)根据图象写出函数的单调递减区间及最值.【解析】（1）因为，所以，所以.（2）图象法：先在同一平面直角坐标系中作出fx,gx的图象，如下图所示，由图象可知：当时，的图象不低于的图象，故的图象取的图象，当时，的图象高于的图象，故的图象取的图象；结合定义可知的图象如下图所示，解析法：当时，，，当时，，所以，当时，，所以所以.（3）由（2）中图象可知，的单调递减区间为，的最小值为，无最大值.【变式4-2】（2024·高一·湖南·期中）已知函数.(1)当时，求在区间上的最小值；(2)若，总存在，使得，求实数的取值范围.【解析】（1），令，，所以，在单调递增，所以，所以在区间上的最小值为；（2）由题意得在的值域包含于在的值域，由二次函数的性质得的值域为，当时，符合题意，当时，，可知函数单调递增，所以，所以，所以，当时，为对勾函数，，所以，，此时，所以，又，可知无解；综上，.【变式4-3】（2024·高一·浙江宁波·期中）已知双曲函数，.(1)证明：(2)判断函数的单调性（不用证明），并解关于x的不等式.(3)若，不等式成立，求实数的取值范围.【解析】（1）双曲函数，,则.（2）函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，不等式，则，即，解得，所以原不等式的解集为.（3）不等式，当时，，则，依题意，，恒成立，令，，，函数在上单调递增，则当时，，因此，即当时，取得最大值，则，所以实数的取值范围是.【变式4-4】（2024·高一·福建厦门·期中）已知函数为奇函数.（为常数，）(1)求的值及函数的值域；(2)用函数单调性的定义证明函数在R上是增函数；(3)求不等式的解集.【解析】（1）函数是奇函数，其定义域为，则，解得，于是，，函数为奇函数，所以；由，得，因此，所以函数的值域为.（2）任取，且，则，由，得，则，，，于是，即，所以函数在上是增函数.（3）函数是上的奇函数，且在上是增函数，则，于是，整理得，解得，即，解得，所以原不等式的解集为.经典题型五：对数函数的性质及其应用【典例5-1】（2024·高一·浙江宁波·期中）已知函数，，过定点．(1)若，求函数的定义域；(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围．【解析】（1）因为过定点，所以，解得，所以，所以，则，解得，所以的定义域为.（2）因为，所以不等式在上恒成立，即在上恒成立，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立且恒成立，则且在上恒成立，因为，且，均在上单调递增，所以在上单调递增，所以当时取得最小值，所以，解得，即的取值范围.【典例5-2】（2024·高一·吉林延边·期中）已知函数.(1)求函数的定义域；(2)判断奇偶性，并加以证明；(3)若，求实数的取值范围.【解析】（1）由题意得：且，解得，所以函数定义域为；（2）因为的定义域为，关于原点对称，又，所以为偶函数；（3），则