2024-2025学年人教A版2019高一数学同步精品试题第五章三角函数单元综合测试卷（Word版附解析）

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第五章 三角函数 单元综合测试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．与30°角终边相同的角的集合是（   ）A． B．C． D．【答案】C【解析】与30°角终边相同的角的集合是.故选：C2．函数的最小正周期是（   ）A． B． C．4 D．6【答案】C【解析】因为，所以函数的最小正周期．故选：C3．若，，则等于（    ）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】.故选：A4．扇形的周长为3，当扇形的圆心角是（    ），扇形的面积最大A．2 B．3 C． D．【答案】A【解析】设扇形半径为r，圆心角为，则扇形周长为.则扇形面积为，当且仅当，即，时取等号.故选：A5．若，，并且，均为锐角，且，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，并且，均为锐角，且，则有，，得，，则，又因为，所以.故选：C6．函数与的图象的交点个数为（   ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】画出图象，，，可得与的图象的交点个数为3．故选：C．7．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与能构成“和谐”函数的是（   ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可知，所求函数与函数的振幅、最小正周期均相等，由题意可知，函数的振幅为，最小正周期为，对于A选项，函数的振幅为，最小正周期为，A不满足要求；对于B选项，函数的振幅为，最小正周期为，B不满足要求；对于C选项，函数的振幅为，最小正周期为，C不满足要求；对于D选项，函数的振幅为，最小正周期为，D满足要求.故选：D.8．已知函数的图象与轴的交点坐标为，与直线的三个相邻交点的横坐标依次为，，，且，．当时，，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意知，所以．又，所以．由已知得图象相邻的两条对称轴分别为直线，，所以函数的最小正周期，所以，所以．当时，，．由，得，所以，所以，解得.故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如果角与角的终边重合，角与角的终边重合，那么的可能值为（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】由条件知，，将以上两式相减消去，得，当时，；当时，；当时，，故选：ACD.10．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（    ）A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称C．在上单调递增 D．当时，的最小值为【答案】AD【解析】依题意，将函数的图象向左平移个单位长度，即得的图象.对于A，由,可知A正确；对于B，因，故的图象关于直线不对称，即B错误；对于C，当时，，此时，函数先增后减，故C错误；对于D，当时，，因时，函数单调递增，当时，函数单调递减，且时，即时，；时，即时，，故的最小值为，故D正确.故选：AD.11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．当时，在上单调递增B．若，且，则函数的最小正周期为C．若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则的最小值为3D．若在上恰有4个零点，则的取值范围为【答案】ABD【解析】对于A，当时，若，则，所以由复合函数单调性可知在上单调递增；对于B，若，且，则当且仅当，故B正确；对于C，若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象所对应的函数表达式为：，若的图象关于y轴对称，则，注意到，所以当且仅当时，的最小值为4，故C错误；对于D，，若在上恰有4个零点，则当且仅当，即的取值范围为.故选：ABD.第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知α角的终边过点 ，则 .【答案】 1【解析】因为α角的终边过点，所以；.故答案为：；1.13．函数在上的单调递减区间是 ．【答案】，【解析】当时，.注意到在上递减，又，，则在上的单调递减区间是：，.故答案为：，14．如图，OPQ是以O为圆心，半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，AB在线段OP上，ABCD是扇形的内接矩形，则的最大值为 .【答案】【解析】设，，则，故，则，则，则，因为，所以，故当，即时，取得最大值，最大值为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知(1)求的值；(2)求的值.【解析】（1）因为所以.（2）由（1）可知：，所以.16．（15分）设.(1)化简fx；(2)求fx的周期和单调增区间.(3)在的范围内，求的值域；(4)若，，求fx的值.【解析】（1）.由于分母不能为零，故，即，从而.所以.（2）由于，故fx的最小正周期是，从而全部的周期是.同时根据正弦函数的性质可知，fx的单调增区间就是和，这里.（3）fx是在正弦函数的基础上去掉取值为或的点.而当时，的取值范围是，所以fx的取值范围是.从而的值域就是.（4）由条件知，而，故，所以，这就意味着.所以.17．（15分）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度（米）随着时间（，单位：小时）呈周期性变化，每天各时刻的浪高数据的平均值如表：(1)从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间.【解析】（1）由数据知，数据不具有线性关系，且最小值为0.6，最大值为1.4，因此选择较合适.令，，，则，解得，，又，则，此时，将代入得，，即，又，则，故所求拟合模型的解析式为.（2）由，得，则，即，注意到，所以或或，再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当.18．（17分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)求出实数，，和函数的解析式；(2)将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.已知图象的一个对称中心为，求的最小值；(3)在（2）的条件下，当取最小值时，若对，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围.【解析】（1）由题意得，所以，所以，故，根据表中已知数据，，所以，，所以，.（2）的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得的图象，则，得，所以当时，此时最小值为.（3）当取最小值时，，当时，，此时，恰有两个实数根，所以与的图象有两个交点，结合图象可知，即，.19．（17分）已知函数的定义域为，且，．(1)若，求A与；(2)证明：函数是偶函数；(3)证明函数是周期函数；(4)若的周期为T，在上是减函数，记的正的零点从小到大依次为，，，，证明在区间上有4048个零点，且．【解析】（1）因为，      ①令，可得，，    因为，所以，由，得．        由，得，解得．因为，所以，    所以，则    ，所以．        解法二：因为，所以．        ．因为，所以，解得，或．当时，f1=0，与已知矛盾，所以， 由，且，得  所以．（2）由（1）得，，    ①中，令可得，，即，所以函数为偶函数；（3）令得，，    即有，从而可知，，    故，即．        所以函数是一个周期为的周期函数．（4）由（1）得，，在中，令，可得，因为，所以，所以，又因为在上是减函数，所以在上有且仅有一个零点．中，令，得．所以在区间上有且仅有一个零点．    又因为是偶函数，所以在上有且仅有一个零点，即在一个周期内有且仅有2个零点．，所以在内的零点为和．        ，，．因此，对任意，在上有且仅有两个零点：，．    在上有4048个零点：，，，，，，，其中，．t/时03691215182124y/米1.01.41.00.61.01.40.90.61.000300