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2024-2025学年人教A版2019高一数学同步精品试题第五章三角函数章末题型归纳总结(Word版附解析)
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第五章 三角函数 章末题型归纳总结 模块一:本章知识思维导图模块二:典型例题经典题型一:三角函数式的化简、求值经典题型二:三角函数的图象与性质经典题型三:三角恒等变换经典题型四:伸缩变换经典题型五:三角函数的应用问题经典题型六:三角函数的综合问题模块三:数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想模块一:本章知识思维导图模块二:典型例题经典题型一:三角函数式的化简、求值【典例1-1】(2024·高一·江苏扬州·阶段练习),且是第二象限角.(1)求的值;(2)求的值.【解析】(1)∵α是第二象限角,∴,而,∴;(2)∵,∴.【典例1-2】(2024·高一·山东淄博·期末)已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边经过点.(1)求;(2)求的值.【解析】(1)因为角的终边经过点,由三角函数的定义知,,(2)由诱导公式,得.【变式1-1】(2024·高一·江西萍乡·期中)在①,②两个条件中任选一个补充到下面的问题中,并解答.已知角,且________.(1)求的值;(2)求的值.【解析】(1)若选①,因为,所以,则,解得:或,因为角,所以;若选②,因为,角,所以,所以;(2)由(1)可知,,所以【变式1-2】(2024·高一·新疆阿克苏·阶段练习)化简:(1);(2);【解析】(1),,则原式;(2)原式.【变式1-3】(2024·高一·江苏徐州·阶段练习)计算求值.(1)(2)若,且,求下列式子.(i) (ii).【解析】(1)由于,所以.(2)(i)由,,得,,所以.(ii).【变式1-4】(2024·高一·上海·课后作业)已知角的终边经过点.(1)求的值;(2)求的值.【解析】(1)依题意,,则,,,所以原式.(2)由(1)知,,所以原式.经典题型二:三角函数的图象与性质【典例2-1】(2024·高一·河南漯河·阶段练习)若关于x的程恰有三个解,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】设,由已知有3个零点,且为其零点,因为,,所以,所以函数的图象关于点对称,又,因为有3个零点,且为其零点,,所以,且,所以.故选:D.【典例2-2】(多选题)(2024·高二·湖南·阶段练习)函数的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )A. B.C.是曲线的一条对称轴 D.在区间上单调递增【答案】AD【解析】对于A,因为,所以由图象知,,所以,A选项正确;由图象知,又因为,所以即,因为,所以,B错误;对于C,当时,,则不是的对称轴,故C错误;对于D,的单调增区间满足:,,即单调增区间为,,当时,增区间为,所以在区间上单调递增,故D正确.故选:AD.【变式2-1】(多选题)(2024·高一·湖南·期中)已知函数的部分图象如图所示,则( )A. B.在上单调递增C. D.点是图象的一个对称中心【答案】ABD【解析】由图象知:,函数的最小正周期为,,则,故A正确,即,又,得,由,可知,故C错误,从而,,点是图象的一个对称中心,故D正确,,,故在上单调递增,故B正确;故选:ABD.【变式2-2】(多选题)(2024·高一·全国·课后作业)已知函数的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A.函数的最小正周期为 B.直线是图象的一条对称轴C.点是图象的一个对称中心 D.点是图象的一个对称中心【答案】AC【解析】设的最小正周期为,由题中图象可知,解得,故A正确.因为,所以,解得.由题图可知,故.将点的坐标代入解析式化简得,因为,所以,解得,故.当时,,则点是函数图象的对称中心,则直线不是图象的对称轴,故B错误.当时,,则点是函数图象的对称中心,故C正确.当时,,则点不是函数图象的对称中心,故D错误.故选:AC.【变式2-3】(多选题)(2024·高一·江苏盐城·开学考试)函数在上单调递增,下列命题正确的是( )A.在区间上单调递减B.的图象有一个对称中心为C.是图象的一条对称轴D.在上的值域为【答案】ABD【解析】由,得,而在,则,解得,由,解得,则,,又,因此,,对于A,当时,,而在上单调递减,因此在区间上单调递减,A正确;对于B,,则的图象的一个对称中心为,B正确;对于C,,则不是图象的对称轴,C错误;对于D,当时,,,因此,D正确.故选:ABD【变式2-4】(多选题)(2024·高一·江苏南京·阶段练习)已知,则下列说法正确的是( )A.图像对称中心为B.的最小正周期为C.的单调递增区间为D.若,则【答案】BD【解析】对于A,令,则,A错误;对于B,的最小正周期为,B正确;对于C,根据正切函数性质可知,只有递增区间,则只有递减区间,C错误;对于D,由题意可知,所以解得,所以,D正确.故选:BD.【变式2-5】(2024·高三·重庆·阶段练习)已知函数的最小正周期为,则在的最小值为( )A. B. C.0 D.【答案】C【解析】因为的最小正周期为所以的最小正周期,即得,所以,,所以,当时,取的最小值0,所以在上的最小值为.故选:C.【变式2-6】(2024·高一·河北衡水·期中)设函数在上有且只有4个零点,则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】,又因为在上有且仅有4个零点,,解得故选:B.【变式2-7】(2024·高一·陕西延安·期中)函数(,,)的部分图象如图所示,则的值为( ).A. B. C. D.【答案】A【解析】由图得,,,,得,所以,,则,得,由得,,则,所以,.故选:A.经典题型三:三角恒等变换【典例3-1】(2024·高一·全国·课后作业)已知 ,且,则 .【答案】/【解析】因为,则,则,因为,所以,则,所以,则.故答案为:.【典例3-2】(2024·高一·福建福州·阶段练习)已知,,则 .【答案】【解析】因为,则,,则.则,,联立方程组解得,.由诱导公式知道,.故答案为:.【变式3-1】(2024·高一·浙江杭州·期末)已知是第三象限角,则 .【答案】/【解析】因为,且为第三象限角,所以,所以.故答案为:【变式3-2】(2024·高一·甘肃白银·期中)化简: .【答案】【解析】原式,故答案为:.【变式3-3】(2024·高一·湖南邵阳·开学考试)计算 .【答案】2【解析】分母,分子,所以原式.故答案为:2.【变式3-4】(2024·高一·浙江衢州·期末)当,则函数的最小值为 .【答案】2【解析】由可得令因为,所以,所以,所以当时,取得最小值2故答案为:2【变式3-5】(2024·高一·江苏常州·阶段练习)定义,设函数,若函数在上单调递减,则实数的取值范围是 .【答案】【解析】令,则,故的周期为,又当时,,的减区间为,,其中,当,则,故存在,使得或,故或(无解,舍),而,故,故,故实数的取值范围是.故答案为:【变式3-6】(2024·高一·上海徐汇·期中)函数的最大值与最小值之和为 .【答案】/【解析】函数的定义域为R,,则,即,解得,于是,所以函数的最大值与最小值之和为.故答案为:经典题型四:伸缩变换【典例4-1】(2024·河南·模拟预测)函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到,若函数的图象关于原点对称,则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知,,因为函数关于原点对称,所以,则,,得,且,所以.故选:D【典例4-2】(2024·高一·河南郑州·期末)已知函数的部分图象如图所示,为了得到的图象,可将的图象( )A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】C【解析】由题意可得,所以,,又因为,所以,所以,又因为,所以,所以,所以只需将的图象向左平移个单位,即可得的解析式.故选:C.【变式4-1】(2024·高一·全国·课后作业)将函数的图象向左平移个单位长度后,所得图象经过点,则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】将函数的图象向左平移个单位长度后,得到函数的图象,由所得图象经过点,可得,则,,则,,又,所以的最小值为.故选:C.【变式4-2】(2024·高一·广东深圳·期末)要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有的点( )A.先向右平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)B.先向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)C.先向右平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)D.先向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)【答案】A【解析】,将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到,故选:.【变式4-3】(2024·宁夏银川·二模)将函数的图像向左平移个单位长度,得到函数的图像,则下列结论正确的是( )A.函数的最小正周期为 B.函数的图像关于直线对称C.函数的图像关于点对称 D.函数在区间上单调递增【答案】D【解析】,向左平移个单位得到:,则最小正周期,A错误;,易知不是函数的对称轴,B错误;,易知点不是函数的对称中心,C错误;时,,由正弦函数在上单增,易知在上单增,D正确.故选:D【变式4-4】(2024·高三·安徽·阶段练习)要得到函数的图象,只需将函数的图象( )A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位【答案】B【解析】,故只需向左平移个单位就可得到.故选:B【变式4-5】(2024·高一·上海静安·期末)对于函数,下列命题:①函数对任意都有.②函数图像关于点对称.③函数图像可看作是把的图像向右平移个单位而得到.④函数图像可看作是把的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到.其中正确命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】对①,因为,,所以为函数的对称轴,即对任意都有,故①正确.对②,,所以为函数的对称中心,故②正确;对③,的图像向右平移个单位得到,故③错误;对④,的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到,故④正确.故选:C经典题型五:三角函数的应用问题【典例5-1】(2024·高一·四川成都·阶段练习)如图1,在扇形 中,半径 ,圆心角, 是扇形弧上的动点,矩形 内接于扇形.记,(1)当角 取何值时,矩形 的面积最大?并求出这个最大面积.(2)已知条件不变,连接 , (如图2),求四边形 面积的最大值.(3)若过点 , 的扇形的切线与过点 的切线分别交于点 , (如图3),求五边形面积的最小值 .【解析】(1)在 中, , .在 中, .所以 , .设矩形 的面积为 ,则 .由 ,得 ,所以当 ,即 时,取最大值,最大值为.因此,当 时,矩形 的面积最大,最大面积为 .(2)由已知 , .过点 作 , ,垂足分别为点 , .则 , ,所以四边形 的面积 .由 ,得 ,所以当 ,即 时,四边形 的面积 .(3)连接 , ,设 ,由已知, ,所以,同理可得,则 , .所以 , ,所以五边形 的面积,所以令,则 ,所以 ,当且仅当 ,即 , 时,等号成立.即当 , 时, .【典例5-2】(2024·高一·全国·课前预习)某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中,时间t(单位:s)与位移y(单位:mm)之间的对应数据如下表所示.试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式.【解析】振子的振动具有循环往复的特点,由振子振动的物理学原理可知,其位移y随时间t的变化规律可以用函数来刻画.根据已知数据作出散点图,如图所示.由数据表和散点图可知,振子振动时位移的最大值为20mm,因此;振子振动的周期为,即,解得;再由初始状态()振子的位移为,可得,解得.所以振子的位移关于时间的函数解析式为,.【变式5-1】(2024·高一·福建泉州·期中)为了便于市民运动,市政府准备对道路旁边部分区域进行改造.如图,在道路的一侧修建一条新步道,新步道的前一部分为曲线段,该曲线段是函数时的图象,且图象的最高点为,新步道的中部分为长1千米的直线跑道,且,新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧.(1)求的值和的大小;(2)若计划在圆弧步道所对应的扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站,并要求矩形的一边紧靠道路上,一个顶点Q在半径上,另外一个顶点P在圆弧上,且,求矩形面积最大时应取何值,并求出最大面积?【解析】(1)由题意可得:,即,且,则,所以曲线段的解析式为.当时,,又因为,则,可知锐角,所以.(2)由(1)可知,,且,则,可得,则矩形的面积为,又因为,则,可知当,即时,,所以矩形取得最大值.【变式5-2】(2024·高一·河南南阳·阶段练习)如图,四边形ABCD是一块边长为100cm的正方形铁皮,其中扇形AMPN的半径为90cm,已经被腐蚀不能使用,其余部分完好可利用,P是弧MN上一点,,工人师傅想在未被腐蚀部分截下一块边在BC与CD上的矩形铁皮,(1)求出矩形铁皮PQCR面积S关于的表达式;(2)试确定的值,使矩形铁皮PQCR面积最大,并求出这个最大面积.【解析】(1)作PH垂直AB于点H,则,,可得,,所以矩形铁皮PQCR面积.(2)令,则,因为,则,可得,则,由二次函数性质可知,函数的图象开口向上,对称轴为,可知当,即时,.所以当时,矩形铁皮面积最大,最大值为【变式5-3】(2024·高一·北京·期末)某玩具厂为测试一款可升降玩具炮台的性能,建立了如下的数学模型:①如图,建立平面直角坐标系,炮口A的坐标为,炮台从炮口向右上方发射玩具弹,发射仰角为,初速度;②设玩具弹在运行过程中t(单位:s)时刻的横纵坐标分别为(单位:m),且满足;③玩具弹最终落在点.根据上述模型,解决下列问题:(1)当时.(i)若时,玩具弹刚好落在点,求及此次的发射仰角θ的值;(ii)求的最大值及此时的发射仰角θ;(2)当时,求证:.【解析】(1)(i)当时,,由,得,因为,所以此次的发射仰角为,;(ii)当时,,由,得,所以,因为,所以,所以时,取得最大值.(2)当时,,由,得,因为,所以,代入式整理得,得,所以,其中,所以,解得.【变式5-4】(2024·高一·四川成都·期末)如图,一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈,筒车的轴心O距水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下则d为负数),若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间t(单位:s),则d与t之间的关系为(,,). (1)求A,ω,φ,K的值;(2)在筒车转动的一周内,盛水筒P有多长时间距离水面高度超过4m?(3)设t为,时,盛水筒P到水面的距离分别为,,当(),且时,求,的值.【解析】(1)由题意d与t之间的关系为,根据题意可知的最大值为,最小值为,可得,解得,又因为逆时针方向每分钟转2圈,所以函数的周期为,可得,所以,因为当时,,即,又因为,所以,所以,所以.(2)由(1)知,令,可得,即,可得,解得,当时,可得,则所以在筒车转动的一周内,盛水筒P有距离水面高度超过4m.(3)由,可得,令,可得,所以,,,所以,所以,即,所以,则,解得,即,解得,因为,所以,即,.【变式5-5】(2024·高一·山东青岛·期中)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色.如图,某摩天轮最高点距离地面高度为,转盘直径为,设置有个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要.(1)游客甲坐上摩天轮的座舱,开始转动后距离地面的高度为,求在转动一周的过程中,关于的函数解析式;(2)证明:;(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里,在运行一周的过程中,求两人距离地面的高度差(单位:)关于的函数解析式,并求高度差的最大值(精确到).(参考数据:)【解析】(1)如图,设座舱距离地面最近的位置为点,以轴心为原点,与地面平行的直线为轴建立直角坐标系,设时,游客甲位于点;以为终边的角为,根据摩天轮转一周大约需要,可知座舱转动的角速度约为,由题意可得:.(2),,.(3)如图,甲、乙两人的位置分别用点表示,则,经过后甲距离地面的高度为,点相对于点始终落后,此时乙距离地面的高度为,则甲、乙距离地面的高度差,由(2)得:,,,当或,即或时,,甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为.经典题型六:三角函数的综合问题【典例6-1】(2024·高三·陕西渭南·期中)已知函数的图象过原点.(1)求的值;(2)求函数在上的零点.【解析】(1),∵函数的图象过原点,∴,得.(2)由(1)得,由,得,故,,或,,解得,,或,, ∵,∴或故在上的零点为.【典例6-2】(2024·高三·全国·专题练习)已知函数的最小正周期为.(1)求的单调区间;(2)若,求在上的值域.【解析】(1)由题得,又,所以的最小正周期,解得,故,令,解得,令,解得,所以的单调递增区间为,,单调递减区间为.(2)由题得,当时,,由的性质可知,所以,所以在上的值域为.【变式6-1】(2024·高三·山东滨州·期中)已知函数,且的最小正周期为.(1)求的值及函数的单调递减区间;(2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,求解析式【解析】(1),由于的最小正周期为,故,解得,令,解得,故单调递减区间为(2)由题意可得,故【变式6-2】(2024·高三·甘肃白银·阶段练习)函数的图象上相邻两个最高点的距离为,其中一个最高点坐标为.(1)求函数的解析式;(2)求函数在区间上的单调递增区间.【解析】(1)由题意得,,,解得,注意到,所以只能,,所以函数的解析式为.(2)当时,,令或,解得或,所以由复合函数单调性可知,函数在区间上的单调递增区间为.【变式6-3】(2024·高三·黑龙江牡丹江·期中)已知函数,且.(1)求的值;(2)求的对称中心和单调递减区间;(3)若,,求的值.【解析】(1),因为,所以,所以;(2)由(1)知,令得,所以的对称中心为,令得,所以单调递减区间为(3)因为,所以,又因为,所以,因为,可得,所以,所以.【变式6-4】(2024·高三·甘肃兰州·期中)已知函数的部分图象如图所示.该图象与轴交于点,与轴交于两点, 为图象的最高点,且的面积为.(1)求的解析式及其单调递增区间.(2)若将的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象.若,求的值.【解析】(1)设的最小正周期为.由题意知,的高为2.又∵的面积为,∴,可得.∵,∴,.∵图像与y轴交于点,∴,即.∵,∴,故的解析式为.令,,得,,故的单调递增区间为,..(2)根据题意,将的图像向右平移个单位长度,可得的图像,再将所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),可得的图像.由(),得,∴.又∵,,∴,,∴.【变式6-5】(2024·高三·上海·阶段练习)已知函数.(1)将化成的形式,并写出的最小正周期及对称轴方程;(2)若在上的值域为,求的取值范围.【解析】(1),由题意得的最小正周期.由图像可知,对称轴为直线.(2)若在上单调,则,得,则由,得,则,所以.若在上不单调,则在上的图像上必定有一个最高点或最低点,且在上的图像无论经过任何一个最高点或任何一个最低点,的取值范围均相同.假设在上的图像的最高点为,则,当,即时,,此时取得最小值,且最小值是.易得,则,所以.综上,的取值范围为.模块三:数学思想方法①分类讨论思想【典例7-1】已知a为常数,函数在内有且只有一个零点,则常数a的值形成的集合是.( )A. B. C. D.【答案】C 【解析】,函数,,,,,,,令,则,,,,当时,,当时,,而当或时,,其图象如下即函数在上的值域是,函数在内有且只有一个零点,函数与的图象只有一个交点,当,此时关于t的方程即有一个实根为,则关于x的方程 ,在有一个实数根,即函数与的图象有一个交点,满足题意;当,此时关于t的方程有一个实根记为且,则关于x的方程 ,在有两个实数根,即函数与的图象有两个交点,不满足题意;当,此时关于t的方程,即有两个实根分别为1和则关于x的方程和 ,在有三个实数根,即函数与的图象有两个交点,不满足题意;当,此时关于t的方程有两个实根记为、设且,,则关于x的方程和 ,在 均有两个实数根,即函数与的图象有四个交点,不满足题意;当,此时关于t的方程,即仅有一个实根为则关于x的方程 ,在有两个实数根,即函数与的图象有两个交点,不满足题意;满足题意的常数a的值形成的集合是故选:【典例7-2】设函数,则的最小正周期( )A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关【答案】D 【解析】 对于,其最小正周期为,对于,其最小正周期为,所以对于任意a,的最小正周期都为,对于,其最小正周期为,故当时,,其最小正周期为;当时,,其最小正周期为,所以的最小正周期与a无关,但与b有关.故选:【变式7-1】已知,若存在正整数n,使函数在区间内有2023个零点,则实数a所有可能的值为( )A.1 B. C.0 D.1或【答案】B 【解析】,令,则,即,,则关于t的方程有两个不相等的实根,设为,令,可得,则有:若,即和,结合正弦函数图象可知:在内有两个不相等的实数根,无实数根,故对任意正整数n,在内有偶数个零点,不合题意;若,即和,结合正弦函数图象可知:无实数根,在内有两个不相等的实数根,故对任意正整数n,在内有偶数个零点,不合题意;若,即和,结合正弦函数图象可知:在内有两个不相等的实数根,在内有两个不相等的实数根,故对任意正整数n,在内有偶数个零点,不合题意;若,即和,结合正弦函数图象可知:在内有两个不相等的实数根,在内有且仅有一个实数根,①对任意正奇数n,在内有个零点,由题意可得,解得,不合题意;②对任意正偶数n,在内有个零点,由题意可得,解得,不合题意;若,即和,结合正弦函数图象可知:在内有且仅有一个实数根,在内有两个不相等的实数根,①对任意正奇数n,在内有个零点,由题意可得,解得,符合题意;②对任意正偶数n,在内有个零点,由题意可得,解得,不合题意;综上所述:当,时,符合题意.此时,解得故选:【变式7-2】已知函数,满足,且对于任意的都有,若在上单调,则的最大值为( )A.5 B.7 C.9 D.11【答案】C 【解析】函数,满足,,①,对于任意的都有,故的图象关于直线对称,,②,②-①可得 ,即,,,即为奇数,若在上单调,则,求得,当时,由①可得,,结合,可得,此时,,当,,故不满足在上单调,故不满足条件,当时,,由①可得,,结合,可得 或,当时,,满足在上单调,当时,,满足在上单调,故的最大值为故选:【变式7-3】已知函数在区间上的最小值为,则a的取值范围为( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】,故在上有若时,,只需要即可,即,解得:若时,,只需要即可,即,解得:故a的取值范围为【变式7-4】若角的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线上,则角的取值集合是 ( )A. B.C. D.【答案】D 【解析】根据题意,角的终边在直线上,为第二象限角时,,;为第四象限角时,,;综上,角的取值集合是故选:【变式7-5】若,,则终边所在象限为( )A.第一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限【答案】B 【解析】 ,当时,,为第三象限角;当时,,为第一象限角;所以的终边在第一或第三象限.故选②转化与化归思想【典例8-1】函数的最小值为( )A. B. C.0 D.【答案】A 【解析】令,则原函数化为,,该函数在上递增,在上递减.易知时,故本题选【典例8-2】在中,C是直角,则( )A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值C.有最大值也有最小值 D.无最大值也无最小值【答案】D 【解析】因为在中,C是直角,所以,所以由题意可得,所以,所以,设,则,令,,因为函数的对称轴,所以函数没有最值,即没有最值.故选:【变式8-1】记函数的图像按向量平移后所得图像对应的函数为,对任意的都有,则的值为( )A. B. C.a D.1【答案】D 【解析】函数 ,其中又对任意的都有,所以是图像的一条对称轴,将函数的图像按向量平移后得到函数,,其中,所以,故选:【变式8-2】若函数的定义域为R,且是偶函数,关于点成中心对称,则下列说法正确的个数为( )①的一个周期为2;②;③的一条对称轴为;④A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C 【解析】因为函数的定义域为R,且为偶函数,所以,于是,,所以的图象关于直线对称,又因为关于点成中心对称,所以,即,所以,所以的图象关于点成中心对称,对于①,由知,,而,则,所以,由此可得,所以,所以是周期为4的周期函数,故①错误;对于②,在中,令,可得,所以,故②正确;对于③,因为的图象关于直线对称,并且是周期为4的周期函数,所以的图象也关于直线对称,故③正确;对于④,由上可知:,,,所以,,于是,故④正确.故选【变式8-3】已知函数满足,则函数是( )A.奇函数,关于点成中心对称 B.偶函数,关于点成中心对称C.奇函数,关于直线成轴对称 D.偶函数,关于直线成轴对称【答案】D 【解析】已知函数,则且为最大值,得,即得 ,即,则,则函数为偶函数,对称中心为,,直线 为其对称轴,故ABC均错误,D正确.③数形结合思想【典例9-1】函数的部分图象如下,则__________.【答案】 【解析】由题意知,,,,则,而,且点位于函数图象单调递增区间内,故,,得,,,当时,,则,故答案为:【典例9-2】若以函数图象上相邻的四个最值所在的点为顶点恰好构成一个菱形,则__________.【答案】 【解析】作出函数的大致图象,不妨取如图的相邻四个最值点,设其中两个最大值点为M,N,最小值点为P,Q,连接PN,根据正弦函数图象的对称性,易知,且四边形PQNM为平行四边形,边PQ上的高,由题意可知四边形PQNM为菱形,则,则,所以为等边三角形,所以,则,则,则周期,由,有,所以,又,所以故答案为: .【变式9-1】已知函数,则下列结论中正确的是__________.①是周期函数;②的对称轴方程为;③在区间上为增函数;④方程在区间有6个根.【答案】 ①②④ 【解析】函数,画出函数的图象如图所示,最小正周期,即是周期函数,所以①正确;当或0时,或,即或,,所以函数的对称轴为,所以②正确;当,函数不是单调函数,所以③不正确;函数的周期为,函数的最大值为,最小值为1,所以方程在区间上有6个根,④正确;故答案为: ①②④.【变式9-2】函数的部分图象如图,点A,B的坐标分别是,,则__________.【答案】 【解析】由题意得,得,,,则,又函数过点,由五点对应法得,得,得,则,则,故答案为:【变式9-3】已知函数的部分图象如图所示,则的值为__________.【答案】 【解析】由图可知,,函数的最小正周期,所以,所以,将点代入以中,得,且点为函数递增区间内的零点,故,所以,,因为,所以故答案为:【变式9-4】函数的部分图象如图所示,则等于__________.【答案】 【解析】根据题意可得,其中T为该函数的最小正周期,解得,所以,同时易得,故当,,得,即得,结合,可得,所以,所以故答案为【变式9-5】函数的部分图象如图所示,则函数的解析式为__________.【答案】 【解析】由题图可知,因为,所以,故,因此,又过点,且该点为图象上单调递减区间内的点,因此,,可得,,结合,所以,故故答案为【变式9-6】已知函数的图象的一部分图如图所示,则取最小值时x的取值集合为__________.【答案】 【解析】由图象知,又,即,又,又,且点在函数单调递增区间内,故,,得,,而,其中T为函数的最小正周期,结合,得,结合,,得,,,令,解得,取最小值时x的取值集合为故答案为t0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.60y-20.0-17.8-10.10.110.317.720.017.710.30.1-10.1-17.8-20.0