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    专题2-1函数性质(单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性)(14题型+解题攻略)【高考数学】二轮复习:题型归纳+专项训练

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    专题2-1函数性质(单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性)(14题型+解题攻略)【高考数学】二轮复习:题型归纳+专项训练

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    这是一份专题2-1函数性质(单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性)(14题型+解题攻略)【高考数学】二轮复习:题型归纳+专项训练,文件包含专题2-1函数性质单调性奇偶性中心对称轴对称周期性原卷版docx、专题2-1函数性质单调性奇偶性中心对称轴对称周期性解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共58页, 欢迎下载使用。
    TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc11468" 题型01 奇偶性基础 PAGEREF _Tc11468 \h 1
    \l "_Tc13626" 题型02 中心对称型函数 PAGEREF _Tc13626 \h 2
    \l "_Tc692" 题型03 轴对称型函数 PAGEREF _Tc692 \h 3
    \l "_Tc14180" 题型04 斜直线轴对称型 PAGEREF _Tc14180 \h 3
    \l "_Tc3496" 题型05 “正余弦”型对称 PAGEREF _Tc3496 \h 4
    \l "_Tc2773" 题型06 伸缩型对称 PAGEREF _Tc2773 \h 5
    \l "_Tc15507" 题型07 一元三次函数型中心对称 PAGEREF _Tc15507 \h 6
    \l "_Tc28663" 题型08 “局部周期”型函数性质 PAGEREF _Tc28663 \h 7
    \l "_Tc28325" 题型09 双函数型对称 PAGEREF _Tc28325 \h 8
    \l "_Tc4094" 题型10 原函数与导函数型双函数对称 PAGEREF _Tc4094 \h 9
    \l "_Tc23543" 题型11 放大镜型函数性质 PAGEREF _Tc23543 \h 10
    \l "_Tc3953" 题型12 抽象函数赋值型性质 PAGEREF _Tc3953 \h 11
    \l "_Tc30846" 题型13 对称型恒成立求参 PAGEREF _Tc30846 \h 11
    \l "_Tc5588" 题型14 构造“对称”型函数 PAGEREF _Tc5588 \h 12
    \l "_Tc19344" 高考练场 PAGEREF _Tc19344 \h 13

    题型01 奇偶性基础
    【解题攻略】
    【典例1-1】(2023秋·山西·高三校联考期中)已知函数为奇函数,则的值是( )
    A.0B.C.12D.10
    【典例1-2】(2023秋·北京昌平·高三北京市昌平区前锋学校校考阶段练习)已知,则( )
    A.为偶函数,且在上单调递增
    B.为偶函数,且在上单调递减
    C.为奇函数,且在上单调递增
    D.为奇函数,且在上单调递减
    【变式1-1】.(2023·全国·高一专题练习)若为奇函数,则的解集为( )
    A.B.C.D.
    【变式1-2】(2023秋·江苏南通·高三统考开学考试)已知是奇函数,则在处的切线方程是( )
    A.B.C.D.
    【变式1-3】.(2023秋·天津和平·高三天津一中校考阶段练习)已知函数,,若对任意,都有成立,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    题型02 中心对称型函数
    【解题攻略】
    【典例1-1】已知函数,则存在非零实数,使得( )
    A.B.
    C.D.
    【典例1-2】函数的图象与函数图象的所有交点的横坐标之和为___________.
    【变式1-1】.设函数的最大值为5,则的最小值为( )
    A.B.1C.2D.3

    【变式1-2】已知函数,,若使关于的不等式成立,则实数的范围为___________.

    【变式1-3】.函数的图像可能是( )
    A.B.
    C.D.

    题型03 轴对称型函数
    【解题攻略】
    【典例1-1】.(2023上·重庆·高三重庆市忠县忠州中学校校联考)已知定义在上的函数,函数为偶函数,且对都有,若,则的取值范围是 .
    【典例1-2】(2023上·江西景德镇·高一统考期中)已知函数满足关系式,且对于,,满足恒成立,若不等式对恒成立,则实数a的取值范围是 .
    【变式1-1】.(2023上·江苏南通·高三统考阶段练习)设定义在上的函数在单调递减,且为偶函数,若,,且有,则的最小值为 .
    【变式1-2】(2023上·山东济南·高三统考开学考试)若函数的图象关于直线对称,且有且仅有4个零点,则的值为 .
    【变式1-3】.(2023上·陕西榆林·高三校考阶段练习)函数是定义在上的奇函数,且图象关于对称,在区间上,,则 .
    题型04 斜直线轴对称型
    【解题攻略】
    【典例1-1】(2023上·重庆·高三西南大学附中校考)已知函数为奇函数,的函数图象关于对称,且当时,,则 .

    【典例1-2】(2023上·辽宁·高三校联考)已知定义域为的函数满足,且其图象关于直线对称,若当时,,则 .
    【变式1-1】(2023上·辽宁大连·高三大连八中校考期中)已知函数,若曲线关于直线对称,则的值为 .
    【变式1-2】(2023上·上海浦东新·高三华师大二附中校考)已知函数的图象过点,且关于直线成轴对称图形,则 .
    【变式1-3】(2021上·高一校考课时练习)若函数的图象与且的图象关于直线对称,则的值等于( )
    A.B.C.D.
    题型05 “正余弦”型对称
    【解题攻略】
    【典例1-1】函数是定义在上的奇函数,且为偶函数,当时,,若函数恰有一个零点,则实数的取值集合是( )
    A.B.
    C.D.
    【典例1-2】.定义在上的偶函数f(x)满足f(-x)+f(x-2)=0,当时,(已知),则( )
    A.B.
    C.D.

    【变式1-1】已知定义在上的函数满足条件,且函数为奇函数,则下列说法中错误的是( )
    A.函数是周期函数;
    B.函数的图象关于点对称;
    C.函数为上的偶函数;
    D.函数为上的单调函数.

    【变式1-2】已知函数的定义域为,为的导函数,且,,若为偶函数,则下列结论不一定成立的是( )
    A.B.
    C.D.

    【变式1-3】.定义在上的函数满足,;且当时,.则方程所有的根之和为( )
    A.6B.12C.14D.10

    题型06 伸缩型对称
    【解题攻略】
    【典例1-1】(2023秋·湖南怀化·高三统考)已知不是常函数,且是定义域为的奇函数,若的最小正周期为1,则( )
    A.B.1是的一个周期
    C.D.
    【典例1-2】(2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测)若函数f(x)的定义域为R,且f(2x+1)为偶函数,f(x-1)的图象关于点(3,3)成中心对称,则下列说法正确的个数为( )
    ①的一个周期为2 ②
    ③ ④直线是图象的一条对称轴
    A.1B.2C.3D.4

    【变式1-1】(2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习)已知是定义在上的函数,是奇函数,且是偶函数,则下列选项一定正确的是( )
    A.函数的周期为2B.函数的周期为3
    C.D.
    【变式1-2】.(2022秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考阶段练习)设函数的定义域为,且是奇函数,是偶函数,则一定有( )
    A.B.C.D.
    【变式1-3】(2022秋·广西玉林·高三校联考阶段练习)已知是定义域为的奇函数,是定义域为的偶函数,则( )
    A.B.C.D.
    题型07 一元三次函数型中心对称
    【解题攻略】
    【典例1-1】.给出定义:设是函数的导函数,是函数的导函数,若方程有实数解,则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”,且该“拐点”也是函数的图像的对称中心,若函数,则( )
    A.8082B.2021C.-8082D.-2023

    【典例1-2】已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点.若,则( )
    A.0B.4C.D.

    【变式1-1】在同一坐标系中作出三次函数及其导函数的图象,下列可能正确的序号是( )
    A.①②B.①③C.③④D.①④

    【变式1-2】设函数是的导数,经过探究发现,任意一个三次函数的图象都有对称中心,其中满足,已知函数,则( )
    A.0B.C.1D.

    【变式1-3】一般地,对于一元三次函数,若,则为三次函数的对称中心,已知函数图象的对称中心的横坐标为,且有三个零点,则实数a的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.

    题型08“局部周期”型函数性质
    【解题攻略】
    【典例1-1】定义在0,+∞上的函数fx满足fx=x2,x∈0,1fx−1−2,x∈1,+∞.
    (i)f2021=___________.
    (ii)若方程fx−kx=0有且只有两个解,则实数k的取值范围是___________.
    福建省长汀县第一中学2022届高三上学期第二次月考数学试题
    【典例1-2】.已知fx=12x+a,x≤0,fx−1,x>0,且方程fx=x恰有两解.则实数a的取值范围是______.
    【变式1-1】(2021下·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校)已知函数,若对于正数,直线与函数的图像恰好有个不同的交点,则 .
    【变式1-2】.(2021上·四川资阳·高三统考期末)已知函数,函数在处的切线为,若,则与的图象的公共点个数为 .
    题型09 双函数型对称
    【解题攻略】
    【典例1-1】(2023·广西玉林·统考模拟预测)已知函数,的定义域均为,是奇函数,且,,则( )
    A.f(x)为奇函数B.g(x)为奇函数
    C.D.

    【典例1-2】(2023春·河南开封·高三统考开学考试)已知函数,的定义域为,且,,若为偶函数.,则( )
    A.24B.26C.28D.30

    【变式1-1】(2023秋·江西·高三校联考期末)已知函数,的定义域均为,且,.若的图象关于直线对称,且,则( )
    A.80B.86C.90D.96

    【变式1-2】(2023秋·全国·高三校联考阶段练习)的定义域为,为偶函数,且,则下列说法不正确的是( )
    A.的图象关于对称B.的图象关于对称
    C.4为的周期D.

    【变式1-3】(2022秋·四川成都·高三成都七中校考专题练习)已知函数的定义域均为为偶函数,且,,下列说法正确的有( )
    A.函数的图象关于对称
    B.函数的图象关于对称
    C.函数是以4为周期的周期函数
    D.函数是以6为周期的周期函数
    题型10 原函数与导函数型双函数对称
    【解题攻略】
    【典例1-1】(2023·四川成都·校联考模拟预测)已知函数及其导函数的定义域均为,,且是偶函数,,,则( )
    A.2022B.2023C.2024D.2025
    【典例1-2】(2022上·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习)已知函数及其导函数定义域均为,为奇函数,,,则正确的有( )
    ①;②;③;④.
    A.①④B.①②C.②③D.③④
    【变式1-1】(2023·广西梧州·苍梧中学校考模拟预测)设定义在上的函数与的导函数分别为和,若,,且为奇函数,.现有下列四个结论:①;②;③;④.其中所有正确结论的序号是( )
    A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④
    【变式1-2】(2023·全国·高三专题练习)设定义在R上的函数与的导函数分别为和.若,,且为奇函数,则下列说法中一定正确的是( )
    A.B.
    C.,D.
    【变式1-3】7.设定义在实数集上的函数与的导数分别为与,若,,且为奇函数,则下列说法不正确的是( )
    A.B.图象关于直线对称
    C.D.
    辽宁省沈阳市第二中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题
    题型11 放大镜型函数性质
    【解题攻略】
    【典例1-1】定义在上函数满足,且当时,,则使得在上恒成立的的最小值是______________.

    【典例1-2】.已知是定义在上的奇函数,当时,有下列结论:
    ①函数在上单调递增;
    ②函数的图象与直线有且仅有个不同的交点;
    ③若关于的方程恰有个不相等的实数根,则这个实数根之和为;
    ④记函数在上的最大值为,则数列的前项和为.
    其中所有正确结论的编号是___________.

    【变式1-1】已知定义在[1,+∞)上的函数f(x)=4−8x−12(1≤x≤2)12f(x2)(x>2),则
    A.在[1,6]上,方程f(x)−16x=0有5个零点
    B.关于x的方程f(x)−12n=0(n∈N∗)有2n+4个不同的零点
    C.当x∈[2n−1,2n](n∈N∗)时,函数f(x)的图象与x轴围成的面积为4
    D.对于实数x∈[1,+∞),不等式xf(x)≤6恒成立

    【变式1-2】设函数的定义域为,满足,且当时,.若对任意,都有,则m的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.

    【变式1-3】.定义域为的函数满足:,当时,,若时,恒成立,则实数的取值范围是
    A.B.C.D.

    题型12 抽象函数赋值型性质
    【典例1-1】(2023春·辽宁·高三校联考阶段练习)已知是定义在上的函数,且在区间内单调递增,对,,都有.若,使得不等式成立,则实数的最大值为 .
    【典例1-2】.(2023·全国·高三对口高考)已知定义域为的函数对任意实数x,y满足,且,.给出下列结论:
    ①;②为奇函数;③为周期函数;④在内单调递减.
    其中正确结论的序号是 .
    【变式1-1】(2023·江苏南通·统考模拟预测)若函数的定义域为,且,,则 .
    【变式1-2】(2023·浙江·高三专题练习)若定义在上的函数满足:,,且,则满足上述条件的函数可以为 .(写出一个即可)
    【变式1-3】(2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考)定义在R上的函数f(x)满足x,yR,且f(0)0, f(a)=0 (a>0). 则下列结论正确的序号有 .①f(0)=1;②;③;④.
    题型13 对称型恒成立求参
    【解题攻略】
    【典例1-1】.(2021上·江苏南京·高三南京市中华中学校考期末)定义在上的函数满足,且当时,若对任意的,不等式恒成立,则实数的最大值为( )
    A.B.C.D.

    【典例1-2】(2020·湖南永州·统考三模)已知函数是定义在上的奇函数,当时,.若对任意的,成立,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.

    【变式1-1】(2021上·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习)已知,满足对于任意的,都有,设,若对于任意的,,都有成立,则实数的取值范围是 .
    【变式1-2】.(2018上·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习)设函数,对任意非零实数,若等式成立,则正整数的值为 .
    【变式1-3】已知是定义在R上的函数,且关于直线对称.当时, ,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.

    题型14 构造“对称”型函数
    【典例1-1】(2021上·湖北·高三校联考阶段练习)已知满足,满足,则( )
    A.B.
    C.D.前三个答案都不对

    【典例1-2】(2022上·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习)设且满足,则 .

    【变式1-1】(2022·全国·高三专题练习)已知,那么的值是 .
    【变式1-2】(2021上·浙江宁波·高三余姚中学校考)已知满足,若对任意的,恒成立,则实数k的最小值为 .

    高考练场
    1.(2022秋·云南保山·高三统考阶段练习)设函数,若是奇函数,则( )
    A.B.C.D.
    2..已知函数满足,若函数与图像的交点为,则____________.

    3.(2023上·贵州贵阳·高三校联考阶段练习)已知函数,当时,,则 .
    4.(2023上·上海闵行·高三校联考期中)设曲线与函数的图像关于直线对称,设曲线仍然是某函数的图像,则实数的取值范围是 .
    5.已知定义在上的函数满足:,,当时,,则( )
    A.B.C.D.

    6..(2023秋·重庆九龙坡·高三统考期末)已知函数定义域为,为偶函数,为奇函数,则( )
    A.B.C.D.
    7.对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数,则( )
    A.0B.1C.2D.4
    8..已知函数的定义域均为R,且满足则( )
    A.3180B.795C.1590D.1590

    9..已知是定义域为的奇函数,是定义域为的偶函数,且与的图象关于轴对称,则( )
    A.是奇函数B.是偶函数
    C.关于点对称D.关于直线对称

    10..设定义在上的函数与的导函数分别为和,若,,且为奇函数,.现有下列四个结论:①;②;③;④.其中所有正确结论的序号是( )
    A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

    11.已知定义域为的奇函数满足:当时,;当时,.现有下列四个结论:
    ①的周期为2;
    ②当时,;
    ③若,则;
    ④若方程在上恰有三个根,则实数k的取值范围是.
    其中所有正确结论的序号是( )
    A.①③B.②③④C.②④D.②③

    12..(2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试)设为定义在整数集上的函数,,,,对任意的整数均有.则 .
    13.已知函数,对于,使得,则实数的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.

    奇偶函数的性质
    ①偶函数⇔f(-x)=f(x) ⇔关于y轴对称⇔对称区间的单调性相反;
    ②奇函数⇔f(-x)=-f(x) ⇔关于原点对称⇔对称区间的单调性相同;
    ③奇函数在x=0处有意义时,必有结论 f(0)=0 ;
    奇偶性的判定
    ①“奇±奇”是奇,“偶±偶”是偶,“奇×/÷奇”是偶,“偶×/÷偶”是偶,“奇×/÷偶”是奇;
    ②奇(偶)函数倒数或相反数运算,奇偶性不变;
    ③奇(偶)函数的绝对值运算,函数的奇偶性均为偶函数.

    中心对称结论:
    (1)若函数满足,则的一个对称中心为
    (2)若函数满足,则的一个对称中心为
    (3)若函数满足,则的一个对称中心为.
    轴对称性的常用结论如下:
    若函数满足,则的一条对称轴为
    若函数满足,则的一条对称轴为
    若函数满足,则的一条对称轴为
    (4)f(a-x)= f(b+x)⇔f(x)的图象关于直线x=eq \f(a+b,2)对称;
    关于斜直线轴对称,可以借鉴圆锥曲线中直线的对称性来处理
    (1)点关于直线的对称点,则有;
    (2)直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
    如果斜直线轴对称,还有以下经验公式:
    如果对称轴所在的直线斜率是,即直线是型,可以利用反解对称轴法直接求出对称变换式子
    (1)如果关于直线的对称点为,则的坐标为;
    (2)如果关于直线的对称点为,则的坐标为.
    (1)两中心;
    (2)两垂直轴则;
    (3)一个中心,一条轴,则
    伸缩变换
    y=f(ax)
    y=f(x) eq \(――――――――――――――→,\s\up7(a>1,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变),\s\d5(0

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