高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.3 组合与组合数练习

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.3 组合与组合数练习，共5页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1．北京队、上海队、天津队、广东队四个足球队举行友谊比赛，每每两个队都要比赛一场；
(1)列出所有各场比赛的双方；
(2)最终产生冠、亚军各一个队，列出所有可能的冠亚军情况．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）利用组合的定义即可写出答案；
（2）利用排列的定义即可写出答案.
【详解】（1）{北京队，上海队}，{北京队，天津队}，{北京队，广东队}，{上海队，天津队}，{上海队，广东队}，{天津队，广东队}；
（2）（注：冠军在前，亚军在后）（北京队，上海队）（北京队，天津队），（北京队，广东队），（上海队，天津队），
（上海队，广东队），（天津队，广东队），（上海队，北京队），（天津队，北京队），（广东队，北京队），
（天津队，上海队），（广东队，上海队），（广东队，天津队）.
2．写出：
(1)从a，b，c，d，e五个元素中取两个元素的所有组合；
(2)从a，b，c，d，e五个元素中取三个元素的所有组合．
【答案】(1)ab，ac，ad，ae， bc，bd，be，cd，ce，de .
(2)abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde .
【分析】（1）利用组合的定义即可得出；
（2）利用组合的定义即可得出.
【详解】（1）从5个元素a，b，c，d，e中任取两个元素的所有组合共有个，即ab，ac，ad，ae， bc，bd，be，cd，ce，de .
（2）从5个元素a，b，c，d，e中任取三个元素的所有组合共有个，即abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde .
3．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)17
(2)20
(3)1
(4)4950
【分析】利用组合数公式与性质计算即可.
【详解】（1）由组合数公式，得；
（2）由组合数公式，得；
（3）由组合数性质，得；
（4）由组合数性质，得.
4．某校举行排球赛，每两个队赛一场，有8个队参加，共需比赛多少场？
【答案】28
【分析】根据题意，利用组合数的公式，即可求解.
【详解】由题意，每两个队赛一场，有8个队参加，共有场.
5．现有10件产品（除了2件一等品外，其余都是二等品），任意从中抽取3件：
(1)一共有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰有1件一等品的抽法共有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件一等品的抽法共有多少种？
【答案】(1)120
(2)56
(3)64
【分析】（1）直接利用组合的定义可得；
（2）抽出的3件中恰有1件一等品是指1件一等品，2件二等品；
（3）抽出的3件中至少有1件一等品包含两种情况：一是1件一等品，2件二等品；二是2件一等品，1件二等品.
【详解】（1）从10件产品中任意抽取3件，共有种不同抽法；
（2）从10件产品中任意抽取3件恰有1件一等品，这件事可分两步完成：
第一步，从2件一等品中抽取1件一等品，共有种抽法；
第二步，从8件二等品中抽取2件二等品，共有种抽法，
根据乘法原理，不同的抽法种数为种.
（3）从10件产品中任意抽取3件至少有1件一等品，这件事可分两类：
第一类，抽取的3件产品中有1件一等品的抽法有种；
第二类，抽取的3件产品中有2件一等品的抽法有种；
由加法原理得，不同的抽法共有种.
6．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)330
(2)32
【分析】根据所给式子的结构特点，利用组合数的性质，将其化简即可求解.
【详解】（1）解：根据组合数的性质，
则有；
（2）解：根据组合数的性质，
则有.
7．解方程：．
【答案】或
【分析】利用组合数的性质计算即可.
【详解】因为，所以或，
解得或，经检验都符合题意，
所以方程的解是或.
8．利用组合数公式证明．
【答案】证明见解析
【分析】利用组合数公式分别计算等式左右两边即可证明.
【详解】证明：因为，
，
所以．
9．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次．甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列共有多少种不同的情况．
【答案】54
【分析】安排方案可分3步完成，第一步先安排乙，再安排甲，最后安排其他同学完成，由分步乘法原理求满足条件的方案数.
【详解】满足要求的方案可分3步完成，第一步先安排乙，乙可以排在第2,3,4位，有3种安排方法，第二步安排甲，有3种安排方法，第三步再安排其他同学，有种安排方法，由分步乘法原理满足条件的安排方法有54种.
10．将6名中学生分到甲、乙、丙3个不同的公益小组：
(1)要求有3人分到甲组，2人分到乙组，1个人分到丙组，共有多少种不同的分法？
(2)要求三个组的人数分别为3，2，1，共有多少种不同的分法？
【答案】(1)60
(2)360
【分析】（1）根据题意，分3步进行：①、在6人中选出3人，将其分到甲组；②、在剩余3人中选出2人，将其分到乙组；③、将剩下的1人分到丙组；分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算即可得答案．
（2）分2步进行：①、将6人分成3组，人数依次为3、2、1；②、将分好的三组全排列，对应甲、乙、丙3个不同的公益小组；分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算即可得答案．
【详解】（1）解：根据题意，分3步进行：①、在6人中选出3人，将其分到甲组，有种分法；②、在剩余3人中选出2人，将其分到乙组，有种分法；③、将剩下的1人分到丙组，有种分法；
所以共有种不同的分法；
（2）解：根据题意，分2步进行：①、将6人分成3组，人数依次为3、2、1，有种分法；②、将分好的三组全排列，对应甲、乙、丙3个不同的公益小组，有种分法；
所以共有种不同的分法.