数学选择性必修 第二册4.2.4 随机变量的数字特征当堂检测题

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一、解答题
1．掷一个均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的数学期望与方差．
【答案】，.
【分析】由题可得X的概率分布，再利用数学期望与方差的公式即求.
【详解】掷一个均匀的骰子，出现的点数为的概率为，
∴，
.
2．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品会亏损20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，求这台机器每生产一件产品的平均预期收入．
【答案】37元.
【分析】根据已知条件，可设这台机器每生产一件产品可获利，且得出的可能值和对应的概率，根据离散型随机变量直接求出数学期望，即可得出这台机器每生产一件产品的平均预期收入.
【详解】解：由题可知，一台机器生产甲等品、乙等品和次品分别获利50元，30元和-20元，
这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，
可设这台机器每生产一件产品可获利，则的可能值为50，30，-20，
则，，，
所以台机器每生产一件产品的平均预期收入为：
（元）.
3．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，用X表示抽到的二等品件数，求，．
【答案】2，1.96.
【分析】由题可知，利用公式即求.
【详解】由于是有放回的抽样，所以是二项分布，
∴，
.
4．从8名男生和6名女生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用X表示所选5人中女生的人数，求．
【答案】
【分析】由题可知，的所有可能的取值为：，，，，，．分别求出取不同值时的概率，即可列出的分布列，根据公式求得其数学期望；
【详解】解：依题意表示所选5人中女生的人数，的所有可能的取值为：，，，，，．
则，
，，，，
．
的分布列如下：
数学期望．
5．医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入后人体的平均体温为（摄氏度）．医学统计发现，X的分布列如下．
(1)求出，；
(2)已知人体体温为时，相当于，求，．
【答案】(1)38.4，0.64.
(2)101.12，2.0736.
【分析】（1）利用期望及方差公式即求；
（2）由可得,即求.
【详解】（1）由题可得，
.
（2）由可知，，
.
6．已知随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即，且，，求p的值．
【答案】
【分析】利用二项分布有关公式计算出的值.
【详解】依题意.
7．篮球运动员在比赛中，每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求：
(1)他罚球1次的得分的数学期望；
(2)他罚球2次的得分的数学期望．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）的取值为0，1，求出相应的概率，可得分布列与数学期望；
（2）的取值为0，1，2，求出相应的概率，可得分布列与数学期望；
【详解】（1）解：的可能取值为0，1，则
因为，，所以．
（2）解：的取值为0，1，2，则
，，
所以的概率分布列为：
所以．
8．若离散型随机变量X的概率分布是，其中，求证：．
【答案】详见解析.
【分析】利用离散型随机变量X的概率分布的性质及期望公式即得.
【详解】
9．已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为患病动物．下面是两种化验方案：
方案甲：将各动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止．
方案乙：先取3只动物的血液进行混合，然后检查，若呈阳性，对这3只动物的血液再逐个化验，直到查出患病动物；若不呈阳性，则检查剩下的2只动物中1只动物的血液．分析哪种化验方案更好．
【答案】方案乙更好.
【分析】用，分别表示两个方案所需化验的次数，通过比较的大小即得.
【详解】用表示方案甲所需化验的次数，则可取1,2,3,4，
∴；
用表示方案乙所需化验的次数，则可取2,3
若，有两种可能：
先化验3只结果为阳性，再从中逐个化验时，恰好一次验中的概率为，
先化验3只结果为阴性，再从其余2只中取1只化验的概率为，
故，
若，只有一种可能：先化验3只结果为阳性，再从中逐个化验时，恰好两次验出时的概率为，
∴，
∴，
故方案乙更好.
0
1
2
3
4
5
X
37
38
39
40
P
0.1
0.5
0.3
0.1
0
1
2