2025高考数学【佛山一模】数学试卷及参考答案

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本试卷共4页,19小题.满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若,则
A.B.C.D.
2.已知集合,若,则实数的取值范围是
A.B.C.D.
3.等比数列中,,设甲:,则甲是乙的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.函数在区间上的零点个数为
A.4B.5C.6D.7
5.随着中国经济高速增长,人民生活水平不断提高,旅游成了越来越多家庭的重要生活方式,某景区的旅游人数大约每年以11%的增长率呈指数增长,那么至少经过多少年后,该景区的旅游人数翻一倍?(参考数据:)
A.6B.7C.8D.9
6.在平面直角坐标系中,满足不等式组的点(x,y)表示的区域面积为
A.B.C.D.
7.若直线与曲线相切,则的最小值为
A.B.1C.D.2
8.已知直线与平面所成的角为,若直线,直线,设与的夹角为与的夹角为,则
A.B.
C.D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.有一组成对样本数据,设,由这组数据得到新成对样本数据,下面就这两组数据分别先计算样本相关系数,再根据最小二乘法计算经验回归直线,最后计算出残差平方和,则
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:.
相关系数.
A.两组数据的相关系数相同B.两组数据的残差平方和相同
C.两条经验回归直线的斜率相同D.两条经验回归直线的截距相同
10.在中,,则下列说法正确的是
A.B.
C.在方向上的投影向量为D.若,则
11.已知定义域为的函数满足,且为的导函数,则
A.为偶函数B.为周期函数
C.D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.的展开式中的系数是_____.
13.记的内角的对边分别为且,则_____.
14.直线过双曲线的左焦点,交的渐近线于两点.若,且,则的离心率为_____.
四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
如图,直三棱柱的体积为,侧面是边长为1的正方形,,点分别在棱上.
(1)若分别是的中点,求证:平面;
(2)若,求.
16.(15分)
球是指在网球对局中,一方发球,球落在有效区内,但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球.甲、乙两人进行发球训练,规则如下:每次由其中一人发球,若发出ACE球,则换人发球,若未发出球,则两人等可能地获得下一次发球权.设甲,乙发出球的概率均为,记“第次发球的人是甲”.
(1)证明:;
(2)若,求和.
17.(15分)
已知函数,其中.
(1)当时,讨论关于的方程的实根个数；
(2)当时,证明:对于任意的实数,都有.
18.(17分)
已知的顶点在轴上,,且边的中点在轴上,设的轨迹为曲线.
(1)求的方程;
(2)若正三角形的三个顶点都在上,且直线的倾斜角为,求.
19.(17分)
将项数列重新排序为的操作称为一次“洗牌”,即排序后的新数列以为首项,将排在之后,将排在之后.对于数列,将“洗牌”后得到的新数列中数字的位置定义为.例如,当时,数列(1,2,3,4,5,6)经过一次“洗牌”后变为(4,1,5,2,6,3),此时.
(1)写出数列(1,2,3,4,5,6,7,8)经过3次“洗牌”后得到的新数列；
(2)对于满足的任意整数,求经过一次“洗牌”后的解析式；
(3)当(其中)时,数列经过若干次“洗牌”后能否还原为?如果能,请说明至少需要多少次“洗牌”;如果不能,请说明理由.