专题3.9 代数式章末八大题型总结（拔尖篇）-最新苏教版七年级上册数学精讲讲练

这是一份专题3.9 代数式章末八大题型总结（拔尖篇）-最新苏教版七年级上册数学精讲讲练，文件包含专题39代数式章末八大题型总结拔尖篇-最新苏教版七年级上册数学精讲讲练教师版docx、专题39代数式章末八大题型总结拔尖篇-最新苏教版七年级上册数学精讲讲练学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
1、注重生活联系，形式活泼多样。初中生的数学思维能力正逐步由直观形象思维向抽象思维发展。这个发展需要一定的过程。
2、注重动手操作，引导学生“做”数学。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，自主探索与合作交流也是学习数学的重要方法。
3、注重“过程”和数学思想方法。新教材通过让学生亲身经历知识的形成过程，使学生的学习过程更多地成为其发现数学、了解数学、体验数学的过程。
专题3.9 代数式章末八大题型总结（拔尖篇）
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc5524" 【题型1 整式加减的循环运算】 PAGEREF _Tc5524 \h 1
\l "_Tc6962" 【题型2 利用整式加减计算周长】 PAGEREF _Tc6962 \h 5
\l "_Tc12936" 【题型3 整式加减的规律探究】 PAGEREF _Tc12936 \h 10
\l "_Tc31393" 【题型4 整式加减与绝对值的综合】 PAGEREF _Tc31393 \h 15
\l "_Tc9209" 【题型5 整式加减与数轴动点综合】 PAGEREF _Tc9209 \h 19
\l "_Tc24381" 【题型6 整式加减与数字综合】 PAGEREF _Tc24381 \h 24
\l "_Tc4859" 【题型7 整式加减中的新定义问题】 PAGEREF _Tc4859 \h 29
\l "_Tc25807" 【题型8 整式加减的应用】 PAGEREF _Tc25807 \h 34
【题型1 整式加减的循环运算】
【例1】（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）已知两个整式M1=x+1，M2=x−1，用整式M1与整式M2求和后得到整式M3=2x，整式M2与整式M3作差后得到整式M4=−x−1，整式M3与整式M4求和后得到新的整式M5，整式M4与整式M5作差后得到新的整式M6，…，依次交替进行“求和、作差”运算得到新的整式．下列说法：①当x=1时，M7=−2；②整式M2与整式M10结果相同；③M6=M11+M19；④M1+M2+⋅⋅⋅+M2027+M2028=0．正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据题意依次计算出M1=x+1，M2=x−1，M3=2x，M4=−x−1=−M1，M5=x−1=M2，M6=−2x=−M3，M7=−x−1=−M1，M8=−x+1=−M2，M9=−2x=−M3，M10=x+1=M1，M11=−x+1=−M2，M12=2x=M3，M13=x+1=M1，M14=x−1=M2，M15=2x=M3，
根据观察可发现每12个一循环，将x=1代入M7中可判断①；根据上述即可判断②；M19=M7，再代入计算即可判断③；先计算出M1+M2+⋅⋅⋅+M12，则M1+M2+⋅⋅⋅+M2027+M2028=169M1+M2+⋅⋅⋅+M12，以此可判断④．
【详解】解：由题意计算可得：
M1=x+1，M2=x−1
M3=M1+M2=2x，
M4=M2−M3=−x−1=−M1，
M5=M3+M4=x−1=M2，
M6=M4−M5=−2x=−M3，
M7=M5+M6=−x−1=M4=−M1，
M8=M6−M7=−x+1=−M5=−M2，
M9=M7+M8=−2x=M6=−M3，
M10=M8−M9=x+1=−M7=−M4=M1，
M11=M9+M10=−x+1=M8=−M5=−M2，
M12=M10−M11=2x=−M9=−M6=M3，
M13=M11+M12=x+1=M1，
M14=M12−M13=x−1=M2，
M15=M13+M14=2x=M3，
以此类推，每12个一循环，
∴当x=1时，M7=−x−1=−2，故①说法正确；
由上述可知，整式M2与整式M10结果不相等，故②说法错误；
∵ M19=M7，M6=−2x，
∴ M11+M19=M11+M7=−x+1+−x−1=−2x
∴ M6=M11+M19，故③说法正确；
∵ M1+M2+⋅⋅⋅+M12=M1+M2+M3−M1+M2−M3−M1−M2−M3+M1−M2+M3=0，
∴ M1+M2+⋅⋅⋅+M2027+M2028=169M1+M2+⋅⋅⋅+M12=0，故④说法正确．
∴正确的结论有①③④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的加减、规律型：数字的变化类，解题关键是根据题意进行正确的计算，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者前后数字进行简单运算，从而得出规律．
【变式1-1】（2023春·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期末）小磊想编一个循环“插数”程序，对有序的数列：-2，0进行有规律的“插数”：对任意两个相邻的数，都用右边的数减去左边的数之差“插”在这相邻的两个数之间，产生一个个新数列.如：第1次“插数”产生的一个新数列是-2，2，0；第2次“插数”产生的一个新数列是-2，4，2，-2，0；第3次“插数”产生的一个新数列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0；……，第2019次“插数”产生的一个新数列的所有数之和是 .
【答案】4036
【分析】根据第1次“插数”产生的一个新数列是-2，2，0，增加了新数2；第2次“插数”产生的一个新数列是-2，4，2，-2，0，增加了新数4，2，-2，其和为4；第3次“插数”产生的一个新数列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0，增加了新数6，4，-2，2，-4，-2，2，其和为6；……
由此可得第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为2n-2；由此即可解答.
【详解】第1次“插数”产生的一个新数列是-2，2，0，增加了新数2；
第2次“插数”产生的一个新数列是-2，4，2，-2，0，增加了新数4，2，-2，其和为4；
第3次“插数”产生的一个新数列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0，增加了新数6，4，-2，2，-4，-2，2，其和为6；
……
由此可得，第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为：-2+0+2n=2n-2；
∴第2019次“插数”产生的一个新数列的所有数之和是：2n-2=2×2019-2=4036.
故答案为4036.
【点睛】本题是数字规律探究题，根据题意得到第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为2n-2是解决问题的关键.
【变式1-2】（2023春·河北廊坊·七年级校联考期末）用-5、-2、1，三个数按照给出顺序构造一组无限循环数据．
(1)求第2018个数是多少？
(2)求前50个数的和是多少？
(3)试用含k(k为正整数)的式子表示出数“-2所在的位置数；
(4)请你算出第n个,第n+1个,第n+2个这三个数的和？n≥50
【答案】（1）－2；（2）－103；（3）3k-1（k为正整数）；（4）－6．
【分析】（1）根据每3个数一组，从第四个数开始循环，即可得到结论；
（2）前50个数分成16组，每一组数的和为－5－2+1=－6，余下两个数为－5，－2，即可得到结论；
（3）根据－2的位置为第2个，第5个，第8个，即可得到结论；
（4）任意取三个连续位置的数，有三种可能：-5，-2，1或-2，1，-5或1，-5，-2，其和为都等于－5－2+1=－6，即可得到结论．
【详解】（1）∵从第四个数开始循环，2018÷3=672．．．2，∴第2018个数是－2；
（2）∵50÷3=16．．．2，∴前50个数的和是（－5－2+1）×16+（－5）+（－2）=－103；
（3）-5，-2，1，-5，-2，1，-5，-2，1．．．，－2的位置为第2个，第5个，第8个，即第3k-1个，k为正整数；
（4）从-5，-2，1，-5，-2，1，-5，-2，1．．．，中任意取三个连续位置的数，有三种可能：-5，-2，1或-2，1，-5或1，-5，-2，其和为都等于－5－2+1=－6．
【点睛】本题考查了数字变化规律．弄清3个数为一组，进行循环是解答本题的关键．
【变式1-3】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，如图1（算作剪1次），然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，如图2（算作剪2次），再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如图3（算作剪3次），如此循环进行下去．
(1)填表：
(2)如果剪10次，共剪出_____________个小正方形；如果剪n次，共剪出_____________个小正方形；
(3)如果要剪出100个小正方形，那么需要剪_____________次；
(4)若原正方形纸片的边长为1，则剪3次后最小正方形（图3阴影部分）的面积为_____________．
【答案】(1)4,13
(2)31，3n+1
(3)33
(4)164
【分析】（1）根据题意可以将表格中的数据补充完整；
（2）根据表格中的数据可以计算出剪了10次，共剪出多少个正方形，也可以计算出剪n次，共剪了多少个正方形；
（3）根据（2）中算出的用n表示的式子，令其等于100，即可算出n的值，即剪了多少次；
（4）根据题意可写出剪3次后小正方形的边长，进行可以求出面积．
【详解】（1）解：根据题意可得，剪1次时，正方形的个数为4，由表中规律可得，剪4次后，正方形的个数为13，
故答案为：4,13；
（2）解：根据表格中的数据观察可知，第10次剪成的正方形的个数为：4+3×10−1=4+27=31个，
第n次剪成的正方形个数为：4+n−1×3=3n+1，
故答案为：31，3n+1；
（3）解：根据题意得，令3n+1=100，
解得n=33，
故答案为：33，
（4）解：若原正方形纸片的边长为1，则剪三次后正方形的边长为18，
所以小正方形的面积为：18×18=164，
故答案为：164．
【点睛】本题考查了图形的变化，解答本题的关键是明确题意，发现题目中正方形个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．
【题型2 利用整式加减计算周长】
【例2】（2023春·湖南长沙·七年级校考期中）如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图（1）与图（2）．若AB=m，则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是（ ）
A．mB．54mC．65mD．76m
【答案】C
【分析】设小长方形的宽为x，长为y，大长方形的宽为n，表示出x、y、m、n之间的关系，然后求出阴影部分周长之差即可．
【详解】解：设小长方形的宽为x，长为y，大长方形的宽为n，
由图（1）得4x=n；
由图（2）得2x+y=m，y=3x；
∴5x=m，
∴x=m5，
图（1）中阴影部分的周长为：2n+2y+m−y+m−y−x+x=2n+2m=8x+2m=185m，
图（2）中阴影部分的周长为：2n−3x+2m=24x−3x+2m=2x+2m=125m，
∴阴影部分的周长之差为：185m−125m=65m，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的加减，列代数式，正确得出各图中阴影部分周长的代数式是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·浙江·七年级期中）如图，大长方形ABCD是由一张周长为C1正方形纸片①和四张周长分别为C2，C3，C4，C5的长方形纸片②，③，④，⑤拼成，若大长方形周长为定值，则下列各式中为定值的是（ ）
A．C1B．C3+C5C．C1+C3+C5D．C1+C2+C4
【答案】B
【分析】将各长方形的边长标记出来，可将大长方形ABCD的周长为C和正方形纸片①的周长C1和四张长方形纸片②，③，④，⑤的周长分别为C2，C3，C4，C5表示出来，其中大长方形ABCD的周长为C为定值，然后分别计算C3+C5，C1+C3+C5，C1+C2+C4，找出其中为定值的即可．
【详解】解：如图，将各长方形的边长标记出来，
∴大长方形ABCD的周长为C=2a+2b+2c+2ℎ为定值，
∴C2=2a+2b，C3=2c+2d，C4=2e+2f，C5=2ℎ+2g，
∵①是正方形，
∴c−f=e−ℎ=g−b=a−d
∴a+b=g+d，
∴C3+C5=2c+2d+2ℎ+2g=2a+2b+2c+2ℎ=C，
C1+C3+C5=4a−d+2c+2d+2ℎ+2g=4a−2d+2c+2ℎ+2g，
C1+C2+C4=4a−d+2a+2b+2e+2f=6a−4d+2b+2e+2f，
∴C3+C5为定值，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的加减的计算，熟练掌握整式的加减的运算法则是解答本题的关键．
【变式2-2】（2023春·广西南宁·七年级南宁三中校考期末）将图①中的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形．
(1)设3号正方形的边长为x，4号正方形的边长为y，求1号，2号正方形的边长分别是多少？（用x，y的代数式表示）
(2)若图①中长方形的周长为48，试求3号正方形的边长；
(3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为100的长方形中，求阴影部分的周长．
【答案】(1)y−x，2x−y；
(2)6；
(3)88．
【分析】（1）观察图形，易知1号正方形的边长为4号正方形的边长减去3号正方形的边长，同理易知2号正方形的边长为3号正方形的边长减去1号正方形的边长；
（2）根据观察，可知图①中大长方形的长为3号正方形的边长与4号正方形的边长和，即：x+y，宽为2号正方形的边长与3号正方形的边长和，即：x+(2x−y)=3x−y，又知长方形的周长，即可求出x的值，从而得出3号正方形的边长；
（3）要求阴影部分的周长，可根据平移的性质得出阴影部分的周长即为长方形ABCD的周长，再利用大长方形的周长和大长方形的宽，进而可求出AB的长，从而解得阴影部分的周长．
【详解】（1）解：∵3号正方形的边长为x，4号正方形的边长为y，
∴1号正方形的边长为y−x， 2号正方形的边长为x−(y−x)=2x−y，
（2）解：长方形的长为：x+y，宽为：x+(2x−y)=3x−y，
∵长方形的周长为48，即2(x+y)+(3x−y)=8x=48，
∴x=6，
∵3号正方形的边长为x，
∴ 3号正方形的边长为6；
（3）解：如图：由平移知识可得阴影部分的周长为长方形ABCD的周长，
由（2）可知3号正方形的边长为6，
4号正方形的边长为y，
5号长方形的宽为2号正方形的边长减去1号正方形的边长的差即：2x−y−(y−x)=3x−2y=3×6−2y=18−2y，
∴AD=6+y+18−2y=24−y，
周长为100的长方形的长为：AB+6，宽为24−y，
∴2AB+6+(24−y)=100，
∴AB=20+y，
则长方形ABCD的周长为：
20+y+(24−y)×2=88，
即阴影部分的周长为88．
【点睛】本题考查了整式的加减应用，列代数式表示各线段的长从而可解决问题．
【变式2-3】（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）如图，将一个正方形分割成11个大小不同的正方形，记图中最大正方形的周长是C1，最小正方形的周长是C2，则C1C2= ．
【答案】432
【分析】如图（见解析），设AB=x,BC=y，根据正方形的定义可得最小正方形的边长为14x−11y，而且x和y满足等式：8y−10x=14x−11y，再根据正方形的周长公式C1,C2即可得．
【详解】如图，设AB=x,BC=y，最大正方形标记为0号，被分割成的11个正方形标记为1-11号，其中最小正方形标记为11号，各个正方形的边长求解过程如下：
0号：1号+2号得x+y，
5号：1号-2号得y−x，
3号：2号-5号得x−(y−x)=2x−y，
4号：0号-2号-3号得x+y−x−(2x−y)=2y−2x，
7号：3号-4号得2x−y−(2y−2x)=4x−3y，
6号：4号-7号得2y−2x−(4x−3y)=5y−6x，
10号：0号-1号得x，
9号：0号-4号-6号-10号得x+y−(2y−2x)−(5y−6x)−x=8x−6y，
8号：10号-9号得x−(8x−6y)=6y−7x，
11号：6号-7号得5y−6x−(4x−3y)=8y−10x，
或9号-6号得8x−6y−(5y−6x)=14x−11y，
因此x和y满足等式：8y−10x=14x−11y，
整理得：x=1924y，
所以最大正方形（0号）的周长C1=4(x+y)=436y，
最小正方形（11号）的周长C2=4(14x−11y)=13y，
则C1C2=432．
【点睛】本题考查了用代数式表示几何图形的周长，设定未知数，利用正方形的性质将最大正方形的周长和最小正方形的周长求出是解题关键．
【题型3 整式加减的规律探究】
【例3】（2023春·重庆江北·七年级统考期末）有依次排列的3个正整数：x，y，z，且y>z>x，现规定：对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得的差写在这两个数之间，可产生一个新数串：x，y−x，y，z−y，z，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后可产生又一个新数串，……，继续依次操作下去．下列说法：
①第一次操作后，所有数之和为：2z+y．
②第二次同样操作后的数串是：x，y−2x，y−x，x，y，z−2y，z−y，y，z．
③第n次同样操作后，所有数之和为：x+y+z+n(z−x)．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据题意进行操作，求出第一次，第二次，第三次操作后的新数串，并根据整式的加减计算法则对新数串进行求和，可以发现可知每次操作后，得到的新数串的所有数的和比上一次增加−x+z，据此即可得到答案．
【详解】解：第一次操作后，得到的新数串为：x，y−x，y，z−y，z，
∴第一次操作后，所有数之和为x+y−x+y+z−y+z
=x+y−x+y+z−y+z
=y+2z，故①正确；
第二次操作后，得到的新数串为：x，y−2x，y−x，x，y，z−2y，z−y，y，z，故②正确；
∴第二次操作后，所有数之和为：
x+y−2x+y−x+x+y+z−2y+z−y+y+z
=x+y−2x+y−x+x+y+z−2y+z−y+y+z
=x+y+z+2−x+z，
第三次操作后，得到的新数串为：x，y−3x，y−2x，x，y−x，2x−y，x，y−x，y，z−3y，z−2y，y，z−y，2y−z，y，z−y，z，
∴第二次操作后，所有数之和为：
−x+z+y+2z+y−3x+x+2x−y+y−x+z−3y+y+2y−z+z−y
=−x+z+y+2z+y−3x+x+2x−y+y−x+z−3y+y+2y−z+z−y
=x+y+z+3−x+z ，
…．
∴可知每次操作后，得到的新数串的所有数的和比上一次增加−x+z，
∴第n次同样操作后，所有数之和为：x+y+z+n−x+z，故③正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·全国·七年级期末）观察下面算式，解答问题：
1+3=4=1+322=22；
1+3+5=9=1+522=32；
1+3+5+7+9=25=1+922=52……
(1)1+3+5+7+9+…+29的结果为______________；
(2)若n表示正整数，请用含n的代数式表示1+3+5+7+9+…+2n−1+2n+1的值为_____________；
(3)请用上述规律计算：41+43+45+47+49+……+2021+2023的值（要求写出详细解答过程）．
【答案】(1)225
(2)n+12
(3)1023744
【分析】（1）通过上面的数据观察可知，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数和的一半的平方，计算即可；
（2）用（1）的猜想写出结果；
（3）先把原式化为1+3+5+⋯+37+39+41+43+⋯+2021+2023−1+3+5+⋯+37+39，再利用前面猜测的结论去计算；
【详解】（1）解：1+3=4=1+322=22；
1+3+5=9=1+522=32；
1+3+5+7+9=25=1+922=52；
1+3+5=9=1+522=32；
1+3+5+7+9=25=1+922=52；
依次可得，1+3+5+7+9+…+29=1+2922=152=225，
故答案为：225
（2）解：1+3=4=1+322=22；
1+3+5=9=1+522=32；
1+3+5+7+9=25=1+922=52；
1+3+5=9=1+522=32；
1+3+5+7+9=25=1+922=52；
⋯⋯
1+3+5+7+9+…+2n−1+2n+1 =1+2n+122=n+12；
故答案为：n+12
（3）41+43+45+47+49+……+2021+2023
=1+3+5+⋯+37+39+41+43+⋯+2021+2023−1+3+5+⋯+37+39
=1+202322−1+3922
=10122−202
=1012−201012+20
=1032×992
=1023744
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算、整式加减、规律型数字的变化类，熟练掌握有理数的加减法运算法则，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数和的一半的平方的猜想是解题关键．
【变式3-2】（2023春·江苏徐州·七年级校考期中）将正整数按如图所示的规律排列下去，若用整数对m，n表示第m排，从左到右第n个数，如4，3表示整数9，则20，8表示整数是 ．

【答案】198
【分析】根据4，3表示整数9，3，2表示的数是5，对图中给出的有序数对进行分析，可以发现：对所有数对m，n n≤m有：m，n=mm−12+n，由此方法解决问题即可．
【详解】解：∵若用整数对m，n表示第m排，从左到右第n个数，如4，3表示整数9，3，2表示的数是5，
∴ 3，2=3×3−12+2=5，4，3=4×4−12+3=9，
…，
∴对所有数对m，n n≤m有：m，n=mm−12+n，
∴20，8=20×20−12+8=198，
故答案为：198．
【点睛】本题考查数字类规律探索，解答此类题目的关键是根据题目中给出的数值，认真分析，找出规律．
【变式3-3】（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）有依次排列的两个整式：x，x−2，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串：x，2，x−2，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：x，x−2，2，4−x，x−2，以此类推．通过实际操作，小南同学得到以下结论：①第二次操作后，当x3
故当z=−12时，z−1+2z+1取得最小值为32；
则x+2+x−43y+2+y−2z−1+2z+1≥6×83×32=24，
当且仅当−2≤x≤4，y=−23，z=−12时，x+2+x−43y+2+y−2z−1+2z+1=24成立
故x−3y−2z最大为P=4−3×−23−2×−12=7，
x−3y−2z最小为Q=−2−3×−23−2×−12=1，
则2P−Q=2×7−1=13
故答案为：13
【点睛】本题考查了绝对值化简、求最值，掌握分情况讨论思想是解题关键．
【变式4-3】（2023春·湖北武汉·七年级校考期中）数轴上A、B、C对应的数分别是a、b、c．
(1)若ac0,bb，故a