专题6.4 对顶角、平行和垂直【八大题型】-最新苏教版七年级上册数学精讲精练

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专题6.4 对顶角、平行和垂直【八大题型】
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29435" 【题型1 对顶角、邻补角的识别】 PAGEREF _Tc29435 \h 1
\l "_Tc8654" 【题型2 由对顶角、邻补角的性质求角的度数】 PAGEREF _Tc8654 \h 4
\l "_Tc26016" 【题型3 平面内两直线的位置关系】 PAGEREF _Tc26016 \h 8
\l "_Tc8822" 【题型4 过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线】 PAGEREF _Tc8822 \h 10
\l "_Tc10117" 【题型5 作垂线、由垂线求角度】 PAGEREF _Tc10117 \h 12
\l "_Tc10325" 【题型6 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线】 PAGEREF _Tc10325 \h 16
\l "_Tc28125" 【题型7 点到直线的距离】 PAGEREF _Tc28125 \h 18
\l "_Tc7565" 【题型8 垂线段最短】 PAGEREF _Tc7565 \h 22
【知识点1 对顶角、邻补角的概念】
一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.
有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，并且互补的两个角称为邻补角.
【题型1 对顶角、邻补角的识别】
【例1】（2023下·辽宁盘锦·七年级校考期末）在下图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，依次判定即可得出答案．
【详解】解：A、∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角，故A选项不合题意；
B、∠1与∠2的两边互为反向延长线，是对顶角，故B选项符合题意；
C、∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角，故C选项不合题意；
D、∠1与∠2两条边不是互为反向延长线，不是对顶角，故D选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，对顶角是相对于两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它是在两直线相交的前提下形成的．
【变式1-1】（2023下·湖北荆门·七年级统考期末）图中∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用邻补角定义进行解答即可．
【详解】解：A、∠1与∠2对顶角，故此选项不合题意；
B、∠1与∠2是邻补角，故此选项符合题意；
C、∠1与∠2不是邻补角，故此选项不合题意；
D、∠1与∠2是内错角，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了邻补角，关键是掌握只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
【变式1-2】（2023下·上海·七年级上海市文来中学校考期中）9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有 对．
【答案】72
【分析】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
【详解】解：①两条直线相交共2对对顶角；
②三条直线相交，在2对的基础上再加4对，共6对；
③四条直线相交，在6对的基础上再加6对，共12对；
④五条直线相交，在12对的基础上再加8对，共20对；
即对顶角的对数为，2，6，12，20……，
以此类推，当n条直线相交时，对顶角的总对数为：n2−n ；
根据n条直线相交于一点，构成n2−n对对顶角的规律可知，
当n=9时，n2−n=（92-9）=72（对），
故答案为：72．
【点睛】本题考查了对顶角的定义及n条直线相交于一点，构成对顶角的规律，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．
【变式1-3】（2023下·安徽淮北·七年级校联考期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角．
(1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角；
(2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角；
(3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角；
(4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有n条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？
【答案】(1)2，4
(2)6，12
(3)12，24
(4)若有n条直线相交于一点，则可形成nn−1对对顶角，2nn−1对邻补角
【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案；
（2）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案；
（3）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案；
（4）由（1）-（3）中直线与对顶角、邻补角的对数找到规律，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，2条直线相交于一点，共有2对对顶角，4对邻补角；
故答案为：2，4；
（2）解：如图2，3条直线相交于一点，共有6对对顶角，12对邻补角；
故答案为：6，12；
（3）解：如图3，4条直线相交于一点，共有12对对顶角，24对邻补角；
故答案为：12，24；
（4）解：2条直线相交于一点，共有2×1=2对对顶角，2×2×1=4对邻补角；
3条直线相交于一点，共有3×2=6对对顶角，2×3×2=12对邻补角；
4条直线相交于一点，共有4×3=12对对顶角，2×4×3=24对邻补角；
∴若有n条直线相交于一点，则可形成nn−1对对顶角，2nn−1对邻补角．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角的定义，图形类规律的探索，熟练掌握知识点，找到规律是解题的关键．
【知识点2 对顶角、邻补角的性质】
对顶角相等.
邻补角互补.
【题型2 由对顶角、邻补角的性质求角的度数】
【例2】（2023下·广西河池·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE把∠AOC分成两部分．

(1)图中∠AOC=∠______，∠AOE+∠______=180°；
(2)若∠AOC=80°，∠AOE=3∠COE，求∠DOE的度数．
【答案】(1)∠DOB，∠BOE
(2)160°
【分析】（1）观察图象，根据对顶角和补角的定义找角；
（2）设∠COE=x°，则∠AOE=3x°，可得x+3x=80，求得∠COE=20°，再结合∠DOE=180°−∠COE即可求解．
【详解】（1）解：∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC和∠BOD是对顶角．
∴∠AOC=∠BOD，
∵∠AOE的补角是∠BOE．
∴∠AOE+∠BOE=180°，
故答案为：∠DOB，∠BOE．
（2）∵∠AOE=3∠COE，
∴设∠COE=x°，则∠AOE=3x°，
∵∠AOC=80°，
∴x+3x=80，
∴x=20，即∠COE=20°，
∴∠DOE=180°−∠COE=180°−20°=160°．
【点睛】本题主要考查角的相关定义以及角度的和差倍分，要结合图象找隐藏的角度关系．
【变式2-1】（2023下·湖南长沙·七年级校考期末）已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角，则∠2+∠3的度数为（ ）
A．90°B．180°C．270°D．360°
【答案】B
【分析】根据对顶角的性质：对顶角相等，邻补角的性质：邻补角互补，进行求解即可.
【详解】解：∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
∵∠1与∠3是邻补角，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝180°．
故选B．
【点睛】本题主要考查了对顶角与邻补角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握对顶角与邻补角的性质.
【变式2-2】（2023下·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期末）已知直线AB与CD相交于点O．

(1)如图1，若∠AOM=90°，OC平分∠AOM，则∠AOD=_________．
(2)如图2，若∠AOM=90°，∠BOC=4∠BON，OM平分∠CON，求∠MON的大小
【答案】(1)135°
(2)54°
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠AOC=45°，然后根据邻补角的定义求解即可；
（2）设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，根据角平分线的定义表示出∠COM=∠MON=12∠CON，再根据∠BOM列出方程求解x，然后求解即可．
【详解】（1）解：∵∠AOM=90°，OC平分∠AOM，
∴∠AOC=12∠AOM=12×90°=45°，
∵∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOD=180°−∠AOC=180°−45°=135°，
即∠AOD的度数为135°；
（2）解：∵∠BOC=4∠NOB
∴设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，
∴∠CON=∠COB−∠BON=4x°−x°=3x°，
∵OM平分∠CON，
∴∠COM=∠MON=12∠CON=32x°，
∵∠BOM=32x+x=90°，
∴x=36°，
∴∠MON=32x°=32×36°=54°，
即∠MON的度数为54°．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键．
【变式2-3】（2023下·云南曲靖·七年级统考期末）直线AB,CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
(1)①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度数；
②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明：OC平分∠AOE；
(2)若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【答案】(1)①∠EOF的度数为60°；②见解析；
(2)3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°．
【分析】（1）①利用余角的定义以及角之间的关系可求出∠EOF=60°；②利用OF平分∠BOE，可得：∠EOF=∠FOB=12∠EOB，再利用垂直得到：∠COE+∠EOF=∠AOC+∠BOF=90°，即可证明∠COE=∠AOC，OC平分∠AOE．
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧和点E，F在直线AB的异侧两种情况，再分别表示出∠BOE与∠AOC，再消去α即可．
【详解】（1）解：①∵OF⊥CD于点O，
∴∠COF=90°，
∵∠BOD=20°,∠BOE=130°，
∴∠COE=180°−∠BOE−∠BOD=180°−130°−20°=30°，
∴∠EOF=∠COF−∠COE=90°−∠COE=90°−30°=60°；
∴∠EOF的度数为60°；
②∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF=∠FOB=12∠EOB，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠COE+∠EOF=∠AOC+∠BOF=90°，
∴∠COE=∠AOC，
∴OC平分∠AOE．
（2）解：设∠COE=α，则∠AOF=2α，
当点E，F在直线AB的同侧时，如图：
∠EOF=90°−α，
∴∠AOC=∠AOF−∠COF=2α−90°，①
∠BOE=180°−∠COE−∠AOC=180°−α−90°−α=270°−3α，②
令①×3+②×2可得：3∠AOC+2∠BOE=270°，
当点E，F在直线AB的异侧时，如图：
∠EOF=90°+α，
∴∠AOC=∠AOF−∠COF=2α−90°，①
∠BOE=180°−∠AOE−∠BOD=180°−α−∠AOC−∠AOC=180°−α，②
令①+②×2可得：∠AOC+2∠BOE=270°，
综上所述：3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°．
【点睛】本题考查几何图形角度的计算，与余角有关的计算，对顶角，角平分线的定义，（2）稍有难度，关键是对E点的位置进行讨论，考查学生的计算能力．
【题型3 平面内两直线的位置关系】
【例3】（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）l1、l2、l3为同一平面内的三条直线，若l1与l2不平行，l2与l3不平行，那么下列判断正确的是（ ）
A．l1与l3一定不平行B．l1与l3一定平行
C．l1与l3一定互相垂直D．l1与l3可能相交或平行
【答案】D
【分析】根据关键语句“若l1与l2不平行, l2与l3不平行,”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案．
【详解】根据题意可得图形：
根据图形可知：若l1与l2不平行,l2与l3不平行,则l1与l3可能相交或平行，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交.
【变式3-1】（2023上·黑龙江佳木斯·七年级校考开学考试）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（ ）
A．相交或垂直B．垂直或平行
C．平行或相交D．相交或垂直或平行
【答案】C
【分析】根据两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线，可得答案．
【详解】在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行．
故选：C
【点睛】本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类．
【变式3-2】（2023上·七年级单元测试）在下列4个判断中：
①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】根据平面内两条直线的三种位置关系：平行或相交或重合进行判断．
【详解】解：在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故①错误，②正确；
在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交，故③错误，④正确．
故正确判断的个数是2．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面内两条直线的三种位置关系，平行、相交或重合，熟练掌握这三种位置关系是解题的关键．
【变式3-3】（2023下·河北保定·七年级统考期末）如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ）

A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行进行求解即可．
【详解】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出过点O的4条直线中至多只有一条直线与直线m平行
即与直线m相交的直线至少有3条．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行性质是解题的关键．
【知识点3 平行公理】
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
【题型4 过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线】
【例4】（2023下·七年级单元测试）如图所示，已知P是直线l外一点，两条直线l1，l2相交于P，且l1∥l，那么l2与l的位置关系是 ．
【答案】相交
【分析】根据平行公理解答即可．
【详解】解：P是直线l外一点，两条直线l1，l2相交于P，且l1∥l，那么l2与l的位置关系是相交，因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
故答案为：相交．
【点睛】本题考查了平行公理．解题的关键掌握平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
【变式4-1】（2023上·七年级课时练习）在同一平面内，与已知直线a平行的直线有 条；而经过直线外一点P，与已知直线a平行的直线有且只有 条．
【答案】无数，1
【分析】根据与已知直线平行的直线有无数条，经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行，即可得到结果．
【详解】在同一平面内，与已知直线a平行的直线有无数条，而经过a外一点，与已知直线a平行的直线有且只有1条．
故答案为：无数，1．
【点睛】本题主要考查平行公理思路拓展：解答本题的关键是掌握好平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行，注意要强调“过直线外一点”．
【变式4-2】（2023下·湖北·七年级统考期末）小明与小刚在讨论数学问题时，有如下对话：
小明：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m平行．
小刚：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m垂直．
对于两个人的说法，正确的是（ ）
A．小明对B．小刚对C．两人均对D．两人均不对
【答案】B
【分析】根据平行公理，垂线的基本性质进行判断即可．
【详解】解：∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
∴小明错，小刚对，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行公理，垂线的基本性质，熟练掌握基础知识点是解题的关键．
【变式4-3】（2023上·江苏泰州·七年级统考期末）如图，MC∥AB,NC∥AB,则点M，C，N在同一条直线上，理由是 .
【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【详解】解:如图，∵MC∥AB，NC∥AB，
∴直线MC与NC互相重合（经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行）.
故答案为:经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【知识点4 垂线】
①两条直线相交所成的四个角内有一个角是90°称这两条直线 互相垂直.
②垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 垂线.
③它们的交点叫做 垂足.
④垂线的性质：
性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
性质2：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.
⑤点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【题型5 作垂线、由垂线求角度】
【例5】（2023下·河南许昌·七年级校考期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是∠AOB的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．

(1)过点P画OB的垂线，交OA于点E；过点P画OA的垂线，垂足为F；
(2)线段PF的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所以线段PE、PF、OE这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______．
【答案】(1)图见解析
(2)OA，PE，PF