专题2.7 有理数的乘除法【十大题型】-最新苏教版七年级上册数学精讲精练

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1、注重生活联系，形式活泼多样。初中生的数学思维能力正逐步由直观形象思维向抽象思维发展。这个发展需要一定的过程。
2、注重动手操作，引导学生“做”数学。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，自主探索与合作交流也是学习数学的重要方法。
3、注重“过程”和数学思想方法。新教材通过让学生亲身经历知识的形成过程，使学生的学习过程更多地成为其发现数学、了解数学、体验数学的过程。
专题2.7 有理数的乘除法【十大题型】
【苏科版2024】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29337" 【题型1 利用有理数的乘法辨别符号】 PAGEREF _Tc29337 \h 2
\l "_Tc29585" 【题型2 利用有理数乘法运算律进行巧算】 PAGEREF _Tc29585 \h 2
\l "_Tc16565" 【题型3 倒数、绝对值、相反数的综合求值】 PAGEREF _Tc16565 \h 3
\l "_Tc4683" 【题型4 有理数乘法的实际应用】 PAGEREF _Tc4683 \h 3
\l "_Tc20793" 【题型5 有理数的混合运算】 PAGEREF _Tc20793 \h 4
\l "_Tc2640" 【题型6 有理数四则运算的实际应用】 PAGEREF _Tc2640 \h 5
\l "_Tc2710" 【题型7 利用倒数法求解有理数的除法】 PAGEREF _Tc2710 \h 6
\l "_Tc8083" 【题型8 化简分数】 PAGEREF _Tc8083 \h 7
\l "_Tc5600" 【题型9 与有理数乘除有关的新定义问题】 PAGEREF _Tc5600 \h 8
\l "_Tc28439" 【题型10 有理数四则运算中的分类讨论思想的运用】 PAGEREF _Tc28439 \h 8
知识点1：有理数的乘法
1.有理数的乘法
有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数）
两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。
即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。
多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。
多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。
2.有理数乘法运算律
乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。
乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
即：。
乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。
【题型1 利用有理数的乘法辨别符号】
【例1】（23-24七年级·浙江绍兴·阶段练习）4个有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，负数有 ( )
A．1个或3个B．1个或2个C．2个或4个D．3个或4个
【变式1-1】（23-24七年级·安徽合肥·阶段练习）若a−b0，那么这两个数（ ）
A．都是正数B．都是负数C．一正一负D．符号不能确定
【变式1-2】（23-24七年级·重庆江津·阶段练习）已知a>b>c，且a+b+c=0，那么乘积ac的值一定是（ ）
A．正数B．负数C．0D．不能确定
【变式1-3】（23-24七年级·安徽宣城·期末）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列式子成立的是（ ）
A．ab>0B．a+b>0C．a−1b−1>0D．a+1b−1>0
【题型2 利用有理数乘法运算律进行巧算】
【例2】（23-24七年级·全国·假期作业）计算：(−1×2)×(−12×32)×(−23×43)×(−34×54)×…×(−20212022×20232022)×(−20222023×20242023)．
【变式2-1】（23-24七年级·全国·课后作业）计算1557×716，最简便的方法是（ ）
A．15+57×716B．16−27×716C．1107×716D．10+557×716
【变式2-2】（23-24七年级·全国·随堂练习）用简便方法计算：
(1)−7.5×+25×−0.04；
(2)−4120×1.25×−8．
【变式2-3】（23-24七年级·江苏盐城·阶段练习）用简便方法计算：
(1)191718×−9；
(2)0.618×97+3×0.618．
知识点2：倒数
1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。
2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．
3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。
（1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。
【题型3 倒数、绝对值、相反数的综合求值】
【例3】（23-24七年级·重庆·期末）−1.5的倒数的绝对值的相反数为 ．
【变式3-1】（23-24七年级·浙江·阶段练习）甲、乙两同学进行数字猜谜游戏，甲说：一个数a的相反数是它本身，乙说：一个数b的倒数也是它本身，则a-b=
【变式3-2】（23-24七年级·四川成都·期末）若a，b互为相反数，a+1的倒数是−14，则b的值为 ．
【变式3-3】（23-24七年级·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于4，p是数轴上原点表示的数．
(1)分别直接写出a+b，cd，m，p的值；
(2)p−cd+a+bcd+m的值是多少？
【题型4 有理数乘法的实际应用】
【例4】（23-24七年级·广东广州·开学考试）如图，把A，B，C，D，E这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．那么，这幅图一共有 种不同的着色方法．

【变式4-1】（23-24七年级·黑龙江大庆·期末）某商店将一种取暖器先提价20%，然后宣传打八五折销售，取暖器的现价（ ）
A．和原来一样B．比原来降了C．比原来涨了D．无法判断
【变式4-2】（23-24·江西吉安·三模）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，不仅最早提到分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题，在第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺．蒲生日自半”．其意思是“有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日生长的长度的一半”．根据题意，第三日蒲生长的长度为 尺．
【变式4-3】（23-24七年级·山东临沂·期末）某公园门票价格如下表，有28名中学生游公园，则最少应付费 元．（游客只能在公园售票处购票）
知识点3：有理数的除法
1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。
有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。
2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
【题型5 有理数的混合运算】
【例5】（23-24七年级·重庆九龙坡·阶段练习）计算
(1)−25÷−13÷−325×523
(2)1÷−18+73÷15−23
【变式5-1】（23-24七年级·福建厦门·期中）下面是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下面的问题．
计算：(−15)÷(13−3−32)×6
解：原式=(−15)÷(−256)×6……第一步
=(−15)÷(−25)……第二步
=−35……第三步
解答过程是否有错，若有，错在第几步？错误原因是什么？最后请写出正确的过程．
【变式5-2】（23-24七年级·吉林白城·阶段练习）计算：−45×214+−14×45−112×−45．
【变式5-3】（23-24七年级·河北石家庄·阶段练习）老师布置了一道练习：计算−16÷14−13×12．
嘉嘉和淇淇的解答过程如下：
(1)①嘉嘉解题过程中开始出现错误的是第______步；
②淇淇解题过程中开始出现错误的是第______步．
(2)把正确的解题过程写出来．
(3)计算：−24×34+16−58÷14．
【题型6 有理数四则运算的实际应用】
【例6】（23-24七年级·山东威海·期中）气象统计资料表明：高山上的温度每升高100米，平均气温下降0.6℃．已知山脚的温度是8℃．
(1)若这座山的高度是2千米，求山顶的温度；
(2)小明在上山过程中看到温度计上的读数是−1℃，此时他距山脚有多高？
【变式6-1】（23-24七年级·贵州铜仁·阶段练习）某服装公司2017年四个季度的盈亏情况如下：第一季度平均每月亏损1.5万元，第二季度在全体员工的努力下，平均每月盈利2万元，第三季度平均每月盈利1.7万元，第四季度平均每月亏损2.9万元，那么这个公司2017年平均每月盈亏情况如何？
【变式6-2】（23-24七年级·四川成都·期中）小张第一次用180元购买了8套儿童服装，以一定价格出售.如果以每套儿童服装80元的价格为标准，超出的记作整数，不足的记作负数，记录如下（单位：元）：
+12,−13,+15,+11,−17,−11,0,−13.
请通过计算说明：
（1）小张卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损？盈利（或亏损）了多少钱？
（2）每套儿童服装的平均售价是多少元？
（3）小张第二次用第一次的进价再次购买900元的儿童服装，如果他预计第二次每套服装的平均售价75元，按他的预计第二次售价可获利多少元？
【变式6-3】（23-24七年级·四川成都·期中）居民生活中使用天然气实行阶梯式计价，用户每月用气量在20立方米及以内的为第一级基数，按一级用气价格收取；超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级气量基数，按一级用气价格的1.5倍收取：超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8倍收取．为节约用气量，小明记录了1－7月份他家每月1号的气表读数．
（1）直接写出小明家1月份的用气量____________立方米及1－6月平均每月用气量为_______立方米．
（2）已知小明家2月份的气费为36元，试求他家6月份需交气费多少元？
（3）7月份放暑假后，小明的爷爷、奶奶及表哥来到家里和小明一起生活，并多次请客，用气量明显增加，比6月份多用气12立方米，试求小明家7月份需交纳气费多少元？
【题型7 利用倒数法求解有理数的除法】
【例7】（23-24七年级·辽宁鞍山·阶段练习）阅读下列材料，并解答问题：
材料一：乘积为1的两个数互为倒数，如ab和ba，即若设a÷b=x，则b÷a=1x；
材料二：分配律：a+bc=ac+bc；
利用上述材料，请用简便方法计算：−160÷13−14+112．
【变式7-1】（23-24七年级·吉林长春·阶段练习）我们学过了乘法分配律，但是在做除法运算时就不能使用分配律．对于下面这道计算题：−142÷16−27+23−314，小明有了自己的想法，小明的做法是：先求原式的倒数：16−27+23−314÷−142=16−27+23−314×(−42)=−16×42+27×42−23×42+314×42＝﹣7+12﹣28+9＝﹣14，所以原式＝﹣114请你仿照以上小明的做法计算：−124÷1−112−38+712
【变式7-2】（23-24七年级·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题．
计算：−115÷15−13．
解：方法一：原式=−115÷315−515=−115÷−215=12．
方法二：原式的倒数为：15−13÷−115=15−13×−15=15×−15−13×−15=−3+5=2
故原式=12．
用适当的方法计算：−130÷23−110+16−25．
【变式7-3】（23-24七年级·浙江杭州·阶段练习）阅读下列材料：
计算：160÷13−14+112．
解法①：原式=160÷13−160÷14+160÷112=160×3−160×4+160×12=1160．
解法②：原式=160÷412−312+112=160÷16=160×6=110．
解法③：原式的倒数为13−14+112÷160=13−14+112×60=13×60−14×60+112×60=20−15+5=10，
∴原式=110
解法④：原式=160×60÷13−14+112×60=1÷20−15+5=110
(1)上述解法中，肯定有错误的解法．你认为解法 是错误的；
(2)在正确的解法中，选择一种解法计算：−142÷37−514+23−16
【题型8 化简分数】
【例8】（23-24七年级·全国·专题练习）化简下列分数：
(1)−217；
(2)3−36；
(3)−54−8；
(4)−6−0.3．
【变式8-1】（23-24·上海杨浦·三模）下列分数中，能化为有限小数的是（ ）
A．112B．312C．115D．515
【变式8-2】（23-24七年级·全国·课后作业）化简下列各分数：−1255= ，4−36= ，−3−12= ，−5−0.2= ．
【变式8-3】（23-24七年级·全国·专题练习）如果y